模n的剩余类环的子环

模n 的剩余类环的子环
作者：*** 指导老师：***
摘要：模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对Euler 函数关系式、Eis emstein 判别法、整数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.
关键字：模n 剩余类环的子环 幂等元 理想
1 引言
环是有两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统，因此它的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等.
2 模n 的剩余类环的子环的性质和运用
2.1 基本概念
定义 2.1.1 任取正整数n , 令}1,,2,1,0{-=n Z n 则n Z 为n 个剩余类的集合，对任意n Z j i ∈,，规定j i j i +=+，ij j i =⋅，则n Z 关于这两个运算做成一个环, 且是一个具有单位元的交换环, 称之为以n 为模的剩 余类环, 或简称模n 剩余类环.
定义 2.1.2 对任意n Z i ∈, 若类i 中有一个整数与n 互素, 则这个类中所有整数均同n 互素, 因此称类i 与n 互素.
定义2.1.3 称环n Z 的一个非空子集A 叫做n Z 的一个理想子环, 假如:
(i)A a ∈][,A b a A b ∈-⇒∈][][
(ii)A a ∈][,A a b b a A b ∈⇒∈]][[],][[][
在代数运算中, 我们都知道若0=a ,0=b , 则必有0=ab , 相反若0=ab , 则必有0=a 或0=b 成立,
而在环中是否还存在这样的运算性质呢?我们有 ：
定义 2.1.4 模n 剩余环n Z 中, 如果任意元0][≠a ,0][≠b , 但0][=ab , 那么称][a 为n Z 的一个左零因子,][b 为n Z 的一个右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子都为][a ,
称][a 为n Z 的零因子.
定义 2.1.5 一个环⋅〉+〈,,n Z 中若有元素e 使得n Z a ∈∀][, 有][]][[]][[a e a a e ==, 那么称元素][e 叫做环⋅〉+〈,,n Z 的单位元，记作1.
定义 2.1.6 在环⋅〉+〈,,n Z 中, 如果n Z a ∈∀][, 满足: 任意n Z b ∈∀][, 有
1]][[]][[==a b b a , 则称][a 是n Z 中的逆元，且][a 与][b 互逆.
定义 2.1.7 设R 为任意一个环,而I 是R 的理想.那么I R /称作R 关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R /中, 每个元素叫作模I 的剩余类.
定义2.1.8 模n 剩余环n Z 的乘法群G (当n 为素数,n Z 中的所有非零元作成乘法群, 当n 为合数,n Z 中的所有可逆元作成乘法群)中, 适合a a =2
的元素 a 称为环n Z 的一个幂等元.
定义 2.1.9 设n Z b a ∈,,若存在n Z q ∈使得q a b =, 则称a 整除b ,记为|a b --
,称a 为b 的因数,而称b 为a 的倍数. 否则,称a 不整除b . 2.2 剩余类环n Z 的基本性质
定理2.2.1 在模 n 剩余环n Z 中,若][][b a =,则有),2,1,1( --=+=k nk b a . 定理2.2.2在n Z 中,每个元素的n 倍均为零.即]0[][][][][][==++=na a a a a n . 定理2.2.3 设n Z b a ∈,, 则|a b 的充要条件为(,)|
a n
b . 2.3 剩余类环n Z 的一般性质
利用已有的定义和基本性质,可以得出模n 剩余环n Z 的更一般的一些性质.
① 模n 剩余环n Z 是交换环.
② 在模n 剩余环n Z 中,所有左右零因子都是其零因子.
③ 模n 剩余环n Z 是无零因子环的充分必要条件是n 为素数.
④ 设⋅〉+〈,,n Z 为无零因子环(n Z 模大于1),那么加群⋅〉+〈,,n Z 中每一个非零元素的阶必相同.
⑤ 模n 剩余环n Z 为整环的充分必要条件是n 为素数.
⑥ 对于p Z , (1)p Z 是特征为p 的有单位元的可换环;
(2) 环p Z 是域⇔p 为素数.
⑦ 模n 剩余类环n Z 的所有子群(对加法)是循环子群. 例：设n Z s ∈,若1),(=n s ,t s =,则1),(=n t .
