关于洛伦兹曲线和基尼系数

参考文献 ［１］厉以宁，秦宛顺，现代西方经济学慨论（第二版），北京大学出版社，１９９２ ［２］徐宽，基尼系数的研究文献在过去八十年是如何拓展的．经济学（季刊），２００３．４：７５７—
７７８
［３］罗青．中国全局基尼系数的测算．北京大学博士论文，２００５．
［５］蛐ａ ［４］李实．中国个人收入分配：经济学（季刊），２００３．４，３７９—４０４ Ｓｅｎ．评估不平等和贫困的概念性挑战．经济学，２／３０３．２：２５７—２７０ ［６］陈奇志，陈家鼎．关于基尼系数的一点注记．北京大学技术报告，２００５
的图像叫做ｙ（或Ｆ（石））的洛伦兹曲线。
可以证明，Ｌ（０）＝０，Ｌ（１）＝１，Ｌ（ｐ）ｓ Ｐ且Ｌ（ｐ）是下凸的增函数。 若ｙ表示某地区单个家庭的年收入，则Ｌ（Ｐ）有下列意义：若Ｆ（聋）＝Ｐ， 则Ｌ（Ｐ）是年收入不超过茹的所有家庭的年收入之和在所有家庭年收入之总 和中所占的比例。
为什么Ｌ（Ｐ）有这样的经济学意义呢？设随机调查了几个家庭，其年收入 分别为拿。，岛，…，￡，（ｅ。，ｅ：，…可看成独立同分布的随机变量列，共同分布函
．
∑‰
”知赢＿“－１＇…’ｎ’
石ｏ ２ Ｙｏ＝０
耐探索与触蘸。第十三次全国统计科学讨论金文＿，
则毛一ｌ曼Ｐ ｓ毛时
Ｇｎ＝掣一÷∑（凡一Ｉ｜｝）‰（见（３））。 厶。（ｐ）＝Ｙｉ—ｔ＋三｝｛｝妻等（ｐ一膏ｔ一－）
（ｉ＝ｏ，ｌ，…，ｎ）
（７）
”
ｎ∑‰ｋ１
５５４
我们指出，ｎ充分大时Ｌ（ｐ）与Ｌ（ｐ）任意接近，Ｇ。与Ｇ任意接近。更确切
ｐ（省）＝｛：口一。）口。一。石一。 ：：三：这里口和口是参数，口＞。，口＞２。
易知∥＝ＥＹ＝（口一１）ａ／（２ａ一３），Ｌ（ｐ）＝１一（１一ｐ）ｎａ一－２ｌ（０ ｓ ｐ ｓ １）， Ｇ＝１／（２ａ一３）。
例２、设Ｙ的取值范围是｛１，２，３｝且概率分布是：Ｐ（Ｙ＝１）＝｛，Ｐ（ｙ＝
２）＝百１，Ｐ（Ｙ＝３）＝ｉ１。易知
关于洛伦兹 曲线和基尼系数
—●—一＿■●■●●●—一ｌ—●●一Ｉ一－■●●●ａｍ■●■一●■＿
陈奇志 陈家鼎
一、引言
洛伦兹（Ｌｏｒｅｎｚ）曲线和基尼（ｃｉｎｉ）系数是用来刻画财富分配的不平等程 度或贫富差距程度的（Ｍ．Ｌｏｒｅｎｚ是统计学家，Ｃ．Ｇｉｎｉ是经济学家），参看厉以 宁和秦宛顺的著作（［１］）。这种曲线和系数有多方面的应用，不仅可以用来静 态地刻画一个国家或地区的财富分配情况及社会稳定性，而且可以用于检验 政府政策在调节收入分配上的作用。正如［１］中所指出的，纳税前的基尼系数 与纳税后的基尼系数相比，可以判断税收的分配效应；政府增加职工教育支出 前的基尼系数与增加职工教育支出后的基尼系数相比，也可判断增加职工教 育支出的收入分配效应。因此，深刻理解与科学计算洛伦兹曲线和基尼系数 有重要意义。自基尼系数的提出（１９１２年）至今不断有论文进行研究不是偶 然的，参看论文［２］（徐宽，２００３）。
只（戈）＝知（ｚ）
（Ａ（石）是口。。口：，…，％中不超过戈的个数）时，可
以验证只（膏）的洛伦兹曲线正好是数据口。，口：，…，吼的洛伦兹曲线，，＝ 厶（菇），只（石）的基尼系数正好是数据口。，ａ：，…，口。的基尼系数ｑ（见（２）），即
