复合材料细观力学

ij
2
ij
ij
ij
kk
kk
(2-8)
ij
ij
ij
ij kk
/
1
/ 2
(2-9)
式中，和是Lame常数，而是Poisson’s ratio。
平衡条件
计算本征应力时，需假定材料D不受外载（体力和表面力） 作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自 由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。
夹杂理论初步
本征应变的定义 弹性问题的基本方程 弹性场的一般表达式 Green函数 弹性场的Eshelby解 非均匀体问题
1. 本征应变的定义
本征应变
本征应变是一个广义概念，是指所有非弹性应变， 例如热膨胀应变、相变应变、初始应变、塑性应变、失 配应变等。
本征应力
本征应力是由本征应变所引起的自平衡内应力，它 不同于由作用于物体的外载荷所引起的应力。
总应变ij必须是相容的
ij
1 2
ui, j u j,i
(2-2)
弹性应变与应力通过Hooke’s law联系在一起
ij Cijklekl Cijkl
kl
* kl
或者
(2-3)
ij Cijkl
uk ,l
* kl
(2-4)
2. 弹性问题的基本方程
式中，Cijkl是四阶弹性模量张量，有如下关系
others
(2-16)
3. 弹性场的一般表示
在下面的推导中，考虑无限弹性介质D内含一夹杂， 且夹杂内具有本征应变*ij的一般情况。这样做的目的： 既是为了数学上处理简单，又是接近于实际。对于一般 的复合材料，增强或增韧相的细观几何尺寸远小于复合 材料的宏观尺寸，这样将复合材料作为无限大弹性体处 理具有足够的精度。
2. 弹性问题的基本方程
相容条件
应变张量ij有6个独立的应变分量，而位移矢量ui有3 个分量。它们通过几何方程（相容条件）联系在一起。 然而，相容方程一般是指由相容条件所导出的如下方 程
pki qlj ij,kl 0
(2-15)
式中，pki是置换张量，被定义为
1
ijk 1
0
i, j, k ep 1, 2,3 i, j, k op 1, 2,3
1. 本征应变的定义
当本征应变在均匀材料D的有限区域内给定，而 在区域D- 内为零时， 被叫做夹杂。这里，夹杂 与基体D- 的弹性模量相同。
当夹杂的弹性模量与基体的弹性模量不同时， 被叫做非均匀体(inhomogeneity)。此时，应力场将由非 均匀体扰动。对于非均匀体问题，扰动的应力场可由虚 构的本征应变表示。
1. 本征应变的定义
如图1所示，当材料内部区域的温度升高度时， 外部区域的限制将导致区域D内的热应力ij。热膨胀 将组成热膨胀应变
ij
ijT
(1-1)
D
图1.1夹杂
式中，ij是Kronecker Delta，而是线热膨胀系数。当 区域不受外部约束，可以自由膨胀时，热膨胀应变就 由方程(1)给出。
对于给定的本征应变*ij，所要求解的基本方程为
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
(3-1)
Fourier积分变换
三维空间内函数的Fourier积分变换及反变换分别为
F ξ
1
8 3
f
xexp
iξ
Hale Waihona Puke xdxfx
F
ξexpiξ
xdξ
函数导数的Fourier积分变换为
F
m f x
xim
在区C域ijklD-Cij内lk 本C征jikl应 变Ckl为ij 零，此(时2-方5) 程（2-4）可表示 为
ij Cijkluk,l
(2-6)
方程（2-3）的逆可表示为
ij
ij
C 1 ijkl
kl
(2-7)
式中，C-1ijkl是弹性柔度张量。
2. 弹性问题的基本方程
对于各向同性材料，方程(2.3)和(2.7)可以表示为
复合材料性能预报与设计
主讲人：吴林志 哈工大复合材料与结构研究所
2020/7/18
主要参考书
复合材料细观力学 杜善义、王彪编著
固体本构关系 黄克智、黄永刚编著
Micromechanics of defects in solids Toshio Mura
主要内容
❖ 细观力学的发展概况 ❖ 夹杂理论初步 ❖ 复合材料有效弹性模量
(2-12)
2. 弹性问题的基本方程
将方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
和
(2-13)
Cijkluk,l n j
Cijkl
kl
n
j
(2-14)
由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征应变对平 衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。
细观力学的发展概况
Eshelby (1957, 1959, 1961)的三篇文章 Mura (1982, 1987)的专著
代表性工作
自洽理论 (Hill, 1965; Budiansky, 1965) 广义自洽理论 (Christensen and Lo, 1979) Mori-Tanaka方法 (Mori and Tanaka, 1973) 微分法 (Mclaughlin, 1977) 二阶上下限 (Hashin and Shtrikman, 1963) 高阶上下限 (Torquato, 1991)
2. 弹性问题的基本方程
当自由弹性体D承受一个给定的本征应变分布时， 可通过基本方程给出任意点处的弹性场。这里所说的自 由弹性体是指不受任何外来的表面力和体积力。
Hooke’s law
对于小变形问题，总应变场ij是弹性应变场eij和本 征应变场ij之和
ij
eij
ij
(2-1)
2. 弹性问题的基本方程
2. 弹性问题的基本方程
平衡方程
ij, j 0
(2-10)
无外力作用的边界条件
ijn j 0
(2-11)
式 中 ， nj 是 弹 性 体 D 边 界 上 的 外 单 位 法 向 量 。 方 程 （2.11）是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，
相应的边界条件为
ij 0
lim x 0
ii
m
F
f
x
3. 弹性场的一般表示
对方程（3.1）进行Fourier积分变换后可得
Cijklukl j
iCijkl
kl
j
(3-2)
在推导中用到了关系式(ix),l=il。方程（3.2）表示三 个方程，用于确定三个未知量ūi。引入符号
ik Cijkl jl