随机变量及其分布-正态分布

正态分布知识点
一、正态曲线
函数f(x)＝
1
2πσ
2
2
()
2
e
xμ
σ
-
-
，x∈R的图象如图所示
x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1
σ2π
；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：
二、正态分布
一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a
b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从
正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2
)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2
)． 三、 3σ原则
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝ 6； (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝ 4； (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝ 4.
2．通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
题型一 正态曲线的图象的应用
【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
【过关练习】
1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
1
42π
，求该正态分布的概率密度函数的解
析式．
题型二利用正态分布求概率
【例1】设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5)．【过关练习】
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)等于( )
A． B． C． D．
2.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)＝( )
A．B．
C．D．
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.
3.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．
(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．
题型三正态分布的应用
【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个
【过关练习】
在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该
班同学成绩在90分以上的有多少人
课后练习
【补救练习】
1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图2­4­2所示，则有( )
图2­4­2
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )
A．p1>p2B．p1<p2
C．p1＝p2D．不确定
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为，则X在(0,2]内取值的概率为________．
5.如图2­4­3所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
图2­4­3
【巩固练习】
1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( )
【导学号：】
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设X ～N ⎝
⎛
⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－，－]内的概率是( )
A ．%
B ．%
C ．%
D ．%
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝%.)
A．% B．%
C．% D．%
4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．
5．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少
(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人
【拔高练习】
1.在如图2­4­4所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
图2­4­4
A．2 387 B．2 718
C．3 414 D．4 777
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 7，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 5.
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )
A．(90,110]内B．(95,125]内
C．(100,120]内D．(105,115]内
3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝1
2
，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.
4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
图2­4­5
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.
①利用该正态分布，求P <Z <；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间,的产品件数，利用①的结果，求E (X )．
附：150≈.
若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝ 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝ 5.。