理论力学第三章 4-5

F tan ϕ = FN
Fmax tan ϕf = FN
摩擦角 最大全反力F 对法向反力F 最大全反力 Rm对法向反力 N的偏角ϕf 。 FRm Fmax 由此可得重要结论： 由此可得重要结论： 最大全反力 FRm=FN+Fmax 摩擦角的正切=静摩擦因数 摩擦角的正切 静摩擦因数
ϕf
FN
fs FN Fmax = = fs tan ϕf = FN FN
α角，tg α=f , (该两种材料间静摩擦系数)
Fmax f ⋅ N tgϕ m = = =f N N
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斜面自锁条件
θ ≤ϕf
螺纹自锁条件
θ ≤ϕf
3.4.4 考虑滑动摩擦时的平衡问题 仍为平衡问题，平衡方程照用， 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与 前面基本相同。 前面基本相同。 几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 ≤ Fs ≤ Fmax ，问题的解有时在一个范围内。 问题的解有时在一个范围内。
[例6] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1, 例 求能自锁的倾斜角α 。 解：研究楔块，受力如图
由∑ X = 0,R⋅cos( α −ϕ ) − R1cosϕ = 0
由二力平衡条件 : R = R1
∴ −ϕ =ϕ , ∴ = 2ϕ α α
ϕ 又Qtgϕ =0.1= f , ∴ = tg −1 0.1=50 43' α ∴ = 2ϕ =110 26' (极限状态)
Fmax tan ϕf = FN
摩擦锥 以支承面的法线为轴作出的以2 为顶角的圆锥。 以支承面的法线为轴作出的以 ϕf 为顶角的圆锥。
摩擦锥的性质 摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。 摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。 物体平衡时有 则有 tan ϕ = 0≤F≤Fmax
F Fmax ≤ FN FN
c
β
B
A
α
分析: 分析:
1、取分离体，画受力图 2、建立图示坐标系 3、列平衡方程
∑ X = 0, ∑ Y = 0, F − T sin β = 0
A
y
r T
β
r P
B
r N
N − P + T cos β = 0 F ____ ____ AB ∑ m B = 0, P × cos α − N × AB × cos α + F × AB × sin α = 0 2 补充方程 F = fN
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的说明： 滚动摩擦系数 δ 的说明 ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。 ③ δ 的物理意义见图示。 根据力线平移定理，将N和M合成一个力N' ， N'=N
d= M N'
d
'
∴M = d ⋅ N '= d ⋅ N ∴ = d δ
纯滚动条件
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例3 匀质轮子的重量 W =10 kN，半径 R= 0.5 m；已知 ， ； 轮子与地面的滚阻系数δ= 轮子与地面的滚阻系数 0.005m，摩擦因数 fs=0.2， 问轮子 ， ， 是先滚还是先滑？ 是先滚还是先滑？
§3-4 考虑摩擦时的平衡问题
3.4.1 工程中的摩擦现象
α
平衡必计摩擦
{ 摩擦 { 滚动摩擦 { 静滚动摩擦 动滚动摩擦
滑动摩擦 静滑动摩擦 动滑动摩擦
摩擦
{ 湿摩擦
干摩擦
2
3.4.2 滑动摩擦力
一、静滑动摩擦力 1、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面 、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势） 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 就是接触面对物体作用的切向约束反力） （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力） 2、状态： 、状态： ①静止： 静止：
sinα − f cosα tgα − f Qmin = ⋅G = G = G tg(α −ϕ m ) cos α + f sinα 1+ f tgα
平衡范围应是
Qmin ≤Q ≤Qmax
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3.4.5 滚动摩阻
