等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

教学目标

1．掌握等腰三角形的判定定理，并能够较灵活地运用它进行有关证明．

2．渗透逆向思维，类比研究问题的方法．

教学重点和难点

重点是等腰三角形的判定定理；难点是等腰三角形的判定与性质的区别．

1．复习等腰三角形的性质．

学生总结等腰三角形的性质．

（1）从边看：等腰三角形的两腰相等．（定义）

（2）从角看：等腰三角形的两底角相等．（性质定理）

（3）从重要线段看：等腰三角形底边上的高、中线与顶角的平分线互相重合．（性质定理的推论1）

2．构造等腰三角形的性质的逆命题．

（1）教师提问：具备什么条件的三角形是等腰三角形？为什么？

引导学生回答：根据等腰三角形的定义，两边相等的三角形是等腰三角形．不要说成“两腰相等的三角形是等腰三角形”．

（2）让学生类比联想构造性质定理的逆命题．注意纠正语言上不严谨的错误，不要说成：

“如果一个三角形有两个底角相等，那么它是等腰三角形。”

逆命题可以有以下几种叙述方法：

①如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；（突出逆命题判定等腰三角形的功能．）

②如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形的两条边相等；

③如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”．（突出说明已知相等的两角与所得相等的两边的关系．）

（3）让学生根据逆命题画出图形，探索逆命题是否成立，并写出已知、求证．

已知：如图 3－116△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．

二、类比联想，证明逆命题．

1．分析思路：引导学生类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC 为边的两三角形，并证明它们全等．需注意，此时辅助线可作AD⊥BC于D，（D点必落在线段BC的内部，为什么？）或 AD平分∠ BAC交 BC于D，但不能作BC边上的中线，因为 SSA 条件无法直接用来证明两三角形全等，也无法利用其它辅助手段来证明．

2．得出等腰三角形的判定定理．

三、应用举例，变式练习

例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

引导学生根据命题画图，利用平分线的性质及“等角对等边”来证明．

例2课本第76页的例2，见图3－117．

重点分析以下两点：

（l）如何把实际问题翻译成几何命题；

（2）如何根据题意画出图形，关键在于用角度表示平面内的方向的方法。

例3有关等腰三角形的基本图形．

（1）如图3－118，若OD平分∠AOB，DE//OB交OA于E.求证：EO＝ED.

提问：这个结论的逆命题是否正确？

（2）如图 3－118若OD平分∠AOB， EO ＝ED，求证:DE//OB．

（3）如图3-118若DE//OB交OA于E，EO＝ED，求证:OD平分∠AOB．

总结：图3－118是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3－118中，“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的，

例4 有关图3－118的题组练习．

（1）如图 3－119， AD//BC,BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．

（2）已知：如图 3－120（a）AB＝AC， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB．问：①图中有几个等腰三角形？②如图3－120（b），若过D作EF//BC交AB于E,交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？

（3）如图3－120（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？（答：EF＝BE＋CF）

（4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相应的线段和差关系如何？

推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图 3－120（d）， EF＝ BE－ CF．

推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图3－120（e），EF＝AE＋CF．

（5）如图3－121，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE//AB交BC于E,作DF//AC 交BC于F.求证：BC的长等于△DEF的周长．

（6）把一张长方形纸条，像图3－122那样折叠，重合部分是什么形状？为什么？

例5如图 3－123．△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD 于E，AF平分∠CAD交DC于F，连结EF．指出图中的全等三角形、等腰三角形，并说明理由．

例6已知：如图 3－124（a），AD平分∠BAC，AC＝ AB+BD．求证：∠C:∠B＝1:2．

分析：利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－ AB或AB＋ BD转化成一条线段，如图3－124（b），（c），同时构造出全等三角形，得出角度关系．

四、师生共同小结

1．等腰三角形的判定方法：定义及判定定理．根据等腰三角形的性质定理的逆命题也能用来判断一个三角形是否是等腰三角形，但不作为定理使用．（见设计说明）

2．掌握基本图形3－118中所包含的基本结论，就可以帮助分析解题思路．

五、作业

课本第83页第2，3，5，6题．

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成．

1．课本第3．13节分成3课时，前2课时学习等腰三角形的判定定理及应用，第3课时学习等边三角形的判定方法及推论3．

2利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的一种研究问题的方法，在以后学习平行四行形、梯形等特殊四边形的判定时会反复用到．最好在这一章第一次出现时，就让学生能够理解它的推导过程，并在以后学习过程中自觉使用它。

3．根据学生的实际和课时情况，可类比等腰三角形的判定定理的推导方法来处理“等腰三角形三线合一”的逆命题的教学，因为这种判定方法虽然不作为定理出现，但它的逆命题是非常常见的．它有以下几种形式：

（1）一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质定理）

（2）一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．（ASA）

（3）一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，利用倍长中线得到全等三角形可以证明。

因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能得到它是等艘三角形，从而得到“三线台一”的结论．