证明: 因为t s = ,故)(|t s n -,从而有整数k 使
nk t s =- ,nk t s +=
如果1),(>=d n t ,则由上式可知,d 是s 与n 的一个公因数,这与1),(=n s 矛盾.因此 1),(=n t .
2.4
群与其子群有相同的单位元，环与其子环有相同的零元，但子环不一定有单位元. 例如}6,4,2,0{1=S 是8Z 的子环，1S 无单位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，}30{1，=S 与}4,2,0{2=S 都是6Z 的子环，
但1S 的单位元是3，2S 的单位元是4，它们都与6S 的单位元1不同.
2.5
p 是素数的充要条件是模p 的剩余类环Z 是域.它的每个非零元都是可逆元，
全体非零元关于环的乘法组成一个1-P 阶的群.由域是整环以及)/(n Z Z n =易证：当p 是素数时，（p ）是整数环的素理想，也是整数环Z 的极大理想，事实上，有Z 是含幺交换环，Z 的
理想（p )是素理想⇔)/(p Z 是整环⇔p 是素数，由Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是极大理想⇔)/(p Z 是域⇔p 为素数.
另外，由域P Z 的特征数是素数p 且P Z 是一个素数.任意一个素域F 的特征数或者为0或者为素数p ，当为0时，Q F ≅，当为素数p 时，Z F ≅.
3 n Z 的子环、域、零环
3.1 定义
设n 是正整数，p 是素数，n Z 是模n 的剩余类环，S 是n Z 的子环.我们将得到如下结果：（1）设)2(≥=t p n t ，)(||t r p S r
<=，则S 是有零因子无单位元的环；（2）设pq n =，p S =||当1),(=q p ，则S 是域，当p q p =),(时，S 是零环.（3）设1)(≠=v u uv n 是合数，u S =||，则S 是有零因子无单位元的环.
3.2 命题证明
命题3.2.1 当)2(≥=t p n t ，其中p 是素数时，则n Z 的t p 阶)(t r <子环S 是含零因子无单位元的环.
证明 n Z 的t p 阶子环})1(,,,0{r t r r t p p p S ---= ，
（1)当t r t ≥-22时，0≠=∀-r t p k a ，0≠=-r t lp
b 则0=ab ，所以S 是无单位元的
零元.
（2)当t r t <-22时，取0≠=-r t p a ，02≠=--r t t r p p b ，0==t p ab ，S ∴是有零因子的环
下证S 是无单位元的环
设S 有单位元r t p t e -=，r t p k a -=∀，1-≤≤t p k l ，有a ea =，即r t r t r t kp p k p l ---=⋅,
得到 t r t r t mp kp lkp +=--22
r t r r
r t kp k mp l k mp lkp --+=⇒+= 取 1=k ，则r t r p p m l -+=11
因为r r t r t t t r <-⇒<-⇒<-0222
所以r r t p m p 1|-
而p 不整除l 故11+-r r t p m p 不整除
故l 不是整数，∴S 无单位元.
命题3.2.2 若pq n =，p 是素数，q 是大于1的正整数，当1),(=q p 时.n Z 的p 阶子环S 是域；且p Z S ≅；当p q p =),(时，n Z 的p 阶子环S 是零环.
证明 n Z 的p 阶子环})1(,,0{q p q S -=
（1）当p q p =),(时，,0,,,,,2121==⇒==∈∀=pd k pd k ab q k b q k a S b a pd q 所以S 是零环.
（2）当1),(=q p 时，,,21S q k b q k a ∈==∀若
q k k p mpq q k k q k q k 2122121|0⇒=⇒=⋅，只要01≠=q k a 时，21|k p k p ⇒不整除，所以0=ab 有00=⇒≠b a ，即S 是无零因子环，又S 有限，所以S 是域.
设lq e =是S 的单位元，则S kq ∈∀，有kq kq lq =⋅即mpq kq lkq +=2
，取1=k ，得q
p m l 11+=.因为l 为整数，只要适当选取1m 使l 为整数，即可求得单位元. 命题3.2.3 设uv n =，其中u 是合数，1≠v ，则n Z 的u 阶子环是含零因子的无单位元的环.
