有界变差函数-北京师范大学数学科学学院

有界变差函数与不定积分
0.2 0.4 0.6 0.8 1
记号: x0 0, x1 1 x2 = 1
2n
，
1/6
1/2
-0.4
,...,x2 n 1 = 1 ,x2 n =1. 2n 1 2
2 n1 i1 n
则 V( f ,T) | f ( xi ) f ( xi1) | 2 1 i.
参数曲线 L：
x ( t ), y ( t ),
t [ a, b].
分划 T：a t0 t1
折线长 L b
2
1 2
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
i 1
| (ti ) (ti 1 ) |
i 1 i 1
n
2 有界变差函数
定义2.1.设 f(x) 是[a,b]上的有限函数， 在[a,b]上任取一分点组 T
a x0 x1 xn b ,
称VT ( f ; a, b) | f ( xi ) f ( xi1) |
i 1 n
为 f(x) 对分点组T的变差.
a b
的有界变差函数 ( f BV [a, b] ).
例2.1. 闭区间上的单调函数一定是有 界变差函数
[
]
分划P， V( f , P) | f ( xi ) f ( xi1) || f (b) f (a) | .
a i 1 b n
所以，V( f ) | f (b) f (a) | .
n
和 | (ti ) (ti 1 ) | 都
i 1
n
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
2 2 i 1
n
n
1 2
| (ti ) (ti 1 ) | | (ti ) (ti 1 ) |
例2.5
设f BV[a,b]. 则 f 在x处 连续当且仅当V (f)在x处 也连续.
x a
定理2.6.
设 f BV[a,b]. 则 d x Va ( f ) | f ( x) |, a. e. x (a, b). dx 详细证明(略). 证明想法是要用 定理1.2（富比尼逐项求导）.
称 V ( f ) sup{VT ( f ; a, b) : T},
b a b a
P ( f ) sup{P T ( f ; a, b) : T}, N ( f ) sup{N T ( f ; a, b) : T}
b a
分别为f ( x)在[a, b]上的全 变差、正变差和负变差.
若V ( f ) ，则称f ( x)为[a, b]上
( (
) )
注：由于单调函数的不连续点全体 为一可数集，从而有界变差函数的 不连续点为一可数集，故Riemann 可积; f 几乎处处有有限导数且

[a, x]
| f ( x) | dx V ( f ) .
x a
上述不等式用Jordan分解以及 单调函数的可导性.
定理2.5
对于 f BV[a, b], 定义|| f ||V | f (a) | V ( f ).
定理2.3
(1) 若[c,d] [a,b], 则V (f) V (f)
d c b a
(2) 若a<c<b, 则V (f)=V (f)+V (f).
b a c a b c
3 Jordan分解定理
• 定理2.4. f(x)是有界变差函数当且 仅当 f(x)可表成两个单调不减函数 的差.
即 f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) 1 x 其中f1 ( x ) V( f ) f ( x ) 2 a 1 x f 2 ( x) V( f ) f ( x ) 2 a
称P T ( f ; a, b) ( f ( xi ) f ( xi 1 ))
i 1
n
为 f(x) 对分点组T的正变差.
称NT ( f ; a, b) ( f ( xi ) f ( xi 1 ))
i 1 n
为 f(x) 对分点组T的负变差.
1 1 其中 r:= (|r|+r), r : (|r|-r). 2 2
a
b
例2.2. 连续函数不一定是有界变差函数.
f ( x)
0.2

1/4
0.4
, x cos 2 x 0,
x(0,1] x0
0.2 -0.2
0.6
0.8
1
1/6 1/2
-0.4
对[0,1]取分划
0.2
T:0
1 2n
1 2 n1
1,
1 3 1 2
-0.2
1/4
第四章 一元函数的变化性态（II）
北京师范大学数学学院 授课教师：刘永平
今天主要内容: 有界变差函 数、绝对连续函数
(1)有界变差函数的定义、性质； (2)单调函数、有界变差函数关系； (3)绝度连续函数的定义; (4)绝度连续函数与有界变差函数的关系； (5)一些例子. (6) 小结.
1. 引入 曲线的求长
0 i1
1
从而V ( f ) ，故 f ( x)不为[0,1]上
0
1
的有界变差函数.
定理2.2 (1) f BV[a, b] f 在[a,b]
上有界.
(2) f , g BV[a, b], c, d R cf dg , fg BV[a, b].
(3) 若f BV[a, b]且存在c 0, 1 f ( x) c, x [a, b]. 则 BV[a, b]. f
b a
则，(1) f BV[a, b], || f ||V 0, 且 || f ||V 0 f 0; (2) f BV[a, b] , c R, || cf ||V | c | || f ||V ; (3) f , g BV[a, b] || f g||V || f ||V +|| g||V . 即,(BV[a, b], ||||V )是一个赋范空间(BV[a, b] 是一个实线性空间，赋予范数||||V ).