高考数学二轮复习 专题七 数列 第2讲 数列问题的综合 理

[解] (1)方程 x2－5x＋6＝0 的两根为 2，3，
由题意得 a2＝2，a4＝3. 设数列{an}的公差为 d，则 a4－a2＝2d， 故 d＝1，
2 从而 a1＝32. 所以{an}的通项公式为 an＝12n＋1. (2)设2ann 的前 n 项和为 Sn.
由 (1)知2ann＝ n2＋n＋ 12，则 Sn＝232＋243＋…＋n＋2n 1＋n2＋n＋12，
＝ (2n－ 1)(2n＋ 1)，
1＝ 1 × 1 bn 2n－1 2n＋1
＝12(2n1－ 1－2n1＋ 1)，
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1
b1 b2 b3
bn
＝12[(1－13)＋ (13－15)＋…＋(2n1－ 1－2n1＋ 1)]
＝12(1－2n1＋
)<1. 12
2．已知数列{bn}满足 bn＋1＝12bn＋14，且 b1＝72，Tn 为{bn}的前 n 项和． (1)求证 ：数列{bn－12}是等比数列，并求 {bn}的通项公式； (2)如果对任意 n∈N，k>0，不等式2Tn＋3×22－n－10≤n2＋4n
(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－qanbn.③ 化简③求出Sn即得．
已知等差数列{an}的公差 d>0，前 n 项和为 Sn，a2，a4 是方程
Байду номын сангаас
x2－10x＋21＝0 的两根．
(1)求证： 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <1；
S2 S3
Sn
(2)求数列{2－nan}的前 n 项和 Tn.
＋1 2 2×
＋… 3
＋ （
1 n－
1）
n
＝11－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＝1－1n<1.
(2)∵2－nan＝2n2－n 1，
∴数列{2－nan}的前 n 项和 Tn为 Tn＝211＋232＋253＋…＋2n2－n 1,①
∴12Tn＝212＋233＋…＋2n2－n 3＋22nn－＋11，②
①－②得12Tn＝12＋
2212＋213＋…＋21n
－22nn－＋ 11
＝1＋ 2
2×212 1－1－121n－1－22nn－＋ 1
1
2
＝3－2n＋ 22
3·12
n，
∴ Tn＝ 3－ (2n＋ 3)12 n.
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且12，an，Sn成
等差数列．
k ＋5 恒成立，求实数 k 的取值范围．
解：(1)对任意 n∈N，
都有 bn＋1＝12bn＋14，
所以 bn＋1－12＝12(bn－12)，
解：(1)证明：∵x2－10x＋21＝0 的两根为 x＝3 或 x＝7， 由题意得 a2＝3，a4＝7， ∴a1＋d＝3 ，
a1＋3d＝7 解得 a1＝1，d＝2，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴
Sn＝
n×
1＋n（
n－ 2
1）×
2＝
n2.
当 n≥2 时，Sn＝n2>n(n－1)，
∴S12＋S13＋…＋S1n<1×1
当 n≥2 时，Sn＝2an－12，Sn－1＝2an－1－12，
两式相减得， an＝Sn－Sn－ 1＝ 2an－ 2an－1，
∴ an ＝2， an－ 1
∴数列
{an}是
首项为1，公比为 2
2
的等比数列，
∴ an＝ a1× 2n－1＝ 2n－ 2.
(2)证明 ： bn＝(log2a2n＋ 1)×(log2a2 n＋ 3) ＝ (log2 22n＋1 －2)× (log222n＋ 3－ 2)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足 bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，
求证： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <1.
b1 b2 b3
bn 2
解：
(1)∵1， 2
an，
Sn
成等差数列
，
∴ 2an＝ Sn＋12.
当 n＝1 时，2a1＝a1＋12，∴a1＝12，
是在基础
问题上的
拓展与函
数和不等
式的结合，
是考试的
卷Ⅱ，T16
重点
1．必记概念与定理 数列求和最常用的四种方法 (1)公式法 适合求等差数列或等比数列的前n项和．等比数列利用公式法 求和时，一定注意公式中公比q是否取1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求 数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等 比数列．
(3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方 法，适用于求数列ana1n＋1的前 n 项和．
其中{an}若为公差不为零的等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.
(4)分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适 当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别 求和，然后再合并．
2．活用公式与结论 (1)求解{an}的前n项和的最值时，无论是利用Sn还是an，都要 注意条件：n∈N. (2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1项中 的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注 意要讨论代数式是否为零．
考点一 等差数列与等比数列的综合
(2014·高考课标全国卷Ⅰ，12 分)已知{an}是递增的等差数 列，a2，a4 是方程 x2－5x＋6＝0 的根． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列2ann 的前 n 项和．
12Sn＝233＋244＋…＋n2＋n＋11 ＋n2＋n＋22.
两式相减得
12Sn＝34＋213 ＋…＋2n1＋ 1－n2＋n＋ 22
＝34＋141－2n1－
1
－n2＋n＋ 22.
所以 Sn＝2－n2＋n＋14.
[名师点评] 错位相减法是数列求和的重要方法之一，其基
本形式是：{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比 数列，求数列{anbn}的前n项之和Sn. Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＋anbn① qSn＝a1b2＋…＋an－2bn－1＋an－1bn＋qanbn② ①－②得
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2.待定型数 列的转化 与求解
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