证明 因u 是合数，设st u =，n Z 的u 阶子环})1(,,2,,0{v u v v S -= ，取0≠=sv a ，0≠=lv b ，则0=ab ，故S 含有零因子.设S 有单位元lv e =，)11(-≤≤=∀v k kv a ,
有a ea =，即k mu lkv kv lkv +=⇒=2kv
k mu l +=， （1)设1),(≠=d v u 时，在)(⋅取1=k ，v u m l 11+=
，如l 有整数解，即整数方程11=+-xv u m 中x 有整数解，所以方程有整数解的充要条件为1|),(v u ，与假设矛盾，所以无单位元.
（2）设1),(=v u ，在)(⋅式中取11>-=u k ，1)1,())1(,(=-=-u u u v u ，v
u u u m l k )1(1--+，l 有整数解即为整系数方程1)1(-=-+-u vx u u m k 有整数解x ，x 有整数解的充要条件是：
1|))1(,(--u v u u .因1),(=v u ，故1))1(,(=-v u u 不整除1-u 与假设矛盾，故S 无单位元.
我们还相应的讨论了商环)/()(mn n 在什么条件下是域或是有零因子无单位元的环. 命题3.2.4 设n 是正整数，)(n R =是由n 生成的环，则商环)
/()(t n n S =
（t 是正整数，且2≥t ）是含零因子，无单位元的环.
证明 当2=t 时，)/()(2n n S =是有限零环.
事实上，S b a ∈∀,，n k a 1=，n k b 2=， 0221==n k k ab
当2>t 时，})1(,,,0{1n n
n S t -=- 取0≠=n a ，02≠=-n n b t
0==t n ab ，所以S 是含零因子的环.
设S 有单位元ln =e ，则S kn a ∈=∀,
有a ea =，即kn k mn l mn kn lkn kn lkn t t
+=⇒+=⇒=-122,
取1=k ，n
n m l t 111+=-, 因为1
1|t n m n -，1不整除
n ，111+-t n m n 不整除, 所以不存在整数l ，故S 无单位元.
命题3.2.5 设n 是正整数，p 是素数，)(n R =是由n 生成的环，
则商环)/()(pn n S =，当1),(=n p 时是域且p Z S ≅，当p n p =),(时S 是零环.
证明 设})1(,2,,0{)/()(n p n n pn n S -== , ① 1),(=n p 时，S b a ∈∀,，n k a 1=，n k b 2=,
如果n k k p n k k pn n k k n nk k ab 212
2122121||0⇒⇒===,
因为1),(=n p ，所以21|k k p ,
当01≠=n k a 时，21|k p k p ⇒不整除即0=b ,
所以S 是无零以你的环，S 中消去率成立，又S 是有限，所以S 是域.
设e 是S 的单位元，p Z a ∈∀，有a 对应于a ,e 即可得S Z p ≅.
② p n p =),(时，pd n =，S b a ∈∀,,n k a 1=，02=⇒=ab n k b
所以S 是零环.
命题 3.2.6 设m n ,是正整数，且m 是合数，1≠n ，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(mn n S =是含零因子无单位元的环. 证明 })1(,,,0{)/()(n m n mn n S -== 是m 阶环.
设uv m =，u <1，m v <，取un a =，vn b =，则0=ab
所以S 是有零因子的环.设S 有单位元ln =e ，S kn a ∈=∀
有a ea =，即tmn kn lkn kn kn +=⇒=⋅2ln
所以 kn k tm l /)(+= (*)
（1)当1),(≠=d n m 时，在(*)式中取1-=m k ，n m m t l k )1/()]1([--+=
)1(|)1(-+-m m t n m k ，即找到正整数x 使得1)1(-=--m m t nx m k ，x 有整数解的充要条件是1|),)1((--m m n m ，而1),1(),)1((=-=-m m m n m 与假设矛盾，所以S 无单位元.
