几种混沌吸引子的仿真研究

几种混沌吸引子的仿真研究1
刘会师，尹霄丽，曹永盛
北京邮电大学光通信与光波技术教育部重点实验室，北京（100876）
E-mail：liuhuishi@
摘要：混沌（Chaos）现象于本世纪60年代初被发现至今，已经渗透至各个学科之中，可以说是“混沌无处不在”。

本文由混沌理论出发，引出吸引子的概念，后文介绍了三种典型的混沌吸引子，并使用工具对它们进行仿真，通过仿真结果分析了三种混沌吸引子的基本性质。

关键词：混沌，奇异吸引子，洛仑兹吸引子，逻辑斯蒂映射，Henon吸引子
中图分类号：O415.5
1．引言
混沌（Chaos）现象是20世纪最重要的科学发现之一。

当今科学认为，混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机行为（内在随机性）。

虽然在60年代混沌学的研究就已经悄然兴起，并逐渐渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科了，但是直到1978年菲金堡姆（Feigenbaum）从计算机实验中发现一些简单的单变量非线性映象的分岔点结构具有若干普遍规律，出现一些普适常数以后，混沌才引起了大家的极大兴趣。

我们周围的世界是不断发展变化的，具有各种各样的耗散结构。

对于耗散结构的系统，当非线性进一步增强时，一般都会出现混沌运动。

混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。

对于一个非线性系统，哪怕一个微小的扰动，像初始条件的一个微小改变，都可能造成系统在以后时刻行为的巨大差异。

通常情况下，对于一般的动力系统而言，都会最终趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。

这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。

它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所[1]。

图1 不动点和极限环
经典力学提出了三种类型的吸引子。

第一种是零维的，它是一个稳定的不动点，所代表1本课题得到国家自然基金项目（项目编号：60577045）的资助。

的是一个稳定的定态；第二种是一维的，它是一个稳定的“极限环”，在相空间中表现为一条封闭的轨迹，在它外边和里边的轨线都以这个封闭曲线为其极限状态，向其靠拢。

极限环代表一种稳定的周期运动；最后一种吸引子是二维的，它是一个稳定的环面，代表系统的准周期运动。

以上三种吸引子都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动，因为混沌绝不可能最终到达规则的有序运动。

其实，混沌运动也存在吸引子，只不过在混沌吸引子的内部，运动也是极不稳定的。

对于有耗散的混沌系统来说，人们普遍相信其动力学行为在经过暂态过程后，稳定于相空间的一个低维数的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。

也就是说，耗散的长期的行为也是要稳定于维数不是很高的吸引子上。

混沌状态出现时运动轨道不稳定，它们随机地但密致地逐渐汇集于一个整体日益减小但局部指数分离的区域，这个区域就是奇异吸引子（strange attractor）。

奇异吸引子不同于前文提到的稳定的整数维吸引子（即不动点、极限环和环面），它具有的是奇特的非整数的空间维数，这种空间被称作豪斯道夫（Hausdorff）空间。

因此，这是一种多层次的整体稳定、局部不稳定的运动状态，并且形成无穷嵌套的自相似结构。

而且各种奇异吸引子具有某种共同的特点，即所谓标度不变性（标度律）。

亦即把标尺作适当地收缩后，形象地说即用放大镜放大若干倍后，吸引子的细节部分与整体具有同样的结构。

这是与内在随机性密切相关的几何性质[2]。

受这种吸引子控制的系统，其行为将呈现出一种典型的随机性，表现为活动活跃易变而又不确定。

更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点集合）具有极其复杂的几何图象，如果不借助于电脑来辅助计算绘图的话，混沌吸引子是难以绘制出来的。

所以，茹勒和泰肯斯把混沌吸引子称为“奇异吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。

奇异吸引子不仅具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点——非周期性，即它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。

因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度[3]。

2．洛仑兹（Lorenz）吸引子
提到洛仑兹吸引子就不得不说到“蝴蝶效应”。

1961年冬季的一天，美国麻省理工学院气象学家洛仑兹为了预报天气，用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。

为了更细致地分析数据，洛仑兹考察了一条更长的序列，但是他走了一条捷径：把一个中间解取出，提高精度再送回。

而当一个小时之后，洛仑兹发现，尽管两次运算是从几乎相同的出发点开始的，但是他的计算机产生的天气模式差别愈来愈大，最终几乎毫无相似之处。

计算机是不可能出现错误的，于是，洛仑兹认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即混沌，后来在他的论文中又称这种现象为“蝴蝶效应”[4]。

图2 1961年洛仑兹考察天气曲线时的打印结果
之后，洛仑兹又在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了只有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛仑兹吸引子。

洛仑兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow ，发表在Journal of the Atmospheric Sciences 杂志上。

如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西的一只蝴蝶扇动一下翅膀就会在美国的德克萨斯州引起一场飓风”这一说法的起源。

它的形式看起来很简单：
[][]12312323213()()()()
()()()()()()()dx t x t x t bx t dt dx t x t x t dt dx t x t r x t x t dt σ⎧=−⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=−−⎪⎩
(1) 利用数学工具编程，并设置方程参数8,10,283
b r σ=
==，则洛仑兹的方程转化为如下形式： 112322331223()8()()()3()10()10()()()()28()()dx t x t x t x t dt dx t x t x t dt dx t x t x t x t x t dt ⎧=−+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−+−⎪⎩
(2) 仿真运算之后可得到的相图见图3。

