弹簧振子模型的拓展应用

弹簧振子模型的拓展应用
姜树青
（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）
弹簧振子模型是中学物理里重要的模型之一，扩展应用该模型解题，能使学生对所学知识融会贯通，对提高学生解题能力大有帮助。

本文拟以弹簧振子在滑动摩擦阻尼下的振动为例，介绍笔者在竞赛辅导教学中是如何拓展应用弹簧振子模型的.
题目：质量为10.0kg 的物块（可视为质点），静放在粗糙的水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为0.24，劲度系数为103N /m 的水平、轻质、原长足够长的弹簧，左端固定在墙壁上，右端与物块相连.开始物体位于O 点，此时弹簧处于原长状态，如图1所示.现把物块向右拉离平衡位置30.0厘米，然后释手．问从释手到物块最终静止：（1）
物块共发生多少次运动方向的转折？（2）物块运动经历
的总时间为多少？（3）物块运动经历的总路程为多少？
（4）物块最终静止在平衡位置O 的哪一侧？距平衡位置O 的距离为多少？（g 取10米/秒2）
笔者首先领着学生对本题稍作分析：
由于题给水平面粗糙，物块振动时受摩擦阻尼，虽然摩擦力的大小恒定，但方向随振动而改变，加之弹簧的力是变力，所以物块受合力大小、方向均不恒定，无法应用牛顿定律；再者，不知物块最终静止在何处（未必就在弹簧原长位置O ，也未必在摩擦力和弹簧力相平衡处！），即无法确定系统的末状态，使得问题从功能角度考虑也很麻烦，乍看起来，解决此题似乎只有中学数学知识是不够的.
其实，本问题可由弹簧振子模型拓展等效来解决. 一、问题如何由弹簧振子模型拓展等效？
笔者请同学们考虑前面早已学过、大家熟知的如下图2、3所示的两种模型——一弹簧振子装置分别竖直悬吊和竖直固定地面两种情形．两种情况下小球的振动仍是简谐的，而且周期都等于装置水平放置的周期2πk m .两种情况下的平衡位置均已不在弹簧的原长位置O 处，
而在重力和弹力相平衡处，图2中的平衡位置在弹簧伸长量0x =mg/k 的/1O 处；图3中的平衡位置在弹簧压缩量
0x =mg/k 的/
2
O 处，这是中学物理常见的题目.
接下来，笔者问：设想把图2的小球从其平衡位置/1O 下拉至某一位置然后释手，小球上升，此上升段的小球受力如何？然后和同学们一起分析：
小球除受弹簧简谐弹力外，还受到一个阻碍小球向上运动的恒力——重力，这一物理图景和图1中物块释手后从最右端向左运动时的物理图景相同——这时阻碍物块相左运动且大小恒定的滑动摩擦力，相当于图2中小球受的重力，而且图2中的平衡位置/1O 相当于图1中物块向左运动时，受向右的滑动摩擦力和弹力相平衡的位置（合力为零），于图1中原弹簧位置O 的右侧f / k 处，可见，图1物块向左运动时可以由图2中小球向上振动的模型等效替代！
再问：若设想把图3的小球从其平衡位置/
2O 下压至某一位置然后释手，小球上升，此上升段小球受力如何？进一步让学生分析：
小球受两个力，一是弹簧的简谐弹力，一是阻碍小球小球向上运动的恒力——小球的重力．这一物理图景又和图1中物块从最左端转折向右运动时的图景相同——这时阻碍物块向右运动、大小恒定的滑动摩擦力，则相当于图3中小球受
的重力．这里，图3中的平衡位置/2O 相当于图1中物块向右运动时，受向左的滑动摩擦力和弹力向平衡的位置（此位置合力亦为零），在图1中弹簧原长位置O 的左侧f/k 处，所以图1物块向右运动时，可以由图3中小球向上振动的模型
等效替代！
课进至此，时机已经成熟．笔者问：哪位同学能把这一阻尼振动中，物块左右运动的脉络粗略地勾勒一下？话音刚落，同学们都争着回答，一个个胳膊如旗杆般举了起来．我作最后总结，并明确：我们可以把图1中物块做阻尼振动的往复运动看作图2和图3中两个小球上升运动模型的等效组合． 二、对上述问题作进一步讨论
然后，我和学生一起对问题进一步深入剖析． 设想图1中物块向左、右振动时，摩擦力和弹簧弹力相等的位置分别是/1O 和/
2
O ，并设想它们距O 均为0x ,则0x =mg μ/k,若开始时物块拉离平衡位置的距离不大于0x ,物块将静止不动，为形象、方便起见，以下讨论中我们称这一闭区间
为死区，把/1O /
2O `之间的距离20x 叫死区宽度，物块最终停下来时必然落在死区内；若物块振动中对平衡位置O 的距离大于0x ，由于弹力大于摩擦力，物块便不能静止，自然地把死区以外的左右两侧区域称为左活区和右活区，物块振动中速度方向的转折点必然落在活区内，如下图4所示
由图2、3的等效模型，可得以下两个结论： （1）物块向左运动时，必关于/1O 对称，所以不妨把/1O 叫右侧等效平衡位置；
同理，物块向右运动时，必关于/2O 对称，把/
2O 叫左侧等效平衡位置．
比如：假设下图5中死区宽度/1O /
2O =80cm ，物块开始拉离平衡位置O 的距离O 0A =285cm ，则接下来的振动情况是
第一次到达左侧转折点1B ,有 1B 1b =0A a 0=285-O /1O =245(cm)
第二次到达右侧转折点1A ,有 1A 1a =1B 1b －/1O /
2O =245－80=165(cm)
第二次到达左侧转折点2B ,有 2B 2b =1A 1a －/1O /
2O =165－80=85(cm) 由于2B 点距左侧的等效平衡位置/2O 的距离为85－80=5(cm),所以当物块从
2B 点折回向右运动时，
“闯入”死区，便静止在与2B 点关于位置/
2O 对称的C 点处，2a C = 5cm.
(2)尽管物块的振幅逐渐衰减，直至静止在死区，但静止前相邻两次速度方向转折所间隔的时间相同，均等于对应的无阻尼情况下的半周期T /2.
为使讨论结果具有普遍性，设弹簧的劲度系数为k,物块质量m ,物块和水平面间的动摩擦因数为μ，把物块向右拉至距离平衡位置O 为L (L >mg μ/k )的0A 位
置后释手，/1O 和/
2O 分别是当物块向左、右运动时，弹簧力和滑动摩擦力相平
衡的位置，死区宽度/1O /
2O =20x =2mg μ/k. 物块在右活区的转折
点依次用1A 、2A 、3A ……表示；在左活区的转折点依次用1B 、2B 、3B ……表示。

