皮亚诺曲线等基本分形

1.谢尔斯基三角形的探究
经过n次
三角 形形 状：
边长 （l）
面积： 相 差 倍 数 底 值 X 高 /2
每个三 角形分 离的图 形
总数
新增图形与初始 三角形比
2.自创分形并加以研究
总结：
在对分形的初步认识的基础上，我们进一步 利用自己所学到的知识（如：数列.数学归纳法等） 着重对谢尔斯基三角形进行探究，并得到了它的 渐变规律等结论。
我们的研究
我们用课本学过的方法如如累积法、累加法等， 对简单分形几何图形展开研究。 1.曲线“生长”过程中的有哪些数量特征可以研究？
边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等 变化规律。 2.应用的知识与方法： （1）公式法（适合于等差、等比数列）；
（2）差项法；
（2）观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）；
分形几何向传统欧氏几何提出的挑战
多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和 概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆……） 来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引 进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对 象。可以说分形几何揭示了世界的本质，分形几何是 真正描述大自然的几何学。 可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才 能应用在科学中，然而分形的形式却从不同的透视角 度向我们提供了认识自然的观点。
分形是一个新的数学领域——有时也把它归为 自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅 描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自 然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方 面也有广泛应用。所以说，分形几何突破了传统欧 氏几何的局限，开创了前所未有的研究领域。
分形的艺术欣赏 分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平 衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的 新的表现。比如，分形图中的平衡，是一种动态的 平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的 平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个 形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流 动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它 既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部 与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。 在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和 丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感， 一种未开化的，未驯养过的天然情趣。 （图库）
目录
一、分形的相关资料 拓展学习
什么是分形几何？ 分形几何的诞生 研究结论 分形几何向传统欧氏几何提出的挑战 分形的艺术欣赏 附录
二、分形的数学研究
科赫雪花曲线（包括数学研究结果） 朱利亚集
曼德尔布罗特集
三、我们的研究
谢尔斯基三角形的探究 自创分形并加以研究
高二（2） 分形几何课题小组 组长：林文成
朱利亚集 按照一定的数学原理在平面上构造的点集。 朱利亚集具有异常美丽的形状,并且利用他可以模 拟出山峰,云彩,湖泊等等自然景观,以下四个图形 都是朱利亚集的图形。
曼德尔布罗特集
原始图形如下,从它出发,每个细部都可以演绎 出美丽无比的梦幻般的仙境似的图形。
前人研究的并发现的分形是丰富多 彩的，他们为后人的研究开辟了道路， 指导了方向，这些前人的探究成果是我 们初步了解到什么是分形，并且Biblioteka Baidu识到 分形几何所蕴涵的知识的探究价值。这 深深的激发了我们对分形几何的兴趣。
在对已知分形的基础上，我们自己创造出了 一个分形图形，并再次运用所学的知识探究了它 “生长”的规律，其结果符合我们对分形的认识。 这次成功既是我们研究的收获，也奠定了我 们继续研究的信心。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正 描述大自然的几何学。
分形几何的诞生
“分形”一词译于英文Fractal，系分形几 何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于 1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身 具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究 中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字 命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的 方式构成自相似的结构。Mandelbrot 集合图形 的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计 算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大 她的边界。 （见图1）
科赫雪花曲线 从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个 和整体全等的图形.
经过n次
曲线“生长”的规律 （1）边数：an 3 4n1
1 （2）边长：bn 3
（3）周长：cn
（4）尖角：d n
n 1
3
2 n
n 1
4
n1
4
2
n 1
3 4 8 （5）面积：Sn , lim Sn 5 9 n 5
图2、图3将图1中两个矩形框区域放大后的 图形。
你会惊奇地发现：当你放大某个区域，它的 结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎 样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续 不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的 生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是 向传统几何学的挑战。 他开创了一个全新的几何 学的分支！
图1
图3
图2
分形的数学探究
（1）通过分形图的欣赏，体会分形的思想，初步认 识分形；感悟数学与艺术在审美上的统一，提高审 美情趣；认识事物在简单中孕育着复杂的辩证观点， 发展辩证思维；体会计算机图形技术和迭代思想在 分形研究中的重要作用。
（2）认识康托尔三分集、科赫曲线与科赫雪花曲线、 朱利亚集、曼德尔布罗特集、谢尔宾斯基垫片与地 毯、门杰海绵、皮亚诺曲线等基本分形，掌握其构 造方法，能能用《几何画板》作出生成它们的头几 步图形，并对曲线的“生长”规律进行研究。
组员：姚潇华（记录员）
薛文鸿（电脑操作员）
黄昱霖（资料搜集整理）
杨康炜（资料搜集整理）
陈敏捷（资料搜集整理）
指导老师：郑天宇、周灵、孙世健
什么是分形几何？
“分形几何”通俗一点说就是研究无限复杂但 具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。所 谓“自相似”，例如一棵苍天大树与它自身上的树 枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大 树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系； 例如高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如 此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。