一、数学美学的基本内容

13.1
1800年一位德国数学家猜想这 一等式成立，96年后，两位法 国数学家同时独立地证明了猜 想的正确性。
数学在法国地位崇高，视数 学为国学。
n ( n) ln n
猎奇——审美，它们之间是相 通的。 在杂乱无章的素数分布上， 人们发现了许多奇特的规律， 犹如万树丛中的鸟语花香
2.对无理数的品位
2.2 e与π
因此 cos i sin 与e 具有同样的结构， 我们认为它们是相等的。这种思想来源于 法国伟大的哲学家和数学家Leibniz. 这种 思想在代数、几何等领域得到了许多发展。 在同构的观点下，人们能看到不同现象的 ]同一本质（规律），并能从已有的规律去 推断其他领域或事实的类似物。这是多么 美妙的方法啊！
e 2.71828182845904523536
猜测：1.每隔10位数就会出现同样的 数字;
2. π的数字中必有e的前n位数字,
e的数字中必有π的前n位数字。
2.2 e与π
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1：实数单位
i
i：虚数单位
0：唯一中性数
i：来源于几何
因
数: xi | a, i 1,, n. 1 xi a
完美数:
a 1 x1 x2 xn
n 的因数之和恰好为 n 1 即 n 1 n
素
数:
完美数有多少?
6的因数为 2,3 1, 6 1 2 3
28的因数为 2, 4, 7， 1, 14 28 1 2 4 7 14
形如2 1 的素数称为Mersen素数,
n
记为 M n 2 1
n
共有28个Mersen素数被发现 : n 2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 61, 89 107,127, 521, 607,1279, 2203 2281, 3217, 4253, 4423, 9689 9941,11213,19937, 21701, 23209, 44497, 86243
古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学 紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉 斯流派）对数（正整数）和对世界的 思考是不可分割的。他们认为： 万物皆数，数生万物，1最神圣
古中国：一生二、二生三、三生万物
2.对无理数的品位 无理数的发现打破了古希腊数 学与哲学的和谐，产生了数学 （也是哲学）的第一次危机
2： 正方形对角线长与其边长之比 5 1 ： 正五边形对角线长与其边长之比 2
黄金分割点体现了美与实用，沟通 了人与自然
2.2 e与π
无理数分类
代数无理数：整系数多项式的根
5 1 2 如 是x x 1 0的根. 2
超越无理数：代数无理数以外的 无理数 如e, 证明它们是超越 无理数是相当困难的。
2.2 e与π
与几何有关
e与物理学、经济学、生物学 等有关。它可以刻画天体运 动、衰变和利率、生物繁殖
x 0.618 C
B
C点称为黄金分割
正五边形对角线长与 边长之比
正五边形边长与对角 线长之比
2.1 黄金分割
人体: 躯干部分的宽与长之比
肚脐、膝盖 植物：相邻两叶在与茎垂直的平面 上的投影的两夹角的比 利于通风采光
2.1 黄金分割
名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点
名画：充分利用了0.618 建筑: 如建筑物的特征点、门窗等
π ：来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于分析
2.2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
e
i
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
i
3.无限世界的美妙
1,2,3,4,5,6,7,...是什么?
496的因数为1, 2, 4,8,18,31, 62,124, 248 496 1 2 4 8 18 31 62 124 248
第四个完美数是8,128(1000多年前)
第五个完美数是33,550,336(1538年)
第六个完美数是8,589,869,056(1588年)
1.正整数的美学审视 2.对无理数的品位
3.无限世界的美妙
美学的基本内涵：
行为的基本准则——审美动机
社会进步的标准——发展需要 高级的心理活动——精神需求
数学的价值：
历史证明：“一个国家的科 学水平可以用它消耗的数学来度 量” （A.N.RAO）
繁荣的中国需要数学。
1.正整数的美学审视 你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论吗？ 正整数优美吗？
2.2 e与π
无理数的定义说明它们不可以用有 限个有理数来表示。微积分的无穷 级数提供了无理数的有理数的无限 和表示。例如
1 1 1 4 1 3 5 7 1 1 1 e 11 2! 3! 4!
2.2 e与π
3.14159265358979323846
2
86243
1是一个25000多位的数,
需要用30页A4纸. 是通过高性能 计算机来检验它是一个素数的.
Mersen数在代数编码（密码学） 中有用。
区间 1-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700
素数个数 25 21 16 16 17 14 16
区间 1-100
比例 1/4
1-1000
1-10000 1-100000
1/6
1/8 1/10
19世纪有一位数学爱好者观 察了600000内的素数，发现 在n和2n之间至少有1个素数。 9年后一位俄国数学家证明了 猜想的正确性。
1-n的区间
n n n n 100 1000 10000 100000
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别 用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许 多人
当n 2,3,5,7,13,17时, Cn确实是前6个完美数.
Euclid在探寻完美数的时候发现： 完美数可能的公式：
Cn 2 (2 1)
n
n 1
并猜想当 n 和 2 1 都是素数时,
n
Cn是完美数. 此猜想被18世纪的一 位数学家所证明.
2.1 黄金分割
问题：在直线AB 上找一点C，使得 AC AB CB BC
A
x
C
若AB 1，AC x， 那么 x 1 1 x x 于是
(1)
5 1 x 0.618. 2
B
2.1 黄金分割
方程（1）等价于 A x2 x 1 0 它的两个根为 5 1 x1 2 5 1 x2 2
素数个数π(n)
25 168 1229 9592
π(n)/n<
1/4 1/5 1/8 1/10
ln n lim 1 n n / ( n)
n
10
100
1000
10000
100000
1000000
π(n)/n
2.5
4
5.95
8.14
10.42
12.05
ln n
2.3
4.6
6.9
9.2
11.5