4 模n 的剩余类环n Z ，对幂等元的存在
4.1 设n Z 是一个模n 的剩余类环，考察n Z 中的乘法群G （当n 为素数，n Z 中非零元作成乘法群;当n 为合数则有n Z 中可逆的元作成乘法群），我们首先定义如下.
定义：群G 中适合2
g =g 的元素g 称为环n Z 的一个幂等元
由定义可知群G 中的单位元e 是G 的一个幂等元，且显然有 ===32e e e 反之，若g 是环n Z 的一个幂等元，则g 必是n Z 的一个乘法群的单位元;例如g 是一元群][g 的单位元.
在一个低阶的模n 的剩余类环，例如18Z 中，不难通过测试的方法确定其幂等元；一般地，在模n 的剩余类环n Z 中则可如下考虑.
设e 施环n Z 中的一个幂等元，
那么，我们有)(mod e 2n e ≡
（1） 因而 )(mod 0)1(e n e ≡- （2）
即e 和1-e 是互素的、相邻的整数；且若n 为整数，有）（或n mod 10e ≡，若n 为合数，
不妨设n=21n n ，不考虑）（或n mod 10e ≡的幂等元（即e 既非环n Z 的零元也非n Z 单位
元），e 或1-e 将分别是n 的因子21n n 和
的倍数；此时可考虑取该因子的倍数判断是否为
环的幂等元.
例如，设9218⨯==n ，于是在18Z 中若是取9=e ，则首先我们有9（9-1）≡0)(mod n 或者）
（n mod 992
≡即9=e 是18Z 中的一个幂等元；其次，由于9和（9-1）=8互素，故11819=⨯-⨯在上式两端分别加上98-89⨯⨯，则可推算出1
63-6479-88==⨯⨯并得到适合（2）式得两个相邻整数64和63，于是由）（modn 1064≡，）（modn 10102≡又可得到18Z 中的另一个幂等元10.
对于上述18Z 中的两个幂等元9和10，容易看出它们还具有如下有趣的性质：
10+9≡1（18mod ），10⨯9≡0(18mod )
因而，我们有如下
4.2 命题：设R 是一个有单位元的环，e 是R 的非零非单位元的幂等元，则e f -=1也是R 的幂等元，且具有性质：0,1==+ef f e .
证明 事实上，由e
-112121e -12
2=-=+-=+-=f e e e e e 即）（是R 的一个幂等元；又 1)1(=-+=+e e f e ，0)1(2=-=-=e e e e ef .
于是命题得证.
运用该命题，我们已经可以容易地从n Z 中的一个非零非单位元幂等元求出另一个幂等元f
例：已知r =13是26Z 的一个幂等元,则由
F=1-e=1-13=-12=14(mod n))(mod 14121311n e f ≡-=-=-=
故f =14也是26Z 的一个幂等元由命题，我们还可以得出关于n Z 中的幂等元与n Z 元素之间另一关系的如下结果：
设n=21n n ,且幂等元e 是1n 或其倍数，则n Z 中每一个元素k 均可表为n Z 中幂等元e 和
f 的唯一组合：)(mod n f y e x k ⋅+⋅≡ （**）
其中幂等元e 的系数)(m od 2n k x ≡,而幂等元f 的系数)(m od 1n k y ≡,
例如：在上述26Z 中，n =26=13⨯2,幂等元e 为13；任取k =17,则由（**）有
)26(mod 000f e +≡
)26(mod 69144134117≡⨯+≡+≡f e
)26(mod 18114121312125≡⨯+≡+≡f e
其中)2(mod 117≡≡x ，而)13(mod 417≡≡y .
以上讨论了模n 的剩余类环n Z 中幂等元的存在和求法，那么，对于给定的一个整数ε，ε可以是哪一个模n 的剩余类环n Z 的幂等元呢？
若要ε为n Z 的幂等元，则应有：
)1(|)(m od 0)1()(m od 2-⇔≡-⇔≡εεεεεεn n n
于是对于给定的一个整数ε，取定一个)1(-εε的因子n ,便可在模n 的最小非负剩余系中确定以ε为幂等元的包含于n Z 的群，为此，对于ε,令
)})1(,,2,,1{(εεε-≡n R （4）
则 (1)Zn 中以，幂等元ε为单位元的乘法群R G ⊂；
(2)R 中属于G 的元必须是一个关于R 和G 共同的单位元的ε的有逆元的元.为此，令： },|{)(111ε==∈∃∈=---rr r r R r R r R G 使,则()G R 是一个满足要求的、由R 的可逆
元作成、包含幂等元ε的乘法群.