∑ X = 0,Q − F = 0 ∑Y = 0, P − N = 0 ∑ M A = 0,Q ⋅ r = 0( 不成立 )
即当α ≤ 2ϕ =110 26'时能自锁
32
例7 匀质轮子的重量 W=300 N，由半径 R= 0.4 m和半 ， 和半 两个同心圆固连而成。 径 r = 0.1 m两个同心圆固连而成。已知轮子与地面的滚阻 两个同心圆固连而成 系数δ= 0.005 m，摩擦因数 fs =0.2，求拉动轮子所需力 P 系数 ， ，求拉动轮子所需力F 的最小值。 的最小值。
Mr δFN δW = = = 0.1 kN FP2 = R R R
比较可知先滚动。 比较可知先滚动。
讨论
轮子只滚动而不滑动的条件
临界时 FP2≤ FP1
FP2 =
Mr δFN δW = = R R R
FP1=Ff = fs FN=fsW
δW
R
< fsW
即
δ
R
< fs
实际上
δ
R
<< fs
所以轮子一般先滚动。 所以轮子一般先滚动。
Q与F形成主动力偶使前滚 与 形成主动力偶使前滚
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此力系向 A点简化
d
'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F） 滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡 ①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大; ② 0 ≤ M ≤ M max 有个平衡范围; 滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关; ④滚动摩擦定律： M max = δ ⋅ N δ 为滚动摩擦系数。 ，
αr
x
sin β 联立解方程组求得 : f = cos β + 2tgα sin β
[例2] 已知：α =30º，G =100N，f =0.2 求：①物 例 体静止时， 水平力Q的平衡范围。②当水平力Q = 60N时，物 体能否平衡？
19
解：①先求使物体不致于上滑的 Qmax 图(1)
由 ∑ X = 0 , Q max cos α − G sin α − Fmax = 0 ∑Y = 0, N −Q max sin α − G cosα = 0 补充方程 : Fmax = f ⋅ N
匀质轮子的重量G 例4 匀质轮子的重量 = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮 ， ； 中心施加平行于斜面的拉力F 30° 中心施加平行于斜面的拉力 H，使轮子沿与水平面成α=30° 的斜面匀速向上作纯滚动。 已知轮子与斜面的滚阻系数δ= 的斜面匀速向上作纯滚动 。 已知轮子与斜面的滚阻系数 0.05 cm，试求力FH的大小。 ，试求力 的大小。 .取轮子为研究对象,受力分析如图。 解: 1.取轮子为研究对象,受力分析如图。
则对于手柄：
∑M
A
= 0 N K a − FK b − PL = 0
FK = f K N K
⇒ N K = 1052.6 N
∑X =0 ∑Y = 0
r XA r YA
X A − FK = 0
⇒ X A = 315.2 N
YA + N K − P = 0 ⇒ YA = −852.6 N
r Nk
r P
自锁。 这种现象称为自锁。 FP
ϕf
FR
● 两个重要结论 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外， ② 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外， 则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。 则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。
ϕf
FP
FR
③自锁应用举例
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出 摩擦系数的测定
0≤ ϕ ≤ ϕf
F Fmax ≤ = tan ϕf FN FN
所以物体平衡范围0≤F≤Fmax也可以表示为 ϕ ≤ ϕf。 也可以表示为0≤ 所以物体平衡范围 性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角 性质：当物体静止在支承面时， 不大于摩擦角。 不大于摩擦角。
四、自锁
①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正
F ' = f '⋅ N
对多数材料，通常情况下 对多数材料，
fd < fs
பைடு நூலகம்
