几种混沌吸引子的仿真研究

几种混沌吸引子的仿真研究1

刘会师，尹霄丽，曹永盛

北京邮电大学光通信与光波技术教育部重点实验室，北京（100876）

E-mail：liuhuishi@

摘要：混沌（Chaos）现象于本世纪60年代初被发现至今，已经渗透至各个学科之中，可以说是“混沌无处不在”。本文由混沌理论出发，引出吸引子的概念，后文介绍了三种典型的混沌吸引子，并使用工具对它们进行仿真，通过仿真结果分析了三种混沌吸引子的基本性质。关键词：混沌，奇异吸引子，洛仑兹吸引子，逻辑斯蒂映射，Henon吸引子

中图分类号：O415.5

1．引言

混沌（Chaos）现象是20世纪最重要的科学发现之一。当今科学认为，混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机行为（内在随机性）。虽然在60年代混沌学的研究就已经悄然兴起，并逐渐渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科了，但是直到1978年菲金堡姆（Feigenbaum）从计算机实验中发现一些简单的单变量非线性映象的分岔点结构具有若干普遍规律，出现一些普适常数以后，混沌才引起了大家的极大兴趣。

我们周围的世界是不断发展变化的，具有各种各样的耗散结构。对于耗散结构的系统，当非线性进一步增强时，一般都会出现混沌运动。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。对于一个非线性系统，哪怕一个微小的扰动，像初始条件的一个微小改变，都可能造成系统在以后时刻行为的巨大差异。

通常情况下，对于一般的动力系统而言，都会最终趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所[1]。

图1 不动点和极限环

经典力学提出了三种类型的吸引子。第一种是零维的，它是一个稳定的不动点，所代表1本课题得到国家自然基金项目（项目编号：60577045）的资助。

的是一个稳定的定态；第二种是一维的，它是一个稳定的“极限环”，在相空间中表现为一条封闭的轨迹，在它外边和里边的轨线都以这个封闭曲线为其极限状态，向其靠拢。极限环代表一种稳定的周期运动；最后一种吸引子是二维的，它是一个稳定的环面，代表系统的准周期运动。

以上三种吸引子都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动，因为混沌绝不可能最终到达规则的有序运动。

其实，混沌运动也存在吸引子，只不过在混沌吸引子的内部，运动也是极不稳定的。对于有耗散的混沌系统来说，人们普遍相信其动力学行为在经过暂态过程后，稳定于相空间的一个低维数的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。也就是说，耗散的长期的行为也是要稳定于维数不是很高的吸引子上。

混沌状态出现时运动轨道不稳定，它们随机地但密致地逐渐汇集于一个整体日益减小但局部指数分离的区域，这个区域就是奇异吸引子（strange attractor）。奇异吸引子不同于前文提到的稳定的整数维吸引子（即不动点、极限环和环面），它具有的是奇特的非整数的空间维数，这种空间被称作豪斯道夫（Hausdorff）空间。因此，这是一种多层次的整体稳定、局部不稳定的运动状态，并且形成无穷嵌套的自相似结构。而且各种奇异吸引子具有某种共同的特点，即所谓标度不变性（标度律）。亦即把标尺作适当地收缩后，形象地说即用放大镜放大若干倍后，吸引子的细节部分与整体具有同样的结构。这是与内在随机性密切相关的几何性质[2]。

受这种吸引子控制的系统，其行为将呈现出一种典型的随机性，表现为活动活跃易变而又不确定。更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点集合）具有极其复杂的几何图象，如果不借助于电脑来辅助计算绘图的话，混沌吸引子是难以绘制出来的。所以，茹勒和泰肯斯把混沌吸引子称为“奇异吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。奇异吸引子不仅具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点——非周期性，即它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度[3]。

2．洛仑兹（Lorenz）吸引子

提到洛仑兹吸引子就不得不说到“蝴蝶效应”。 1961年冬季的一天，美国麻省理工学院气象学家洛仑兹为了预报天气，用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了更细致地分析数据，洛仑兹考察了一条更长的序列，但是他走了一条捷径：把一个中间解取出，提高精度再送回。而当一个小时之后，洛仑兹发现，尽管两次运算是从几乎相同的出发点开始的，但是他的计算机产生的天气模式差别愈来愈大，最终几乎毫无相似之处。计算机是不可能出现错误的，于是，洛仑兹认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即混沌，后来在他的论文中又称这种现象为“蝴蝶效应”[4]。

图2 1961年洛仑兹考察天气曲线时的打印结果

之后，洛仑兹又在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了只有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛仑兹吸引子。洛仑兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow ，发表在Journal of the Atmospheric Sciences 杂志上。如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西的一只蝴蝶扇动一下翅膀就会在美国的德克萨斯州引起一场飓风”这一说法的起源。它的形式看起来很简单：

[][]12312323213()()()()

()()()()()()()dx t x t x t bx t dt dx t x t x t dt dx t x t r x t x t dt σ⎧=−⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=−−⎪⎩

(1) 利用数学工具编程，并设置方程参数8,10,283

b r σ=

==，则洛仑兹的方程转化为如下形式： 112322331223()8()()()3()10()10()()()()28()()dx t x t x t x t dt dx t x t x t dt dx t x t x t x t x t dt ⎧=−+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−+−⎪⎩

(2) 仿真运算之后可得到的相图见图3。

图3 洛仑兹吸引子的相图