121.1任意角的三角函数与三角函数线

正弦线
P
T x
x x cos x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
余弦线
0 M MA y
正切线
P
M0 A x
T
例4： 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
2 （1） ；（2） ． 3 3
思考： 求证：当
为锐角时，sin tan
（1） （2）
例3：求下列三角函数值：
(1)sin1480 10'
9 (2) cos 4
11 (3) tan 6
sin x cos x tan x cot x 1.函数 y sin x cos x tan x cot x
的值域是（ A. {-2,4} C. {-2,0,2,4} ） B. {-2,0,4} D. {-4,-2,0,4}
(k Z )
利用公式（一），可以把求任意角的三角函数 。 。 值，转化到求0 到360 角的三角函7 tan( ) 6
cos 250
cos4
sin( ) 4

是第三象限角的充分必要条件是 例2:求证：
sin 0 tan 0
2.若sin θ ＜0且tan θ ＞0,则θ是（ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
）
问题：三角函数的一种几何表示
当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ， MP 都看 成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正 弦、余弦、正切函数的定义有： y
y y sin y MP r 1
三角函数值在各个象限内的符号
sinα
y
cosα
y
+
– o
+
–
x
–
o –
+
+
x
tanα
y
–
o
+
x
+
–
由三角函数的定义知道：终边相同的角的同一 三角函数值相等。由此得到诱导公式（一）：
sin(k 360 ) sin tan(k 360 ) tan cos(k 360 ) cos cot(k 360 ) cot
三角函数的定义域 通过对三角函数定义的讨论，推导出任意 角三角函数的定义域(自变量取值范围）。 三角函数 定义域 正弦：sinα=y/r
R R
余弦：cosα=x/r
正切：tanα=y/x
{ |

2
k , k Z }
度
弧 度
sin
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
1.若点P（－3,y）是角α终边上一点，且
2 sin α＝ ，则y的值是 3
6 5 。 5
2.已知角θ的终边上一点P（x,－2）（x≠0），
x 且cos θ＝ 3
求sin θ和tan θ的值。
2 2 当x 5时， sin ， tan 5 3 5 2 2 当x 5时， sin ， tan 5 3 5
．
任 意 角 cos x r 三 角 y 函 tan x 数
三 角 函 数 的 几 何 意 义
y sin r
r csc y r sec x x cot y
正弦线
余弦线
y y sin y MP r 1
x x cos x OM r 1
tan y MP AT AT x OM OA
正切线
1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角 函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数 的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上 推导出来的. 3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的 象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号， 则角α所在的象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关， 与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三 角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一 周，函数值重复出现.
0
1 2
2 3 5
4 3
2 2 2 2
6
3 2 3 3
2
3 4 6
3 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 3 3 3

3 2
2
cos
tan cot
0 1 0
1 2
3 2
1 0
1
3
1
0 1 0 1 0 1 0 0
补充练习