3.4.3 摩擦角与自锁现象
全反力 摩擦角 最大全反力F 对法向反力F 最大全反力 R对法向反力 N的偏角ϕf 。 FR F 全反力 FR=FN+F
ϕ
FN
FRm Fmax
ϕf
FN
最大全反力: 最大全反力 FRm=FN+Fmax
F=P
( P ↑ − F ↑ 不固定值)
②临界：（将滑未滑） 临界：（将滑未滑） ：（将滑未滑
Fmax = f ⋅ N
③滑动： 滑动：
静滑动摩擦系数） （f — 静滑动摩擦系数） 动摩擦系数） （f '—动摩擦系数） 动摩擦系数
F' = f ' ⋅N
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f3 所以增大摩擦力的途径为： 加大正压力 加大摩擦系数
解: 轮子可能发生的三种运动趋势： 轮子可能发生的三种运动趋势： 1.向左滚动趋势。 2.向右滚动趋势 3.滑动趋势 向右滚动趋势。 1.向左滚动趋势。 2.向右滚动趋势。3.滑动趋势 。 向左滚动趋势
x
y
FP − Ff = 0
FN −W = 0
Mr,max − FP R = 0
∑M
A
=0 ,
讨论滑动： 讨论滑动： 临界时 Ff =Fmax= fsFN FP1=Ff = fs FN = fs W = 0.2 × 10 =2 kN 讨论滚动： 讨论滚动： 临界时 M =M r r,max= δ FN
压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。
②自锁条件：
当α <ϕ m时，永远平衡（即自锁）
α <ϕm
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● 两个重要结论 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内， ① 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内， 则不论这个力多大，物体总能平衡。 则不论这个力多大，物体总能平衡。
例5：一制动器，制动轮半径R=50cm，鼓轮半径 r=30cm，制动轮与制动块间的静摩擦系数 f1 =0.4， fK 动摩擦系数 =0.3，被提升的重物的重量 G=1000N，手柄长L=300cm,a=60cm, b=10cm,B处 作用铅直力P=200N，求此时铰链A处的约束反力。
解：假设轮子静止：
3、静摩擦力特征 、 大小： 大小： 0 ≤ F ≤ Fmax
∑X =0
（平衡范围）满足 平衡范围）
方向： 与物体相对滑动趋势方向相反 方向： 定律： 定律： 库伦摩擦定律
Fmax = f ⋅ N
只与材料和表面情况有关， （ f 只与材料和表面情况有关， 与接触面积大小无关。） 与接触面积大小无关。）
∑M
o
= 0 Gr − F′R = 0 ⇒ F′ = 600N
= 0 Na − Fmax b − PL = 0
r G
对于手柄：
∑M
A
Fmax = f1N
r Yo
r N
r F′
Fmax = 428.6N < 600N
所以轮子不静止，逆时针转动。 r XA r r r r F P YA max N
r Xo
例1:均质杆AB，重为P,A端放于粗糙的水平面上，B 1:均质杆AB，重为P,A端放于粗糙的水平面上， 均质杆AB P,A端放于粗糙的水平面上 端用无重细绳拉住，且使A 端用无重细绳拉住，且使A、B、C三点在同一铅锤平 面内。今测得杆的A端将要向左滑动的趋势， 面内。今测得杆的A端将要向左滑动的趋势， β 角 α、 、 已知，求杆与地面间的摩擦系数。 已知，求杆与地面间的摩擦系数。
4
二、动滑动摩擦力： 动滑动摩擦力：
大小： 大小： 动摩擦力特征： 动摩擦力特征：
F ' = f '⋅ N
（无平衡范围） 无平衡范围）
方向： 方向： 与物体运动方向相反 定律： 定律：
只与材料和表面情况有关， （f '只与材料和表面情况有关，与接 只与材料和表面情况有关 触面积大小无关。） 触面积大小无关。）
解: 通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。 通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。 1.取轮子为研究对象。 1.取轮子为研究对象。 取轮子为研究对象 2.受力分析如图。 2.受力分析如图。 受力分析如图
3.列平衡方程。 3.列平衡方程。 列平衡方程
∑F = 0 , ∑F = 0 ,
解得 : Q max
tg α + f = G tg α + tg ϕ m =G 1 − f tg α 1 − tg ϕ m tg α
= G ⋅ tg ( α + ϕ m )
应用三角公式 : tgα +tgϕm tg(α +ϕm )= 1−tgϕm tgα
20
同理： 同理 再求使物体不致下滑的 Qmin 图(2) 解得：