有Ｇ＝１—２Ｉ．厶（Ｐ）咖。
例１、设ｙ服从Ｐａｒｅｔｏ分布，即ｙ有分布密度
5.期刊论文 张晓燕.梁倩君.ZHANG Xiao-yan.LIANG Qian-jun 湖北省卫生资源配置的公平性分析:基于洛伦兹曲线
但应指出，本文只是从数学角度进行探讨，完全未涉及基尼系数实际应用
时的两个重要问题，一是在中国的现实情况（城乡二元结构的社会，城镇居民
的货币收入和农村居民的货币收入难以比较）下如何计算全国居民的基尼系
数才是科学的（见［３］［４］）；另一是基尼系数作为不平等程度的指标的局限性
（参看［５］）。
二、一组数据的基尼系数和洛伦兹曲线
Ⅳ＝ＥＹ＝１３／６ ６尸／１３
Ｌ（ｐ）＝ （１２ｐ一２）／１３ （１８ｐ一５）／１３
Ｇ＝两１７一Ｏ．２１８
ｓ｛ ｏ≤ｐ
１
ｌ
一３冬Ｐ≤ｉ
姜ｉ ＜ｓ ＜１Ｐ ｓ １
四、洛伦兹曲线和基尼系数的估计及其理论基础
在实际工作中，非负随机变量ｙ的分布函数往往是未知的。若ｙ有观测数 据导。，车：，…，毛（ｒｔ之２），如何估计Ｙ的洛伦兹函数（曲线）和基尼系数呢？通常 是按前面介绍的办法找出数据组ｅ。，岛，…，色的洛伦兹曲线ｙ＝Ｌ。（茏）及基 尼系数Ｇ。用三。（ｐ）作为Ｙ的洛伦兹函数Ｌ（ｐ）的估计，用Ｇ作为ｌ，的基尼 系数Ｇ的估计。具体来说，设∈（。）≤…ｓ譬（。）是￡，岛，…，￡的从小到大的重 排，
设口。，口：，…，‰是任何不全为０的非负数，怎样刻画这组数的差异程 度？基尼（Ｇｉｎｉ）是用相对平均差的二分之一作为度量，即用
Ｇ＝堕丝菇＿ ∑∑Ｉ ｑ—ｑ Ｉ
（１）
这里ａ＝∑ａｉ／ｎ。这里Ｇ便是基尼系数的最初定义。为了解释其几何意
义，将ｏｌ，ａ２，Ａ，口。从小到大排列，得口（１）≤Ｄ（２）≤…ｓ口（。）。令
Ｇ＝丕Ｊｎ＝２ｓ。
（２）
这是大家知道的关系式，给出了Ｇ的几何解释（见［２］）。ｑ有下列熟知
的计算公式
．ｑ＝掣一寺奎ｋ＝ｌ∽跏ｔ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（３）
引
见刍ｑ
三、随机变量（或分布函数）的洛伦兹曲线和基尼系数
设ｌ，是非负随机变量（例如ｌ，表示某个国家或地区单个家庭的年收入），
其分布函数是Ｆ（ｚ），即Ｆ（戈）＝尸（１，≤Ｘ）（ｙ取值不超过ｚ的概率）。我们恒 假定
2.期刊论文 韩彩欣.刘洪杰.王晓阳.曹志辉 农村居民健康公平性研究——以迁安市为例 -安徽农业科学
2010,38(23)
[目的]从经济收入角度探讨了迁安市居民的健康公平现状,为迁安市优化卫生资源配置提供基础信息及参考依据.[方法]利用2006年迁安市卫生资源 配置调查资料,以迁安市农村居民为研究对象,以经济收入作为分层的客观变量,以居民两周患病人次数作为评价健康状况的指标,选用洛伦兹曲线与基尼 系数和差异指数法,对迁安市的健康公平性现状进行分析.[结果]Lorenz曲线与公平线比较接近,位于公平线的上方,不同经济收入水平下2周患病人次数的 基尼系数分别为0.108 355,差异指数ID为0.073 5.[结论]不同经济收入水平下的健康状况存在差异,但相对比较公平.
