常数项级数的审敛法(课堂PPT)

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❖定理3(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都是正项级数,
n1
n1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 收敛, n1
则 un 收敛 n1
(2)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 发散, n1
则 un 发散. n1
例3
判别级数
的收敛性.
解
因为
lim
n
un1 un
lim
n
(1n0n1)1!1n0!n
lim
n
n 1 10
,
所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散.
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❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
设 un 为正项级数, n1
如果 lim un1 ,
n un
则当 1时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
解:
lim un1 lim (n 1) xn x
n un
n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un 为正项级数, n1
如果
lim
n
n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
例9
判定级数
n1
2
(1)n 2n
的收敛性.
解 因为
lim n
n
un
lim
n
1 2
n
2 (1)n
1 2
,
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
能发散.
例8
证明级数
1
1 22
1 33
1 nn
是收敛的.
解 因为
lim n
n
un
lim n
n
1 nn
lim 1 n n
0,
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un 为正项级数, n1
如果
lim
n
n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
§11.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
❖定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单
1 (n 1) p1
n
1
p 1
的部分和
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
1 (n 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
❖p级数的收敛性
p级数 n1
1 np
当
p1
时收敛,
当 p1 时发散.
例 2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n1)
证证 因为 1 1 1 , n(n1) (n1)2 n1
而级数
n1
1 n 1
发散,
故级数 n1
1 也发散. n(n 1)
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N Z , 对一切 n N ,
1 np
( p 0) 的收敛性.
解 当 p1 时,
1 np
1 n
,
而级数 n11n 发散,
所以级数
n1
1 np
也发散.
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2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
dx
1 p 1
1 (n 1) p1
n
1
p1
考虑强级数
n 2
设 un 为正项级数, n1
如果 lim un1 ,
n un
则当 1时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
例5 证明级数
11 1 1
1
1 12 123
123 (n1)
是收敛的.
解 因为 lim un1 lim 123 (n1) lim 1 0 1 , n un n 123 n n n
sin
n1
1 n
的收敛性.
解
sin 1
因为 lim
n
n 1
1,
而级数
n1
1 n
发散,
n
所以级数
sin
n1
1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ也发散.
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❖定理3(比较审敛法的极限形式)
设 un 和 vn 都是正项级数,
n1
n1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 收敛, n1
则 un 收敛 n1
(2)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 发散, n1
则 un 发散. n1
例4
判别级数
ln(1
n1
1 n2
)
的收敛性.
解
因为
lim
n
ln(1 1
1 n2
)
1
,
>而>>级数
n1
1 n2
收敛,
n2
所以级数
ln(1
n1
1 n2
)
也收敛.
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❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
能发散.
例7
判别级数
n
1 (2n 1)2n
的收敛性.
解
因为
(2n
1 1)2n
1 n2
,
而级数
n1
1 n2
收敛,
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
提示: lim un1 lim (2n1)2n 1 , 比值审敛法失效. n un n (2n1)(2n 2)
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讨论级数
的敛散性 .
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
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❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
设 un 为正项级数, n1
如果 lim un1 ,
n un
则当 1时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
例6
判别级数
1 10
12 102
123 103
n! 10n
调有界数列是有极限.
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❖定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unvn (n1, 2, ).
n1
n1
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n1
•推论
n1
n1
n1
>>>
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 unkvn(k0, nN).
n1
n1
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n1
n1
n1
n1
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
例1
讨论
p级数
n1