勾股定理单元 期末复习测试综合卷检测试题
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一、选择题
1.已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ,一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是( )
A .29cm
B .5cm
C .37cm
D .4.5cm
2.如图,在矩形纸片ABCD 中,AD =9,AB =3,将其折叠,使点D 与点B 重合,折痕为EF ,那么折痕EF 的长为( )
A .3
B .6
C .10
D .9
3.如图,将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折,若DE a =,则下列说法正确的是
( )
①DC '平分BDE ∠;②BC 长为(
)
22a +;③BCD 是等腰三角形;④CED 的周长
等于BC 的长.
A .①②③
B .②④
C .②③④
D .③④
4.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形。若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3,则最大正方形E 的面积是
A .13
B .225+
C .47
D .13
5.如图,OP =1,过点P 作PP 1⊥OP ,且PP 1=1,得OP 1=2;再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1,得OP 2=3;又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1,得OP 3=2……依此法继续作下去,得OP 2018的值为( )
A .2016
B .2017
C .2018
D .2019
6.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A .20
B .24
C .
994
D .
532
7.如图,在ABC 中,CE 平分ACB ∠,CF 平分ACD ∠,且//EF BC 交AC 于M ,若3CM =,则22CE CF +的值为( )
A .36
B .9
C .6
D .18
8.如图,ABC 中,90ACB ∠=?,2AC =,3BC =.设AB 长是m ,下列关于m 的四种说法:①m 是无理数;②m 可以用数轴上的一个点来表示;③m 是13的算术平方根;④23m <<.其中所有正确说法的序号是( )
A .①②
B .①③
C .①②③
D .②③④
9.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,D 为BC 边上的一点,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使AC 落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长为( )
A .2cm
B .2.5cm
C .3cm
D .4cm
10.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了上图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A .1
B .2021
C .2020
D .2019
二、填空题
11.如图,这是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为 1S ,2S ,3S ,若123144S S S ++=,则2S 的值是__________.
12.如图,ACB △和ECD 都是等腰直角三角形,CA CB =,CE CD =,ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上.若3AE =,7AD =
,则AC 的长为_________
13.如图,在矩形ABCD 中,AB =6,AD =8,矩形内一动点P 使得S △PAD =
1
3
S 矩形ABCD ,则
点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____.
14.如图,O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,()20,0A ,()0,8C ,点D 是OA 的中点,点P 在边BC 上运动,当ODP ?是以OD 为腰的等腰三角形时,则P 点的坐标为______.
15.如图,在Rt ABC ?中,90ABC ∠=,DE 垂直平分AC ,垂足为F ,//AD BC ,且3AB =,4BC =,则AD 的长为______.
16.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
17.如图,30AOB ∠=?,点,M N 分别在,OA OB 上,且6,8OM ON ==,点,P Q 分别在,OB OA 上运动,则PM PQ QN ++的最小值为______.
18.如图,P 是等边三角形ABC 内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ,连接PQ ,则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
19.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,斜边AB的垂直平分线DE交边BC于点D,连接AD,线段CD的长为_________.
20.如图,E为等腰直角△ABC的边AB上的一点,要使AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为____________.
三、解答题
21.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E为CD边上一点,将△ADE沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.
(1)求BF的长;
(2)求CE的长.
22.在等腰△ABC与等腰△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点D、E、C三点在同一条直线上,连接BD.
(1)如图1,求证:△ADB ≌△AEC
(2)如图2,当∠BAC =∠DAE =90°时,试猜想线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系,并写出证明过程;
(3)如图3,当∠BAC =∠DAE =120°时,请直接写出线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系式为: (不写证明过程) 23.已知a ,b ,c 满足88a a -+-=|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)试问以a ,b ,c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形,请说明理由.
24.定义:如图1,点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ,若以AM 、MN 、
BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点.
(1)已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点,若2AM =,3MN =,求BN 的长; (2)如图2,在Rt ABC △中,AC BC =,点M 、N 在斜边AB 上,45MCN ∠=?,求证:点M 、N 是线段AB 的勾股分割点(提示:把ACM 绕点C 逆时针旋转
90?);
(3)在(2)的问题中,15ACM ∠=?,1AM =,求BM 的长.
25.如图,将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,(0,0)O ,(6,0)A ,(0,3)C ,动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动,运动
2
3
秒时,动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动,当点E 、F 其中一点到达终点时,另一点也停止运动.
设点E 的运动时间为t :(秒)
(1)OE =_________,OF =___________(用含t 的代数式表示)
(2)当1t =时,将OEF ?沿EF 翻折,点O 恰好落在CB 边上的点D 处,求点D 的坐标及直线DE 的解析式;
(3)在(2)的条件下,点M 是射线DB 上的任意一点,过点M 作直线DE 的平行线,与x 轴交于N 点,设直线MN 的解析式为y kx b =+,当点M 与点B 不重合时,设
MBN ?的面积为S ,求S 与b 之间的函数关系式.