振动示意如右图6所示。

1.求振动方向转折点的总次数N
先分析物块在右活区的方向转折次数右n .
右活区内转折点1A 、2A 、3A ……n A 到右侧等效平衡位置/1O 的距离1右S 、2右S 、3右S ……n S 右分别为
1右S =L- 50x 2右S = L- 90x
3右S = L- 130x
. .
.
n S 右= L-（4n -1）0x
物块回到右侧活区，须有n S 右>0,即L-（4n +1）0x >0，所以
由于转折的次数只能是整数，对上述不等式右边括号内取整数（引入取整括号“[ ]”，表示取不大于括号内的最大整数），并记为右n ，得
这就是物块在右活区内的方向转折次数.
同理可分析物块在左活区的转折次数左n .
左活区内转折点1B 、2B 、3B ……n B 到左侧等效平衡位置/
2O 的距离1左S 、2左S 、3左S ……n S 左分别为
1左S = L - 3 0x 2左S = L - 7 0x 3左S = L - 11 0x
.
. .
n S 左= L – ( 4n -1 ) 0x
物块能回到左活区，须有n S 左>0,即
L-(4n-1) 0x >0
所以
对上述不等式右边括号内取整数，并记为左n ，得 这就是物块在左活区内的方向转折次数.
物块振动过程中方向转折的总次数，应等于物块在左、右活区内的转折次数之和，记为N ，即
N = 右n + 左
n =
）（414＜0+x L n )4
14(0-<x L n ]4
14[]414[
00-++x L x L ]
4
1
4[0+=x L n 左]4
1
4[ 0
-=x L n 右
把0x = f /k = mg μ/k 代入上式，转折的总次数进一步表示为 N = 右n + 左n
=
2.求振动经历的总时间
设用t 表示物块相邻两次方向转折经历的时间，N 表示物块方向转折的总次数，则振动经历的总时间
3. 求振动经历的总路程
由图6知，振动经历的总路程为
S 总 = 2A 0a 0 +2B 1b 1+2A 1a 1+2B 2b 2+2A 2a 2+2B 3b 3+……
= 2{（L - x 0）+（L -3x 0）+（L - 5x 0）+（L - 7x 0）+……+[ L -（2N +1）x 0]} = 2（N +1）[L -（N +1）x 0]
= 2（N +1）[L -（N +1）mg μ/ k ]
其中N 表示物块振动过程中方向转折的总次数. 三、对[问题]的解答
有了前面师生的共同活动，同学们对这个看似复杂的“纸老虎”题目，终于心领神会．我请一名同学到黑板前来做，要求其余同学在下面做．这名到黑板前来的同学自信十足，很快在黑板上把题做了出来．笔者把它整理如下： 1. 物块振动发生方向转折总次数
即物块静止前共发生5次运动方向的转折. 2. 振动经历总时间
3.物块运动的总路程
首先求死区半宽度（死区宽度2x 0的一半，即等于x 0）
]4
1
4[]414[
-++μμmg kL mg kL k m
N T N t N t π
）（）（）（总1211+=+=+=5]875.2[]375.3[]
4
1
24.010104300.010[]4124.010104300.010[]
41
4[]414[33=+=-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=-++=μμmg kL mg kL N （秒））（）（总πππ6.0100
.101513
=+=+=k m N t
0x = f /k = mg μ/k = 0.024m = 2.4cm
于是总路程
S 总 = 2（N +1）[L -（N +1）x 0]
= 2×（5+1）×[ 0.300-（5+1）×0.024]
= 1.872m
4.判断物块最终静止在平衡位置O 的哪一侧及距平衡位置的距离.
物块释手后，可以推知：第1、3、5、7……奇数次转折点出现在左侧，第2、4、6……偶数次转折点出现在右侧.本题共发生5次转折，可见最后一次转折在左侧，是左活区发生的第3次转折.此转折点距左侧等效平衡位置O 2/的距离为（注意：在左活区内，n = 3）
n S 右= L-（4n -1）0x =0.300-（4×3－1）×0.024
=0.036m = 3.6cm
分析如右图7，物块由最后一次的转折点B 3向右运动，停在死区与B 3关于O 2/位置对称的C 点.因
O 2/C = O 2/ B 3 = 3.6cm ＞0x = 2.4cm 可见物块最终静止在平衡位置O 的右侧，距平衡位置O 的距离为
OC = O 2/C - O 2/O = 3.6cm - 2.4cm = 1.2cm 所以物块最终将静止在平衡位置O 的右
侧1.2cm 处.
通过这一节课，同学们真切地感受了物理建模的重要，领略了等效拓展弹簧振子模型解题的威力，开阔了学生的思维，提高了学生解决问题的能力．。