第三章导数与微分

从右图可知，
MQ x,Q N y ,
y
y f (x)
则QP MQ tan f (x0 )x ,
即 dy Q P .
由此可知，
o
微分dy f (x0 )x,
N
y
M
P dy
x Q
x0 x0+x x
是当自变量 x 有改变量 x时， 曲线 y f (x)在点
(x0 , y0 )处的切线的纵坐标的改变量．用 dy近似代
解 自由落体的路程 s 与时间 t 的关系是s 1 gt 2 ，当时 2
间从 t 变到t t 时，路程 s 有相应的改变量
s 1 g(t t)2 1 gt 2 gtt 1 (t)2,
2
2
2
上式右边第一部分是 t 的线性函数，第二部分当t 0
时是一个比 t 高阶的无穷小量，因此，当 | t | 很小时，我们
其中o(x)为比x(x 0)高阶的无穷小，则称函数 f (x)在点 x 处可微，并称其线性主部 Ax为函数 y f (x) 在 点 x 处 的 微 分 ， 记 为 dy 或 df (x) ， 即 dy Ax 且 有 A f (x)，这样dy f (x)x．
由上面的讨论和微分定义可知：一元函数的可导与可 微是等价的，且其关系为dy f (x)x．当函数 f (x) x 时， 函数的微分df (x) dx xx x即dx x．因此 我们规 定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数 y f (x)的 微分可以写成 dy f (x)x f (x)dx ,或上式两边同除以 dx，有 dy f (x).
dx
由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分之商， 即 f (x) dy ，正因为这样，导数也称为＂微商＂，而微分
dx 的分式dy 也常常被用作导数的符号．
dx 说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有 区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在 一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数 的值只与 x 有关，而微分的值与 x 和x 都有关．
可以把第二部分忽略，而得到路程改变量的近似值 s gtt ,
又因为 s
1 2
gt 2
gt
,所以
s s(t)t .
事实上，上式表明当 | t |很小时，从 t 到 t t 这段时间
内物体运动的速度的变化也很小.因此，在这段时间内，物体
的运动可以近似地看作速度为 s(t ) 的匀速运动，于是路程改变
第三章 导数与微分
第一节 第二节 第三节
导数的概念 求导法则 微分及其在近似计算中的应用
第三节 微分及其在近似计算中的应用
一、两个实例 二、微分的概念 三、微分的几何意义 四、微分的运算法则 五、微分在近似计算中的应用
第三节 微分及其在近似计算中的应用
一、两个实例
例1、 一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由
y Ax o(x) （其中 lim o(x) 0）,
x0 x
则有
y A o（x）,
x
x
这样
lim y lim A o（x） A
x0 x x0
x
,
Байду номын сангаас
即
y f (x)x o(x) .
二、微分的概念
定义 若函数 y f (x)在点 x 处的改变量
y f (x x) f (x)可以表示成 y Ax o(x).
解 体积的改变量
V 4 π(r r)3 4 πr3 4πr 2r 4πr(r)2 4 π(r)3,
3
3
3
显然有
V 4πr 2r o(r) ,
体积微分为
dV 4πr 2r .
三、微分的几何意义
设数 y f (x)的图形（如下页图所示），MP 是曲线上点 M (x0, y0 )处的切线，设 MP的倾角为 ，当自变量 x 有改变 量x时，得到曲线上另一点 N (x0 x, y0 y)，
x0变到x0 x （如下页图），问此薄片的面积改变了多少？
解:设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A 是 x 的函数： A x2 ，薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当 自变量 x 自 x0取得增量 x时，函数 A 相应的增量 A， 即
A (x0 x)2 x02 2x0x (x)2, 从上式可以看出， A可分成两部分：一部分是2x0x，它 是x 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；另 一部分是 (x) 2 ，在图中是带有交叉线的小正方形的面积．显然， 如图所示， 2 x0 x 是面积增量 A 的主要部分，而 (x) 2 是次要部 分，当| x |很小时(x)2部分比2x0x要小得多．也就是说，当 | x |很小时，面积增量 A可以近似地用 2x0x表示，
例３ 求函数 y x2 在 x 1, x 0.1时的改变量及微分． 解 y (x x)2 x2 1.12 12 0.21．
在点 x 1处， y x1 2x x1 2，
所以
dy yx 2 0.1 0.2 .
例４ 半径为 r 的球，其体积为V 4 πr3，当半径增 3
大r 时，求体积的改变量及微分．
即 A 2x0x. 有此式作为 A的近似值，略去的部分
(x)2 是比 x高阶的无穷小，即
lim (x)2 lim x 0 ,
x0 x
x0
又因为 A(x0 ) (x2 ) xx0 2x0，
所以有 A A(x0 )x .
x0 x A x02 x0
x 2
x x0
x
例２ 求自由落体由时刻 t 到t t 所经过路程的近似值．
而上式右端的第一部分 f (x)x是 x的线性函数；第二部分，
因为 lim ax 0，所以第二部分是比 x 高阶的无穷小，因此 x0 x
当| x |很小时，第二部分可以忽略，于是第一部分就成了 y的
主要部分，从而有近似公式 y f (x)x ,通常称 f (x)x 为
y的线性主部．反之，如果函数的改变量 y可以表示成
量的近似值为s s(t)t .
一般地，设函数 y f (x)在点 x 处可导，对于 x 处的改变 量x ，相应地有改变量y ．
由 lim y f (x) ， 根 据 极 限 与 无 穷 小 的关 系， 我 们 有 x0 x
y x
f (x) （其中
为无穷小），lim x0
0.
于是 y f (x)x x .