26.如图,点A是射线OE:y=x(x≥0)上的一个动点,过点A作x轴的垂线,垂足为B,过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C.
(1)若OA=52,求点B的坐标;
(2)如图2,过点C作CG⊥AB于点G,CH⊥OE于点H,求证:CG=CH.
(3)①若点A的坐标为(2,2),射线OC与AB交于点D,在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
②在(3)①的条件下,在平面内另有三点P1(2,2),P2(2,22),P3
(2+2,2﹣2),请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是.(写出你认为正确的点)
27.定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,若a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”,请根据以上定义解决下列问题:
(1)命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题(填“真”或“假”);
(2)如图1,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数;
(3)如图2,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.
①当∠A=32°时,你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗?若能,请在图2中画出分割线,并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数;若不能,请说明理由;
②请证明△ABC为“类勾股三角形”.
28.(1)如图1,在Rt△ABC和Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,且点D在BC边上滑动(点D不与点B,C重合),连接EC,
①则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为;
②求证:BD2+CD2=2AD2;
(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD 的长.
29.(知识背景)
据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数,称为勾股数. (应用举例)
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且 勾为3时,股14(91)2=
-,弦1
5(91)2
=+; 勾为5时,股112(251)2=-,弦1
13(251)2
=+; 请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
(1)如果勾为7,则股24= 弦25=
(2)如果勾用n (3n ≥,且n 为奇数)表示时,请用含有n 的式子表示股和弦,则股
= ,弦= . (解决问题)
观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…根据应用举例获得的经验进行填空: (3)如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数,2a m =(m 表示大于1的整数),则
b = ,
c = ,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式.
(4)请你利用柏拉图公式,补全下面两组勾股数(数据从小到大排列)第一组: 、24、 :第二组: 、 、37.
30.菱形ABCD 中,∠BAD =60°,BD 是对角线,点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点,且满足AE =DF ,连接BF 与DE 相交于点G . (1)如图1,求∠BGD 的度数;
(2)如图2,作CH ⊥BG 于H 点,求证:2GH =GB +DG ;
(3)在满足(2)的条件下,且点H 在菱形内部,若GB =6,CH =3ABCD 的面积.
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一、选择题
1.B
解析:B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.
【详解】
解:根据题意,如图所示,最短路径有以下三种情况:
(1)沿AA',A C'',C B'',B B'剪开,得图1:
22222
'=+'=++=;
AB AB BB
(21)425
(2)沿AC,CC',C B'',B D'',D A'',A A'剪开,得图2:
22222
2(41)42529
'=+'=++=+=;
AB AC B C
DD,B D'',C B'',C A'',AA'剪开,得图3:
(3)沿AD,'
22222
'=+'=++=+=;
AB AD B D
1(42)13637
AB'=.
综上所述,最短路径应为(1)所示,所以225
AB'=,即5cm
故选:B.
【点睛】
此题考查最短路径问题,将长方体从不同角度展开,是解决此类问题的关键,注意不要漏
解.
2.C
解析:C 【分析】 做点F 做FH
AD ⊥交AD 于点H ,因此要求出EF 的长,只要求出EH 和HF 即可;由折叠
的性质可得BE=DE=9-AE ,在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ,同理在
Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ,在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF . 【详解】
过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H .
∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得, ∴ED=BE ,CF=C F ',3BC CD '== ∵ED=BE ,DE=AD-AE=9-AE ∴BE=9-AE
∵Rt ABE △,AB=3,BE=9-AE ∴()2
2293AE AE -=+ ∴AE=4 ∴DE=5
∴9C F BC BF BF '=-=- ∴Rt BC F ',3BC '=,9C F BF '=- ∴()2
2293BF BF -+= ∴BF=5,EH=1
∵Rt EFH ,HF=3,EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选:C .
【点睛】
本题考查了翻折变换,矩形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
3.B
解析:B 【分析】
根据折叠前后得到对应线段相等,对应角相等判断①③④式正误即可,根据等腰直角三角形性质求BC 和DE 的关系. 【详解】
解:根据折叠的性质知,△C ED CED '??,且都是等腰直角三角形, ∴90BDE ∠,45C DE ∠'=?, ∴1
2
C DE BDE ∠'≠∠
∴DC '不能平分BDE ∠①错误;
45DC E DCE ∴∠'=∠=?,C E CE DE AD a '====,
CD DC ='=,
AC a ∴=,2)BC a ==,
∴②正确;
2ABC DBC ∠=∠, 22.5DBC ∴∠=?, 45DCB ∠=?, 112.5BDC ∴∠=?,
BCD ∴?不是等腰三角形, 故③错误;
CED ∴?的周长(2CE DE CD a a a BC =++=+==,
故④正确. 故选:B . 【点睛】
本题利用了:①折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;②等腰直角三角形,三角形外角与内角的关系,等角对等边等知识点.
