均匀传输线的分布参数计算

均匀传输线的分布参数计算

0 引言

传输线作为一种输送能量和传递信号的装置，由于其应用十分广泛而成为了很有意义的研究对象。在长距离输电线路、远距离通信线路、高频测量线路、计算机信号传输以及高速数控系统中均应该考虑线路参数的分布性。[1]

均匀传输线模型是电路、电磁场理论中重要而又简单的简化模型。典型的均匀传输线是由在均匀媒质中放置的两根平行直导线构成的。常见的有平行双板、同轴线、和平行双线等。当然，实际中并不存在真实的均匀线，架空线的支架、导线自身的重力都会使传输线不均匀。为了简化问题，需要忽略这些次要因素。

以平行双线为例。假设传输线是均匀的，即两导体间的距离、截面形状以及介质的电磁特性沿着整个长线保持不变，单位长度的线路电阻和电感分别为0R 和0L ，单位长度的线间电容和电导分别为0C 和0G ，如图1所示。传输线最左端为起点，即0x =，选取距平行双线起点为x 的一小段x ∆进行研究。虽然传输线本质上是一个分布参数系统，但可以采用一个长度为x ∆的集中参数模型来描述。显然，x ∆越小就越接近传输线的实际情况 当0x ∆→时，该模型就逼近真实的分布参数系统。[2]

根据基尔霍夫定律，可以得到电报方程，它是均匀传输线上关于电压、电流的偏微分方程组。

00

00i R i L t u

x i G u x

u

C t ∂⎧-=⎪⎪∂⎨∂⎪-=⎪∂∂∂+∂⎩∂+ 方程表明，电流在传输线上连续分布的电阻中引起电压降，并在导线周围

产生磁场，即沿线有电感的存在，变化的电流沿线产生电感电压降，所以，导线间的电压连续变化；又由于导线间存在电容，导线间存在电容电流，导线间的非理想电介质存在漏电导，所以还有电导电流，所以沿线的电流也连续变化。

图1 有损均匀传输线及其等效模型

均匀传输线方程是一组常系数线性偏微分方程，在给定的初始条件和边界条件下，可以唯一地确定(),u x t 和(),i x t 。

从方程可以知道，给定初始条件和边界条件时，影响电学量的因素就是分布参数0R 、0L 、0G 、0C 。

利用电磁场理论，我们可以根据传输线的位置、尺寸、形状、材料等参数求出这几个分布参数。下面以圆柱平行双线为例，说明计算分布参数的方法。其他常见的几种传输线，比如平行双板、同轴线的计算类似。

1 模型说明

仅考虑低频时参数的计算。

(1) 导体媒质的电导率很高。传输线常用的材料是铝合金，铝的电导率是

3.82×107

（S/m ），远大于磁导率和介电常数。跟据欧姆定律J E γ=（γ是电导率），电流在百安及千安级别时，导线中的电场强度极小，可以忽略。

(2) 两导线间距远小于电磁波波长，即d λ。工频供电时，电磁波波长为6000km ，一般的输电线路都满足这个要求。在这种情形下，可以忽略推迟效应。

(3) 导线的材料、导线周围介质均为线性、均匀、各向同性的物质。

平行双线的结构如图2所示。由于导线中只有轴向电流，可知磁矢位A 只有轴向分量，由B A =∇⨯，可得0z B =；由于忽略了导线内部电场，根据电场强度在切线方向连续，可知0z E =。所以，传输线周围的电磁波只有横向分量，导线所导引的电磁波近似为TEM 波（横电磁波）。导线及周围介质中的场分布可以视为平行平面场。同时，由于可以忽略导线内部的电场，可以将导线视为等电位体，导线表面是等位面。

接下来，首先计算电容、电导和电感，这三者的计算有一定共性，因为它们三个参数主要依赖于导体外介质的电磁性质，可以借由静态场的分析来处理。而分布电阻由于涉及到场和导体媒质的相互作用，计算相对复杂一些。

z O 1

O 2R =a x O Y d 图2 平行双线示意图

2 分布电容的计算

根据前文的叙述，可以知道，传输线间电容的计算可以按照静电场的方式进行。

在静电场中，由于两平行长直导线之间存在静电感应，导致导体表面的电荷分布不均匀，所以不能直接计算导线之间的电位差，必须利用镜像法。

如图3，导体外介质的介电常数为ε，对导体外部的电场，可以设想将两圆柱导体撤去，其表面电荷效应代之以两根长的带电细线，图中相距2b 的两根电荷线密度分别为 +p 和-p 。

文献[3]中给出了镜像带电细线位置的计算过程。两镜像带电细线的位置满足

()2

22/2b a d +=，

所以两导线之间的电位差为

0(/2)

2ln

2(/2)

p b d a U b d a πε

+-=

--，

则两导线间单位长度的电容为

00/2arccos ()

ln 2/2p C d b a d U h a b a d πεπε===-+⎛⎫ ⎪+

-⎝⎭

（2.1）

其中，arccos ()ln(h x x

=

这是两平行圆柱导线间单位长度电容的准确解。在实际中，导线的半径往往远小于导线间距，即a d ，于是/1d a ，

arccos ()ln(ln()22d d d

h a a a =≈

0ln()C d a

πε

=

（2.2） 式（2.2）是常用的计算公式，但当不能忽略导线间的相互作用时，应当利用（2.1）式计算。

3 分布电导和电感的计算

P(x,y)图3 镜像法计算导线电位差示意图

在恒定场中，根据电导和电容的定义式：

S

S

l

l

D dS

E dS Q C U

E dl E dl ε⋅⋅==

=⋅⋅⎰⎰⎰⎰ S S l

l

J dS E dS

I G U E dl E dl

γ⋅⋅===

⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 可得公式

G C γ

ε

=，需要注意的是这里的ε和γ都是指导体外介质的电磁特性，故只能用来计算漏电导，不能计算电阻。

在计算电容时，考虑到传输线线所导引的电磁波近似为TEM 波，导线及周围介质中的场分布为平行平面场，所以利用静电场的方式计算电容。同理，电导的计算也可以按照恒定电场的方式进行。

于是，由G C γ

ε

=，可知

00arccos ()

2G C d h a

γπγ

ε=

=

， 类似的，在a

d 时，由于/21d a

，有

0ln()G d a

πγ

=。 下面讨论电感的计算。

在多数文献里，计算二线传输线的分布电感（自感）时，都采用定义式

S S

N B dS

L J dS

⋅ψ==

I ⋅⎰⎰ 其中Ψ是磁链，I 是和磁链交链的电流，在考虑导线半径时，需要区分内

自感和外自感。

例如文献[3]中，当图2所示的平行双线通有恒定电流时，得到的电感值为

01(ln )ln 4d a d

L a a

μμππ-=+≈（a d ）

。 事实上，这种方法没有考虑两导线的相互作用，所以在计算时按照电流均匀分布进行的，当然，在a d 时，所得到的结果是足够准确地。

如果考虑两导线间的相互作用，那么还需要利用对电流的镜像法，这比较复杂，通过对传输线电磁场分布的分析，可以得到下面一个简单的方法，在一些文献，例如[4]、[5]中有介绍。

根据麦克斯韦方程组，可以推导出无源区导电媒质内的平面波。根据前文对传输线的描述，电磁波的传播方向为+z 。

在谐变场的条件下，可得到场量满足的波动方程