微分方程模型之人口增长模型PPT课件

研究人口变化规律
控制人口过快增长
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常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x x (1 r)k
k
0
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口 x (t t) x (t) rx (t) t
dx dt rx, x(0) x0
专家估计
r=0.2557, xm=392.1
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模型检验
指数增长模型 x x (1 r)k
k
0
dx dt rx, x(0) x0
x(t) x ert 0
阻滞增长模型(Logistic模型)
dxr(x)xrx(1 x)
dt
xm
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
r(xm) 0
s r xm
r(x) r(1 x ) xm
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阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dxr(x)xrx(1 x)
dt
xm
x
xm
0
xm/2 xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
xm/2 x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
r=0.2490, xm=434.0
x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
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5.6 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
人口 发展 方程
F(r,t)~人口分(年 布 龄 函 r的数 人口
r t
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p
来自百度文库
r
p t
(r,t) p(r,t)
人口发展方程
p (r ,0) p0 (r ), r 0 ~已知函数（人口调查）
p
(0,
t
)
f (t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
(r,t)(r)
r
p(r,t)p0(rt)errrt(s)ds,0tr f(tr)e0(s)ds, tr
b (r,t)(t)h (r,t)
0 r1
r2 r1
h(r,t)dr1
h~生育模式
r2 r
(t)r1 r2b(r,t)dr ~总和生育率
f(t)(t)r 1 r 2h (r,t)k (r,t)p (r,t)dr
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人口发展方程和生育率
f(t)(t)r 1 r2h (r,t)k(r,t)p (r,t)dr
传染病模型学习小结
一 常用传染病模型类型—微分方程模型 1指数增长模型 2 SI模型(logistic模型) 3 SIS模型 4 SIR模型
二 SAS传播模型中的收获 增加人群分类，构建SEIR或SEPIR模型 关于经济的正面或负面影响地分析 ——学会全面地看问题 写作是建模学习的一个重要内容.
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(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r,t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
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阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数
r ()~最高年龄 m
F ( 0 ,t) 0 ,F ( r,t) N ( t) m
p(r,t) F r
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人口发展方程
(r,t) ~死亡率
t , 年龄 [ r , r dr ]人数
t dt,年龄 [rd1r,
(t, t dt )内
微分方程模型之如何预报人口的增长
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
x(t) x ert 0
x(t)x0(er)t x0(1r)t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
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指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
rd1rdr]人数 dtdr1 死亡人数
p(r,t)dr p(rd1,rtd)d t r(r,t)p(r,t)drd
[p (r d 1 ,t rd) tp (r,t d) t][p (r,t d) tp (r,t)
(r,t)p (r,t)d, td d t1 r
pp(r,t)p(r,t) 一阶偏微分方程
tr tr
F(r,t)0r p(s,t)ds
p0 (r)
tr
N(t)0rm p(s,t)ds
0
f (t)
t
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生育率的分解
k(r,t) ~(女性 )性别比函数 b(r,t)~(女性 )生育数[r1,r2 ] ~ 育龄区间
f(t)r1 r2b (r,t)k(r,t)p (r,t)drh(r,t)h(r)
19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
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阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假设 r(x)rsx (r,s0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
x ( 2) 0 x ( 1 0 ) 9 x 0 x 9 ( 1) 0 9 r ( 1 x 9 ) 1 9 [ x 0 ( 1 9 ) / 9 x m 0 ]
x(20)0027.54 实际为281.4 (百万)
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模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数