数学史第二讲：古代希腊数学

机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个Fra Baidu bibliotek具成了后来螺旋推进器的先祖。
古典时期的希腊数学
设想一支飞行的箭。在每 一时刻，它位于空间中的一个 特定位置。由于时刻无持续时 间，箭在每个时刻都没有时间 而只能是静止的。
鉴于整个运动期间只包含 时刻，而每个时刻又只有静止 的箭，所以芝诺断定，飞行的 箭总是静止的，它不可能在运 动。
芝诺悖论: 飞矢不动
古典时期的希腊数学
(
诡 辩 学 派 智 人 学 派
三等 分任 意角
古典几何三大作图问题
化圆为方
倍立方
)
(
古典时期的希腊数学
诡 辩 学 派 智 人 学 派
安提芬(约公元前480－前411年)的穷竭法 林德曼（德，1852－1939年）
)
古典时期的希腊数学
柏
打开宇宙之迷的钥匙是
拉 图
数与几何图形
学
派
柏拉图 (约公元前427-前347年)
古典时期的希腊数学
问题，故它还不能被称为“微积分”。而“穷竭”，实际就是“达到极限”，再不 能继续往下进行的意思，但当时还不没有“极限”这一概念，所以阿基米德就形象 地将这种方法用“穷竭”二字来形容了。
阿基米德研究出螺旋 形曲线的性质，现今 的“阿基米德螺线” 曲线，就是因为纪念 他而命名。
阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他把欧几里得严格 的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达 到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、 费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完 美”。
芝诺悖论：运动不存在
一个人从A点走到B点， 要先走完路程的1/2，再走 完剩下总路程的1/2，再走
完剩下的1/2……
芝诺
(约公元前490-前430年)
古典时期的希腊数学
芝诺悖论: 阿基里斯
阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍， 乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不 可能追上乌龟。
罗马帝国：公元前27年－公元395年
西罗马帝国：公元395年－公元476年 东罗马帝国：公元395年－公元1453年
（610年改称拜占廷帝国）
1 古典时期的希腊数学 (公元前600-前300年)
古典时期的希腊数学
(
爱
哲学：万物源于水
奥
尼 亚
创数学命题逻辑证明之先河
学
派
泰勒斯定理
米 利
圆的直径将圆分为两个相等的部分.
第二讲
古代希腊数学
论证数学的发端 亚历山大学派 希腊数学的衰落
古希腊的变迁
爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）
希 腊
公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区
时
期
公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成
雅典时期：公元前6－前3世纪
伯罗奔尼撒战争（前431－前404）
希腊化时期的数学
《原本》
第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作 图法等
第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 第五、六卷：比例论与相似形 第七、八、九、十卷：数论 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思
希
亚历山大时期：公元前323年－前30年 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊 各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）
腊
化
亚历山大后期：公元前30年－公元640年 前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及
时
期
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷
想的来源
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
μαθηματια
古典时期的希腊数学
毕
达
哥 拉
完全数
斯
学 派
亲和数
毕达哥拉斯定理 （希腊，1955）
亲和数：如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好
等于另一个数，那么这两个数，就构成一对"亲和数"。
220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小 的一对亲和数。因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、 22、44、55、110，而它们的和是284。284的真因子是1、2、 4、71、142，其和恰好是220。 至今，已经知道的亲和数已有1000对以上。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追 者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌 龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起 点产生了;
阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟 爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米， 阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它
总能在起点与自己之间制造出一个距离，不 管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力 向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟。
古希腊最著名的哲学家、科学家
亚里士多德(公元前384－前322年)（乌拉圭, 1996）
古典时期的希腊数学
(
亚
里 士
“吾爱吾师，
多 德
吾尤爱真理”
学
派
形式逻辑方法
吕
园 学
用于数学推理
派
矛盾律、排中律
亚里士多德
(公元前384-前322年)