4.C
解析:C 【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积.即可求解. 【详解】
四个正方形的面积的和是正方形E 的面积:即222233=92549=47+5+2++++;故答案为C . 【点睛】
理解正方形A ,B ,C ,D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键.
5.D
解析:D 【解析】
【分析】由勾股定理求出各边,再观察结果的规律.
【详解】∵OP=1,OP 1
OP 2OP 3=2, ∴OP
4 …,
OP 2018 故选D
【点睛】本题考查了勾股定理,读懂题目信息,理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键.
6.B
解析:B 【分析】
设小正方形的边长为x ,则矩形的一边长为(a+x ),另一边为(b+x ),根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和,也等于长乘以宽,列出方程,化简再代入a,b 的值,得出x 2+7x=12,再根据矩形的面积公式,整体代入即可. 【详解】
设小正方形的边长为x ,则矩形的一边长为(a+x ),另一边为(b+x ),根据题意得 :2(ax+x 2+bx )=(a+x )(b+x ), 化简得 :ax+x 2+bx-ab=0, 又∵ a = 3 , b = 4 , ∴x 2+7x=12;
∴该矩形的面积为=(a+x )(b+x )=(3+x )(4+x )=x 2+7x+12=24. 故答案为B. 【点睛】
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用,求出小正方形的边长是解题的关键.
7.A
解析:A 【分析】
先根据角平分线的定义、角的和差可得90ECF ∠=?,再根据平行线的性质、等量代换可得,ACE CEF ACF F ∠=∠∠=∠,然后根据等腰三角形的定义可得
,EM CM FM CM ==,从而可得6EF =,最后在Rt CEF 中,利用勾股定理即可
得. 【详解】
CE 平分ACB ∠,CF 平分ACD ∠,
,11
22
ACB ACD BCE ACE DCF ACF ∴∠∠=∠=∠=∠∠=,
111
(90222
)ACB AC E D ACB ACD CF ACE ACF ∠=∠+∴∠+∠=∠∠∠=+=?,
//EF BC ,
,BCE CEF DCF F ∠=∴∠∠=∠, ,ACE CEF ACF F ∴∠=∠∠=∠, 3,3EM CM FM CM ∴====,
6EF EM FM ∴=+=,
在Rt CEF 中,由勾股定理得:2222636CE CF EF +===, 故选:A . 【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点,熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键.
8.C
解析:C 【分析】
根据勾股定理即可求出答案. 【详解】
解:∵∠ACB =90°,
∴在Rt ABC 中,m =AB
故①②③正确, ∵m 2=13,9<13<16, ∴3<m <4, 故④错误, 故选:C . 【点睛】
本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算,解题的关键是熟练运用勾股定理,本题属于基础题型.
9.C
解析:C 【分析】
首先由勾股定理求得AB=10,然后由翻折的性质求得BE=4,设DC=x ,则BD=8x -,在△BDE 中,利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】
在Rt △ABC 中,由勾股定理可知:
10==,
由折叠的性质可知:DC=DE ,AC=AE=6,∠DEA=∠C=90°, ∴BE=AB-AE=10-6=4,∠DEB=90°, 设DC=x ,则BD=8-x ,DE=x ,
在Rt△BED中,由勾股定理得:BE2+DE2=BD2,
即42+x2=(8-x)2,
解得:x=3,
∴CD=3.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与折叠问题,熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键.
10.B
解析:B
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和,结合图形总结规律,根据规律解答即可.
【详解】
解:由题意得,正方形A的面积为1,
由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,
同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,
故选:B.
【点睛】
本题考查了勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么
a2+b2=c2.
二、填空题
11.48
【分析】
用a和b表示直角三角形的两个直角边,然后根据勾股定理列出正方形面积的式子,求出S的面积.
2
【详解】
解:本图是由八个全等的直角三角形拼成的,设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ,较短的长度为b ,即图中的AE a =,AH b =,
则()221S AB a b ==+,222
2S HE a b ==+,()2
23S TM a b ==-,
∵123144S S S ++=,
∴()()2
2
22144a b a b a b ++++-=
22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=
2233144a b += 2248a b +=,
∴248S =. 故答案是:48. 【点睛】
本题考查勾股定理,解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用.