的论述如下。
设随机变量ｙ满足条件（４），其分布函数是Ｆ（算）。享。，导：，…是ｙ的随机观
测值（车。，色，…独立同分布，共同分布函数是Ｆ（茗））。￡。（Ｐ）是数据手，，色，…， ＆，的洛伦兹函数（见（力）。Ｇ是数据车。，｝：，…，￡，的基尼系数（见（３）），则有 下列结论。
定理１．若Ｙ的分布函数是连续函数，则Ｐ（１ｉｒａ。ｓ印．Ｉ￡。（ｐ）一Ｌ（ｐ）Ｉ＿
０）＝ｌ，这里￡（Ｐ）是ｙ的洛伦兹函数。 定理２． Ｐ（１ｉｎｔＧ。＝Ｇ）＝ｌ
这里Ｇ是ｙ的基尼系数。 换句话说，基于ｎ个数据得到的是￡。（Ｐ）的￡（Ｐ）一致强相合估计，得到
的Ｇ是Ｇ的强相合估计。
值得注意的是，在定理２中没有假设ｙ的分布函数是连续函数。． 这两个定理的证明较长，涉及较多的数学，这里从略。（参看［６］）
应该指出，基尼本人是对有限的数据组给出基尼系数的定义，即所谓相对 平均差的二分之一（参看［２］），见本文的公式（１）。［１］中只对“收入”的分布函 数具有密度函数的情形给出了洛伦兹曲线和基尼系数的定义，讨论其性质，并 未讨论从数据出发的统计推断理论。［２］中就分布函数是离散情形和有密度 的情形分别给出基尼系数和洛伦兹曲线的定义（离散情形限于只取有限个值
ｙ≥０且０＜ＥＹ＜∞
（４）
这里ＥＹ是ｌ，的数学期望。以下记严＝ＥＹ。 令
Ｆ一１（配）＝ｉｎ／｛石：Ｆ（戈）＞Ｕ｝
（０ ５ ｌ‘＜１），
（５）
（规定，－１（１）＝∞）
Ｆ－１（ｕ）是Ｆ（石）的“广义”反函数
。
定义：
￡（Ｐ）：吉口ｆＪ’０ Ｆ一１（１‘）ｄ“（一ｏ冬Ｐ一≤１）
（６）
叫做随机变量ｌ，（或分布函数Ｆ（石））的洛伦兹函数。在区间［０，１］上Ｌ（Ｐ）
3.期刊论文 陈奇志.陈家鼎.CHEN Qizhi.CHEN Jiading 关于洛伦兹曲线和基尼系数的一点注记 -北京大学学报
（自然科学版）2006,42(5)
对一阶矩有限的任何非负随机变量给出了洛伦兹曲线和基尼系数的定义,克服了已有文献上定义的局限性.并在十分广泛的条件下,论证了基于样本数 据所得到的洛伦兹曲线和基尼系数的估计量都具有强相合性.
（作者单位：北京大学）
关于洛伦兹曲线和基尼系数
作者： 作者单位：
陈奇志， 陈家鼎 北京大学
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1.期刊论文 成邦文 基于对数正态分布的洛伦兹曲线与基尼系数 -数量经济技术经济研究2005,22(2)
在对数正态分布这一特定条件下,本文对洛伦兹曲线与基尼系数进行了研究,结果表明,在这一条件下,社会经济指标ζ的洛伦兹曲线具有对称性,与基 尼系数一一对应,他们完全取决于该指标取对数后的均方差σ=√Dlnζ,只要测算出σ,根据本文提出的方程就可以绘制出洛伦兹曲线、计算出基尼系数 .实证分析表明,社会经济规模指标服从对数正态分布.因此,本文的结果在较广的范围具有指导意义和实用价值.最后,举例说明本文方法的应用及其正确 性.