例： 设ε=25，则n 是6002425)1(=⨯=-εε的一个因子，
不妨设n =30，则显然有)30(mod 25252
≡，而由（4）式得： )30}(mod 25,20,15,10,5,0{}25)130(,),25(2),25(1,0{=-= R
不难判断R 中关于单位元ε=25的可逆元为5,25，因此
)30}(m od 25,5{)(30=Z G
为所求30Z 中包含幂等元ε=25的乘法群.
至此，上述对于模n 的剩余类环n Z 及其乘法群的一些讨论，阐述了群与环的部分关系;有群的单位元导出了幂等元，并给出了如何在n Z 中去确定幂等元；反之，对于给定的一个整数，也可以确定以其为幂等元的换n Z 及其所构成的乘法群.
5 模n 剩余类环n Z 的理想
结论： 模n 剩余类环n Z 的所有理想都是主理想.
证明： 对循环子群(对加法), ][i ∀,根据理想的定义,])([][],[,][i c b Z a n ∈∈∀有
1) ])([][][][i c b c b ∈-=-;
2) ])([][][][][]][[i b b b ab b a a
∈++==
,同理])([]][[i a b ∈; 所以])([i 做为一个理想,显然])([i 是主理想.
由定理上叙定理的证明过程可以看出:所有循环子群(对加法)加上乘法都是模n 剩余类环n Z 的主理想.
定理5.1 环n Z 有且只有T (n )个子环(其中T (n )表示n 的正因子的个数), 而且n Z 是一个n 阶循环环,从而其子加群、子环、理想是一致的.
定理5.2 设n Z 是模n 剩余类环,则
（1）若n 是素数,n Z 是域,则n Z 只有零理想和单位理想;
（2）n Z 是域充分必要条件是(n )是Z 的极大理想.
证明 (1) 显然成立.
（2）由上述定理6知n Z 是域充分必要条件是n 为素数. 因此只须证明(n )是Z 的极大理想的充分必要条件是n 为素数.
由于n Z 是有单位元的交换环, 设主理想}|{)(Z k nk n ∈=.若(n )为极大理想,如果n 不是素数,则必有,1,2121n n n n n n <<=,于是)(1n n ∈,但)(1n n ∉,)(1n 是n Z 的真包含
(n )的理想.由(n )为极大理想知n Z n =)(1.但)(11n ∉矛盾,所以n 是素数.
反之,设n 是素数,A 是n Z 的理想,且A n Z A n n ≠⊆⊆)(,)(, 则存在0),(,a n n a A a ⊥∉∈. 因为n 是素数, 所以n 与a 互素.于是存在Z v u ∈,,使1=+nv ua ,由A a n ∈,可知Z A A vn ua =∈+=,1
因为Z n n ≠±≠)(,1, 所以( n )是极大理想在模n 剩余类加群）（+,n Z 及其子群中，0
是单位元（有时也称零元），a 的逆元是a -.但在模n 剩余类环）（⋅+,,n Z 中，0必称零元，a
的负元记作1
-a .又知“a 是n Z 的可逆元⇔1,a =）（n ”，“a 是n Z 的零因子
⇔n ,a 1,a ≠≠）且（）（n n （注意这里2≥n ）. 6 剩余类环的应用
本节将利剩余类环对Euler 函数关系式、Eisenstein 判别法、整系数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.
定理 6.1 (Euler 函数关系式)ϕ为Euler 函数当1),(=n m 时,有)()()(n m mn ϕϕϕ=.
证 1),(=n m 时))/(())/(())/((n Z U m Z U mn Z U ⨯=,而 )())/((mn mn Z U ϕ=, )())/((n n Z U ϕ=, )())/((m n Z U ϕ=,所以)()()(n m mn ϕϕϕ=.
