弹簧振子模型的拓展应用

弹簧振子模型的拓展应用

姜树青

（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）

弹簧振子模型是中学物理里重要的模型之一，扩展应用该模型解题，能使学生对所学知识融会贯通，对提高学生解题能力大有帮助。本文拟以弹簧振子在滑动摩擦阻尼下的振动为例，介绍笔者在竞赛辅导教学中是如何拓展应用弹簧振子模型的.

题目：质量为10.0kg 的物块（可视为质点），静放在粗糙的水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为0.24，劲度系数为103N /m 的水平、轻质、原长足够长的弹簧，左端固定在墙壁上，右端与物块相连.开始物体位于O 点，此时弹簧处于原长状态，如图1所示.现把物块向右拉离平衡位置30.0厘米，然后释手．问从释手到物块最终静止：（1）

物块共发生多少次运动方向的转折？（2）物块运动经历

的总时间为多少？（3）物块运动经历的总路程为多少？

（4）物块最终静止在平衡位置O 的哪一侧？距平衡位置O 的距离为多少？（g 取10米/秒2）

笔者首先领着学生对本题稍作分析：

由于题给水平面粗糙，物块振动时受摩擦阻尼，虽然摩擦力的大小恒定，但方向随振动而改变，加之弹簧的力是变力，所以物块受合力大小、方向均不恒定，无法应用牛顿定律；再者，不知物块最终静止在何处（未必就在弹簧原长位置O ，也未必在摩擦力和弹簧力相平衡处！），即无法确定系统的末状态，使得问题从功能角度考虑也很麻烦，乍看起来，解决此题似乎只有中学数学知识是不够的.

其实，本问题可由弹簧振子模型拓展等效来解决. 一、问题如何由弹簧振子模型拓展等效？

笔者请同学们考虑前面早已学过、大家熟知的如下图2、3所示的两种模型——一弹簧振子装置分别竖直悬吊和竖直固定地面两种情形．两种情况下小球的振动仍是简谐的，而且周期都等于装置水平放置的周期2πk m .两种情况下的平衡位置均已不在弹簧的原长位置O 处，

而在重力和弹力相平衡处，图2中的平衡位置在弹簧伸长量0x =mg/k 的/1O 处；图3中的平衡位置在弹簧压缩量

0x =mg/k 的/

2

O 处，这是中学物理常见的题目.

接下来，笔者问：设想把图2的小球从其平衡位置/1O 下拉至某一位置然后释手，小球上升，此上升段的小球受力如何？然后和同学们一起分析：

小球除受弹簧简谐弹力外，还受到一个阻碍小球向上运动的恒力——重力，这一物理图景和图1中物块释手后从最右端向左运动时的物理图景相同——这时阻碍物块相左运动且大小恒定的滑动摩擦力，相当于图2中小球受的重力，而且图2中的平衡位置/1O 相当于图1中物块向左运动时，受向右的滑动摩擦力和弹力相平衡的位置（合力为零），于图1中原弹簧位置O 的右侧f / k 处，可见，图1物块向左运动时可以由图2中小球向上振动的模型等效替代！

再问：若设想把图3的小球从其平衡位置/

2O 下压至某一位置然后释手，小球上升，此上升段小球受力如何？进一步让学生分析：

小球受两个力，一是弹簧的简谐弹力，一是阻碍小球小球向上运动的恒力——小球的重力．这一物理图景又和图1中物块从最左端转折向右运动时的图景相同——这时阻碍物块向右运动、大小恒定的滑动摩擦力，则相当于图3中小球受

的重力．这里，图3中的平衡位置/2O 相当于图1中物块向右运动时，受向左的滑动摩擦力和弹力向平衡的位置（此位置合力亦为零），在图1中弹簧原长位置O 的左侧f/k 处，所以图1物块向右运动时，可以由图3中小球向上振动的模型

等效替代！

课进至此，时机已经成熟．笔者问：哪位同学能把这一阻尼振动中，物块左右运动的脉络粗略地勾勒一下？话音刚落，同学们都争着回答，一个个胳膊如旗杆般举了起来．我作最后总结，并明确：我们可以把图1中物块做阻尼振动的往复运动看作图2和图3中两个小球上升运动模型的等效组合． 二、对上述问题作进一步讨论

然后，我和学生一起对问题进一步深入剖析． 设想图1中物块向左、右振动时，摩擦力和弹簧弹力相等的位置分别是/1O 和/

2

O ，并设想它们距O 均为0x ,则0x =mg μ/k,若开始时物块拉离平衡位置的距离不大于0x ,物块将静止不动，为形象、方便起见，以下讨论中我们称这一闭区间

为死区，把/1O /

2O `之间的距离20x 叫死区宽度，物块最终停下来时必然落在死区内；若物块振动中对平衡位置O 的距离大于0x ，由于弹力大于摩擦力，物块便不能静止，自然地把死区以外的左右两侧区域称为左活区和右活区，物块振动中速度方向的转折点必然落在活区内，如下图4所示

由图2、3的等效模型，可得以下两个结论： （1）物块向左运动时，必关于/1O 对称，所以不妨把/1O 叫右侧等效平衡位置；

同理，物块向右运动时，必关于/2O 对称，把/

2O 叫左侧等效平衡位置．

比如：假设下图5中死区宽度/1O /

2O =80cm ，物块开始拉离平衡位置O 的距离O 0A =285cm ，则接下来的振动情况是

第一次到达左侧转折点1B ,有 1B 1b =0A a 0=285-O /1O =245(cm)

第二次到达右侧转折点1A ,有 1A 1a =1B 1b －/1O /

2O =245－80=165(cm)

第二次到达左侧转折点2B ,有 2B 2b =1A 1a －/1O /

2O =165－80=85(cm) 由于2B 点距左侧的等效平衡位置/2O 的距离为85－80=5(cm),所以当物块从

2B 点折回向右运动时，

“闯入”死区，便静止在与2B 点关于位置/

2O 对称的C 点处，2a C = 5cm.

(2)尽管物块的振幅逐渐衰减，直至静止在死区，但静止前相邻两次速度方向转折所间隔的时间相同，均等于对应的无阻尼情况下的半周期T /2.

为使讨论结果具有普遍性，设弹簧的劲度系数为k,物块质量m ,物块和水平面间的动摩擦因数为μ，把物块向右拉至距离平衡位置O 为L (L >mg μ/k )的0A 位

置后释手，/1O 和/

2O 分别是当物块向左、右运动时，弹簧力和滑动摩擦力相平

衡的位置，死区宽度/1O /

2O =20x =2mg μ/k. 物块在右活区的转折

点依次用1A 、2A 、3A ……表示；在左活区的转折点依次用1B 、2B 、3B ……表示。振动示意如右图6所示。

1.求振动方向转折点的总次数N

先分析物块在右活区的方向转折次数右n .

右活区内转折点1A 、2A 、3A ……n A 到右侧等效平衡位置/1O 的距离1右S 、2右S 、3右S ……n S 右分别为

1右S =L- 50x 2右S = L- 90x

3右S = L- 130x

. .