)
希腊化时期的数学
2 亚历山大时期 (公元前300-前30年)
托勒密（埃及，90－165年）
希腊化时期的数学
丢番图的《算术》 (公元200-284年)
希腊化时期的数学
丢番图的墓志铭
五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，
坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予的童年占六分之一，
享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年， 他也走完了人生的旅途。
希腊化时期的数学
古罗马军队入侵叙拉古 统帅马塞拉斯
阿基米德之死
希腊化时期的数学
3 亚历山大后期 (公元前30-公元600年)
希腊化时期的数学
《天文学大成》
第一、二卷：地心体系的基本轮廓 第三卷：太阳运动 第四卷：月亮运动 第五卷：计算月地距离和日地距离 第六卷：日食和月食的计算 第七、八卷：恒星和岁差现象 第九－十三卷：分别讨论五大行星的运 动，本轮和均轮的组合在这里得到运用
阿基米德非常重视试验，一生设计、制造了许多仪器和机械，值得一提的有举 重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。
军事上
阿基米德的取火镜
公元1200年，东罗马帝国一位并不为人特别信赖的历史学家对此有一番精彩的 论述：“当马塞留斯将他们的舰队撤退到一箭之外时，这位老人——阿基米德 搭建起一种六角形的镜子，在与镜子大小成一定比例的地方放了相似的四边形 小镜子，可以用链环和铰链状的东西移动它们。当镜子将光束反射到目标时， 船只燃起了可怕的火，一箭之遥，他把船只化成灰烬。”
物理上：浮力定律
相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但 是在做好后，国王疑心工匠做的金冠并非纯金，而这顶 金冠确又与当初交给金匠的纯金一样重。国王请来阿基 米德来检验皇冠。 最初阿基米德对这个问题无计可施。有一天，他在家洗 澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，突然想到不同 质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水 必不相等。 他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠 和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢 出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。 这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度 不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。 这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德 从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中 所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。（即广为人 知的排水法）
在19世纪的美国，一位执著于太阳能开发的发明家弗兰克·舒曼，就曾受益于这个 传说带给他的启发。他知道，人类首次使用太阳能可以追溯到人类蒙昧初期，而希 腊和罗马人手持光洁的铜制凹面镜“从空中的太阳光线获得无污染的纯火”，来点 燃圣坛之火，也是不争的事实。 在阿基米德之前的一个世纪，希腊数学家多西修斯就描述了反射镜如何能把太阳平 行光线集中到一个点，并能产生比简单的球面镜更高的温度。 后来，达·芬奇又在阿基米德的手稿中，发现了大量关于锡拉库扎取火镜的记载，这 促使他构思建造一个直径长达6．4千米的神奇凹面镜，用这样的装备“人们能向染 厂任何一个锅炉提供热量”。
都
等腰三角形两底角相等.
学
派
两相交直线形成的对顶角相等.
泰勒斯
如果一个三角形有两角、一边分别
与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等.
(约公元前625-前547年)
半圆上的圆周角是直角.
)
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
毕达哥拉斯 (约公元前560-前480年)
完全数：完全数的真因子之和是它自己，就好像自己和自己
是"一对"亲和数。最小的完全数是6=1+2+3。
8大于它的真因子和:1+2+4。像4、8这样的数叫做亏数。相 反凡小于其因子和的整数叫做盈数。
古典时期的希腊数学
雅典时期：开创演绎数学
帕提农神庙(前447－前432年）
古典时期的希腊数学
伊
利
亚
学 派
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
然后将这些面积“加”起来，就求 得该曲边图形的“近似面积”。 求曲面体积也是按类似原理。
显然，将一个曲边图形“分得越 细”，细得以至于不可再细时，得 到的“结果”将越“精确”，这就 是“穷竭法”思想的精髓。
“穷竭法”也被后人称为阿基米德 原理。
用穷竭法计算 平面图形面积
但阿基米德原理却没有“极限”概念，也不通过“坐标系”和“函数”来解决
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
希腊化时期的数学
亚历山大时期：希腊数学黄金时代
亚历山大（匈牙利, 1980）
希腊化时期的数学
•《原本》（Στοιχετα）
• 13卷
欧几里得 (公元前325-前265年)
• 5条公理、5条公设 • 119条定义和 465条命题
• “几何无王者之道”
•“无功利性”
被广泛的认为是历史上最成功的 教科书。
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 1 x 1 x 1 x 5 1 x 4 x
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希腊化时期的数学
丢 番 图 的 墓 志 铭
古希腊数学落幕
柏拉图学园被封闭
公元529年东罗马皇帝查士丁尼（527－565）下令封闭了雅典的所有学校
亚历山大图书三劫
亚历山大图书馆：当时世界上藏书最多的图书馆 第1次劫难：前47年，罗马凯撒烧毁了亚历山大港的舰队，大火殃及 亚历山大图书馆，70万卷图书付之一炬 第2次劫难：公元392年罗马狄奥多修下令拆毁塞拉皮斯希腊神庙，30 多万件希腊文手稿被毁 第3次劫难：公元640年阿拉伯奥马尔一世下令收缴亚历山大城全部希 腊书籍予以焚毁