注:为方便起见下面出现的函数ϕ,都是Euler 函数.
定理6.2 (Eisenstein 判别法):设011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式,如果有一个质数p ,使得p 满足条件:
i) P 不整除n a ;
ii) P|i a (1,1,0-=n i );
iii) 2p 不整除0a ,那么)(x f 在][x Z 中不可约.
证 首先令])[/()(0x p Z x a x f n i i
i ∈=∑=,其中a 表示a 的模p 剩余类.现反设f 在
][x Z 中可约gh f =,其中0111b x b x b x b g t t t t ++++=-- .
0111c x c x c x c h m m m m ++++=-- ,n t m <,n t m =+.
于是h g f =,另一方面011)(a x a x a x f n n n n +++=-- .因p |i a (10-≤≤n i )p 不整除n a ,故n n x a f =,于是有t x g α=,m x h β=，这说明g 的常数项00=b ,h 的常数项00=c ,那么p |0b 且p |0c ,所以2p |000a c b =,这与2
p 不整除0a 矛盾,故)(x f 不可约.
定理6.3 (整系数多项式无整数根):设011)(a x a x a x f k k +++= 是整系数多项式, 且0a 及∑=k i i a
0都是奇数,则)(x f 无整数根.
证 令∑=∈=k i i i
x Z x a x f 0])[2/()(,其中i a 表示i a 的模2剩余类,反设)(x f 有一整数
根n .而0=n 或1=n ,若0=n ,则有0)0()(0===a f n f ,故有2|0a 矛盾.若1=n ,则有0)1()(0===∑=k i i a f n f ,故2|∑=k
i k a 0,矛盾.故反设不成立,即)(x f 无整数根.
定理6.4 (Euler 定理) 设n 是大于1的整数,1),(=n a ,则)(m od 1)(n a x ≡ϕ.
证 因1),(=n a ,又,))/((n Z U a ∈a-∈U(Z/(n)),但单位群))/((n Z U 的阶为)(n ϕ,所以1)(=n a ϕ,即1)(=n a ϕ,所以)(m od 1)(n a n ≡ϕ).
定理6.5 (Fermat 小定理) 若p 是质数,则)(mod p a a p ≡.
证 若1),(=p a ,由Euler 定理及1)(-=p p ϕ,即得)(mod 11p a p ≡-,因而)(mod p a a p =,若0),(≠p a ,则a p |,故)(mod p a a p ≡.
下面从代数的角度观察完全及简化剩余性质.
定理6.6 设110,,,,1),(-=n a a a n a 为模n 的完全剩余系,则110,,,-n aa aa aa 也是 模n 的完全剩余系.
证 由题设知)/(},,,{110n Z a a a n =- ,而从1),(=n a 得a 可逆,故有)/(},,,{110n Z aa aa aa n =- ,从而110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.
定理 6.7 设1)(10,,,,1),(-=n a a a n a ϕ 为模n 的简化剩余系,则1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 也是模n 的简化剩余系.
证 由题设知))/((},,,{1)(10n Z U a a a n =-ϕ ,又因1),(=n a ,得知a 可逆,故))/((},,,{1)(10n Z U aa aa aa n =-ϕ ,从而1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 是模n 的简化剩余系.
结束语
模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证.模n 剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n 的所有因子作为生成元生成的(或者由n 与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n 的欧拉数.使我们得以迅速求解其子环和理想.且当n 是素数时，模n 剩余类环只有零理想和单位理想.
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Modulo n residual class ring of the ring
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Abstract:Modulo n residual class ring is a relatively thorough special ring, modulo n residual class ring is a finite commutative ring, domain and domain provides a wealth of examples, residue class ring on Euler function type, Eisemstein discriminant method, no integer root integer polynomial, Euler theorem and Fermat theorem and number theory the classical results are given purely algebraic proof. And from the algebra view known to simplify surplus system completely and some properties of.
Keywords: Modulo n residual class ring sub-ring ideal idempotent element.。