麟 探索与翻罐。第十三次全国统甘科学讨论金文－，
蕴
且服从“均匀”分布），并给出了有关的计算公式，未讨论一般的分布函数，也未
涉及统计推断理论。
本文要在最一般的情形下统一给出洛伦兹曲线和基尼系数的定义（或者
？ｏ。融髓礴镒ｉｌ
说，以前的定义是这里定义的特殊情形），研究其性质，特别是要论述统计推断 理论，指出通常的估计量有强相合性。
4.学位论文 李斌 黑龙江省卫生筹资公平性研究 2004
卫生筹资公平性是卫生公平性的一个重要组成部分,是衡量一个国家和地区卫生筹资状况的重要指标.卫生筹资公平性研究,既有学术上的意义,又为 卫生改革和卫生事业发展起到一定的指导作用.该研究采用国际上最新的理论和测量方法,结合中国的实际来研究中国卫生筹资公平性问题.研究方法:该 调查是第三次国家卫生服务总调查的一个组成部分.调查以黑龙江省为现场,以家庭为基本分析单位,利用家庭各种消费性支出数据来测量通过税收负担的 政府卫生支出、社会医疗保险支出(合作医疗支出)、商业性健康保险支出和家庭直接现金卫生支出的Kakwani指数,绘制四种卫生支出的累进曲线,综合进 行卫生筹资累进性分析,评价卫生筹资的公平性.研究结果:2002年黑龙江省卫生筹资总额为160.55亿元人民币,占GDP百分比为4.13﹪,其中,政府税收占 14.78﹪,直接现金支付占64.11﹪,社会医疗保险和其它卫生投入占21.12﹪.利用基尼系数和洛伦兹曲线进行分析,卫生保健支付基尼系数为0.4615,大于 居民收入的基尼系数0.460,表明居民在卫生保健领域可支付能力的不公平程度大于收入分配中的不公平程度.农村居民在卫生保健领域的不公平程度好于 城市居民.通过分析累进曲线和Kakwani指数,通过税收支付的政府卫生支出里累退制,家庭直接现金卫生支出呈累进性,社会医疗保险和私人医疗保险先呈 累进制,然后变为累退制.结论:投资于人民健康,不断改善卫生筹资公平性是全面建设小康社会的必然要求,是实现全体人民都能有效地获得基本卫生保健 服务的有力保证.解决中国卫生筹资公平性问题,关键在政府职能的转变,坚持科学的发展观,全面协调发展卫生事业;核心是深化卫生体制改革,不断完善 卫生政策,有效地配置卫生资源;在加快卫生事业发展,促进社会全面进步的过程中,不断改善中国卫生筹资的公平性,提高全体人民的健康水平.
瓤瓤：丐÷．嘶，２竹五：∑．｝吼（吣ｉ：，１，……川，’ｎ）
石ｏ ２ Ｙｏ ２ ０
在坐标平面ｘｏｙ上依次联结各点（甄，Ｙｉ）（ｉ＝０，１，…，／＂ｔ）所得折线就是所 谓的洛伦兹曲线Ｙ＝￡。（ｘ）（０≤ｚ ｓ １）。不难知道厶（０）＝０，Ｌ。（１）＝１且 Ｌ。（戈）≤石 （０冬工曼１）。用Ｓ。表示折线Ｙ＝Ｌｎ（髫）与直线Ｙ＝石所围成的 图形的面积，△为直线Ｙ＝髫与石轴及直线茗＝１所围成的三角形的面积，可 以证明
数是Ｆ（戈））。若Ｆ（ｚ）＝Ｐ，令
，５，５１墨
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醚’攘黄ｊ５彰罐。第十三次全一统计科学讨论盒文鼻，
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＾ｃ并，：，委，，薹；￡ｃ算＞。，
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换句话说，儿很大时＾（石）ａ Ｌ（ｐ）．
，５，５２
定义：随机变量ｙ（或分布函数Ｆ（戈））的基尼系数是
Ｇ＝丢
ｙ＝Ｌ（ｘ）
０
当只（戈）是数据ａ。，口：，Ａ，口。的经验分布函数，即