《数字信号处理》第8章 多采样率数字信号处理

x(n1T1)
y(n2T2)
x(n1T1) ↓ D y(n2T2)
T2 ＝ D T1
(a)
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 n1 T1
0 12345
T2
n2
(b)
(c)
图 8.1.1 数字信号的抽取
第8章 多采样率数字信号处理
2. 信号的整数倍抽取的频域描述
xa(t)和x(n1T1)的傅里叶变换Xa(jΩ)和X(ejω1)将分别是
－
1 D
Ωsa
1
图 8.1.5 信号在抽取前后的时域和频域示意图
第8章 多采样率数字信号处理
信号抽取过程的等效数学描述
在抽取前先令x(n1T1)乘以周期序列
~
(n1T1)， 即
~
~
x(n1T1) x(n1T1) (n1T1)
~
其中， (n1T1)定义如下：
~
(n1T1 )
1, 0,
n1
0,
1 D
D 1 k 0
x(n1T1
)e
j
2
D
kn1
第8章 多采样率数字信号处理
x(n1T1)
x(n1T1)
0
～
λ (n1T1) 1
n1
0
0
n1
～
x^(n1T1) ＝ x(n1T1)λ (n1T1)
n1
直 接 抽 取
0
T2 2T2
＝ DT1
y(n2T2)
n1 y(n2T2)
0
1
2
3
4
5 n2
T2 ＝ DT1
X (e jT1 )
X (e j 1 )
1 T1
1 T1
k
xa ( j jksa1)
第8章 多采样率数字信号处理
xa(t)
Xa(jΩ )
FT
0
x(n1T1)
t (a)
FT
－ Ωc 0 Ωc
Ω
X(e Ωj T1)＝X(e jω 1)
0
T1
t
－ Ωsa 1
－ Ωc 0 Ωc
Ωsa
＝
1
2π T1
T2 = DT1
第8章 多采样率数字信号处理
其中n1和n2分别表示x(n1T1)和x(n2T2)序列的序号， 于是有
y(n2T2) = x(n2DT1) 当n1=n2D时，
y(n2，T2) = x(n1，T1) 或
y(n) = x(Dn) D倍抽取就是每隔D-1个点抽取一个。
第8章 多采样率数字信号处理
Ω
(b)
图 8.1.2 xa(t), x(n1T1)及其傅里叶变换
第8章 多采样率数字信号处理
y(n2T2)
0
T2
FT n2
Y(e jΩ T2)
0
Ωsa 2＝
D1 Ωsa
DΩsa
1
2
Ω
图 8.1.3 抽取后的y(n2T2)及其频谱Y(ejω2)
第8章 多采样率数字信号处理
为避免混叠，在抽取前对信号进行低通滤波，把
n2
Y (e j2 )
n1
^
x(n1T1)e j1n1
n1
[ 1 D1 D k0
x(
n1T1
)e
j
2 D
kn1
]e
j1n1
1 D1
X
(e
j
(1
2 D
k
)
)
D k0
令 则 z2
e j2 , z1
e j1 ,W
j 2
eD
Y (z2 )
1 D
D 1 k 0
X (z1W k )
第8章 多采样率数字信号处理 式中，z1 e j1 e jT1 e jT2 / D z12/ D.所以有(省去z2的下标)
Xa ( j)
xa (t)e jtdt
X (e j 1 )
x(n1T1)e j 1 n1
n
其中，Ω=2πf (rad/s), f为模拟频率变量，ω1为数字频率。
1
T1
2
f F1
X (e j 1 ) 1
T1 k
xa (
j
1
T
jk sa1 )
第8章 多采样率数字信号处理
为了对抽样前后的频谱进行比较，作图时均以模 拟角频率Ω为自变量(横坐标)，
0
1
2
3
4
5 n2
T2
图 8.4.6 对x(n1T1)抽取过程的等效数学描述与直接抽取波形
第8章 多采样率数字信号处理 下面推导Y(e jω2)与X(e jω1)的关系：
Y (e j2 )
y(n2T2 )e j2n2
y(n2 DT1)e jT1D n2
n2
n2
y(n2 DT1)e j1D n2
建立在采样率转换基础上的“多采样率数字信号处理” 已成为数字信号处理学科的主要内容之一，在语音信 号处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。
第8章 多采样率数字信号处理
采样率转换通常分为“抽取”和“内插”。 抽取：是降低采样率以去掉多余数据的过程。
内插：是提高采样率以增加数据的过程。 本章重点讨论抽取和内插的概念以及其基本实现方
法。
第8章 多采样率数字信号处理
8.1 信号的整数倍抽取
1. 信号的整数倍抽取的时域描述 设x(n1, T1)是连续信号xa(t)的采样序列，采样率
F1=1/T1(Hz)，T1称为采样间隔，单位为秒，即 x(n1T1) = xa(n1T1)
若将采样率降低到原来的1/D（D为大于1的整数，称为 抽取因子），采样间隔为T2，采样率F2=1/T2(Hz)，组 成的新序列为y(n2, T2)，则有
X(e jω 1)
FT
0
T1
v(n1T1)
n1 (a)
－ Ωsa 1
FT
－ Ωc 0 Ωc V(e jω 1)
Ωsa 1＝
2π T1
Ω
0
T
y(n2T2)
n1 (b)
－ Ωsa 1
FT
－ Ωc′ 0 Ωc′ Y(e jω 2)
Ωsa 1 Ω
0
T2
n2 (c)
－ Ωsa 1
0 Ωsa 2
Байду номын сангаас
Ωsa 1 Ω
＝
信号的频带限制在Ωsa2/2以下，该滤波器（h(n1T1)）称 为抗混叠滤波器（抽取滤波器），其频率响应为
H
(e
j
)
1
0
||
D
| |
D
x(n1T1)
h(n1T1) v(n1T1) ↓D
y(n2T2)
图 8.1.4 带有抗混叠滤波器的抽取系统框图
第8章 多采样率数字信号处理
x(n1T1)
第8章 多采样率数字信号处理
第8章 多采样率数字信号处理
8.1 信号的整数倍抽取 8.2 信号的整数倍内插 8.3 采样率转换高效实现方法
第8章 多采样率数字信号处理
前面所讨论的信号处理的各种方法都把采样频率Fs视 为固定值，即在一个数字系统中只有一个采样频率。
实际系统中，经常要求能对采样率进行转换，即要求 一个数字系统能工作在多采样率状态。这样的系统称 为多采样率信号处理系统。例如：数字电视系统中的 图像采集系统，数字电话系统等。
其它
D,
2D
~
于是 (n1T1) 的DFS展开式为
~
(n1T1 )
1 D
D 1 k 0
~
A(
k
)e
j
2 D
kn1
第8章 多采样率数字信号处理
~
D1
A(k)
~
(n1T1
)e
j
2
D
kn1
1
n1
~
(n1T1)
1 D
D 1 k 0
~
A(k
)e
j
2
D
kn1
1
D 1
ej
2
D
kn1
D k0
^
x(n1T1 )