图3 洛仑兹吸引子的相图
从图3中可以看出，洛仑兹吸引子的相图有两个叶，状似蝴蝶的翅膀，“蝴蝶效应”一词也是由这个图形得出来的。

通过固定b 和σ两个参数，改变r 参数，还可以发现参数r 的取值可以影响到系统的性质，当参数r 的取值较小（比如r <1）的时候观测到的相图是较为杂乱的，当参数r 的取值达到一定数值（比如r >10）的时候，相图开始呈现出蝴蝶状，起初呈现出单叶的形状，后来随着参数r 的取值逐渐增大，相图也最终呈现出双叶蝴蝶状。

总之，参数r 的取值决定了洛仑兹系统的性质[5]。

3．Logistic （逻辑斯蒂）映射
Logistic （逻辑斯蒂）映射可以用著名的虫口问题来描述。

虫口问题起源于上世纪的70年代，最初是由“马尔萨斯人口论”所引发的，后来转向了昆虫的世代繁殖问题。

最初在1971年的时候，法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。

后来在1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径，这就是我们前文所说的虫口问题。

1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。

这就引起了数学物理界的广泛关注。

与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。

美国生物学家梅在1976年最终得到的虫口方程如下：
1(1)n n n x x x λ+=− (3)
其中1,2,3,n =∞……，，[0,1]x ∈，[0,4]λ∈。

通过计算机仿真迭代可以得到虫口方程的倍周期分岔图如图4所示。

图4 虫口方程的倍周期分岔图 图5 虫口方程的李亚普诺夫指数
与倍周期分岔的比较
图4是通过编程计算得到的倍周期分岔图，为了利于观察和研究，在仿真过程中略去
了前面的一部分不稳定点（毛刺）。

从分岔图中可以看到，当λ约等于1的时候，虫口方程开始进入分岔态，到λ约等于3的时候，迭代值开始了第一次分岔，随后又进行了第二次分岔，直至进入混沌。

为了更好的研究逻辑斯蒂映射的分岔图，这里对虫口方程的李亚普诺夫（Lyapunov ）指数也进行了计算。

由于逻辑斯蒂映射是一维的，因此根据李亚普诺夫指数的定义[6]，当李亚普诺夫指数小于零的时候，此时吸引子稳定，是一个不动点。

通过编程仿真之后绘出李亚普诺夫指数的仿真图样，用其与分岔图比较的结果如图5所示。

通过观察可以发现，在进入倍周期分岔的起始点与倍周期分岔点，方程的李亚普诺夫指数等于零。

而在分岔图的稳定区，李亚普诺夫指数为负值；在混沌区，李亚普诺夫指数为正值，与前文推测的结果相符。

由于逻辑斯蒂映射形式简单，且其方程的结构又能产生许多变化，因此有很多人从事此映射的应用研究，其中Umeno Ken 提出的2sin n x θ=就是其中一个很有创意的变化。

令方程（3）中的4λ=，并将2sin n x θ=代入方程（3）可以得到：
1222224(1)
4sin (1sin )
4sin cos sin (2)n n n x x x θθθθ
θ+=−=××−=××= (4)
假设θ表示的是通信中的传输频率，那么通过运算我们可以发现由n x 到1n x +成功的实现了扩频（2θθ→）。

Umeno Ken 把此变化应用到扩频通信之中，并在混沌光CDMA 领域收到了良好的效果。

4．Henon 吸引子
Henon 吸引子也是一种典型的混沌吸引子，与逻辑斯蒂吸引子不同的的是，Henon 吸引子是二维的。

Henon 吸引子的方程表示如下：
211
1n n n n n x ax y y bx ++⎧=−+⎪⎨=⎪⎩ (5) 其中[0,1]n x ∈，[0,1]n y ∈。

通过仿真绘图可以直观的看到Henon 吸引子的相图（其
中 1.4,0.3a b ==）。

图6 Henon 吸引子的相图 图7 Henon 吸引子的分岔图
Henon 吸引子也是国内外研究的比较多得吸引子之一，上面的相图也在许多文献被提到和研究[7]－[9]，文献[7]-[9]只是列出了众多研究中的几个例子而已，但是对于Henon 吸引子的的分岔图的研究却比较少见。

其实通过matlab 仿真是很容易得到Henon 吸引子的分岔图的。

图7是设定0.3b =，在[0,1.4]a ∈并以0.01步长变化时关于x 迭代得到的分岔图，图中横坐标是a ，纵坐标是x 。

关于变量y 的分岔图形状与变量x 的相似，唯一区别仅在于取值范围被控制在0.45±之间。

这一点从方程（5）的第二个方程也可以看出，由于两个变量之间存在着线性关系，且线性系数由变量b 决定。

5．总结
本文首先介绍了混沌学科的历史发展进程，然后详细介绍了吸引子的概念，并在后文提出了三种典型的混沌吸引子。

先是介绍了最为著名的属于三位相空间洛仑兹吸引子，并通过数学软件得到了洛仑兹吸引子的相图，并给出了参数变化对洛仑兹吸引子性质的影响；然后又分别介绍了一维的逻辑斯蒂映射和二维的Henon 吸引子，并通过仿真给出了两个吸引子的相图、分岔图以及李亚普诺夫指数等指标，通过比对给出了判断各映射进入混沌态的条件并简单介绍了它们在工程研究中的研究进展。

参考文献
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Simulation and Research about Attractors of Chaos
Liu Huishi，Yin Xiaoli，Cao Yongsheng
Key Laboratory of Optical Communication & Lightwave Technology Ministry of Education，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing (100876)
Abstract
From Chaos phenomenon have been found in the early 1960s to date, it have infiltrated various disciplines. This can be said about "chaos is everywhere." This paper begins from chaos theory, then talks about the concept of attractor. After that three typical chaotic attractor have been showed and simulated as followed. At the end of each chapter, the basic character of therse three chaotic attractor have been discussed and analysed by their simulation results.
Keywords：Chaos，Strange attractor，Lorenz attractor，Logistic mapping，Henon attractor。