12.5
【分析】
由题意可知,AC =BC ,DC =EC ,∠DCE =∠ACB =90°,∠D =∠E =45°,求出∠ACE =∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ,可得AE =BD =3,∠ADB =90°,由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长. 【详解】
解:如图所示,连接BD ,
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,
∴AC =BC ,DC =EC ,∠DCE =∠ACB =90°,∠D =∠E =45°, 且∠ACE =∠BCD =90°-∠ACD , 在ACE 和BCD 中,
AC=BC ACE=BCD CE=CD ??
∠∠???
∴△ACE ≌△BCD (SAS ),
∴AE =BD 3E =∠BDC =45°, ∴∠ADB =∠ADC+∠BDC =45°+45°=90°, ∴AB 22AD +BD =7+3=10, ∵AB=2BC ,
∴BC =
2×AB=52
, 故答案为:5. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识,添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 13.82 【分析】 根据S △PAD =
1
3
S 矩形ABCD ,得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上,作A 关于直线l 的对称点E ,连接DE ,BE ,则DE 的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ADE 中,由勾股定理求得DE 的值,即可得到PA+PD 的最小值. 【详解】
设△PAD 中AD 边上的高是h . ∵S △PAD =1
3
S 矩形ABCD , ∴
1
2 AD ?h =13AD ?AB , ∴h =
2
3
AB =4, ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上,
如图,作A 关于直线l 的对称点E ,连接BE ,DE ,则DE 的长就是所求的最短距离.
在Rt △ADE 中,∵AD =8,AE =4+4=8, DE 22228882AE AD ++=
即PA +PD 的最小值为2 . 故答案2. 【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题,三角形的面积,矩形的性质,勾股定理,两点之间线段最短的性质.得出动点P 所在的位置是解题的关键. 14.()4,8或()6,8或()16,8 【分析】
当ODP ?是以OD 为腰的等腰三角形时,分为两种情况①点O 是顶角顶点时,②D 是顶角顶点时,根据勾股定理求出CP ,PM 即可. 【详解】
解:OD 是等腰三角形的一条腰时:
①若点O 是顶角顶点时,P 点就是以点O 为圆心,以10为半径的弧与CB 的交点, 在直角△OPC 中,CP=22221086OP OC -=-=,则P 的坐标是(6,8). ②若D 是顶角顶点时,P 点就是以点D 为圆心,以10为半径的弧与CB 的交点, 过D 作DM ⊥BC 于点M ,
在直角△PDM 中,22221086PD DM -=-= , 当P 在M 的左边时,CP=10-6=4,则P 的坐标是(4,8); 当P 在M 的右侧时,CP=10+6=16,则P 的坐标是(16,8). 故P 的坐标为:(6,8)或(4,8)或(16,8). 故答案为:(6,8)或(4,8)或(16,8). 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用,注意正确地进行分类,考虑到所有的可能情况是解题的关键.
15.
258
【分析】
先根据勾股定理求出AC 的长,再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长,根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论. 【详解】
∵Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴2222AB +BC =3+4=5; ∵DE 垂直平分AC ,垂足为F , ∴FA=
1
2AC=52
,∠AFD=∠B=90°, ∵AD ∥BC ,∴∠A=∠C , ∴△AFD ∽△CBA , ∴
AD AC =FA BC ,即AD 5=2.54,解得AD=258;故答案为258
. 【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
16.
【解析】
【分析】
延长BC,AD交于E点,在直角三角形ABE和直角三角形CDE中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图,延长AD、BC相交于E,
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB,CE=2CD
∵AB=3,AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x,DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为:
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用,含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质,本题中构建直角△ABE和直角△CDE,是解题的关键.
17.10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN 的最小值,易得△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∠N′OM′=90°,继而可以求得答案.
【详解】
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可
知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,OM′=OM=6,ON′=ON=8,∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∴∠N′OM′=90°.在Rt△M′ON′中,M′N22
.
''
OM ON
故答案为10.
【点睛】
本题考查了最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到直角三角形是解题的关键. 18.①②③ 【解析】 【详解】
解:∵△ABC 是等边三角形,
60ABC ∴∠=,
∵△BQC ≌△BPA ,
∴∠BPA =∠BQC ,BP =BQ =4,QC =PA =3,∠ABP =∠QBC ,
60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=,
∴△BPQ 是等边三角形,①正确. ∴PQ =BP =4,
2222224325,525PQ QC PC +=+===, 222PQ QC PC ∴+=,
90PQC ∴∠=,即△PQC 是直角三角形,②正确.
∵△BPQ 是等边三角形,
60PBQ BQP ∴∠=∠=,
∵△BQC ≌△BPA , ∴∠APB =∠B QC ,
6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=,③正确.
36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠, 90PQC PQ QC ∠=≠,, 45QPC ∴∠≠,
即135APC ∠≠,④错误. 故答案为①②③.
19.
7
8. 【解析】
∵∠C =90°,AB =5,BC =4,∴AC =2254- =3. ∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ,∴BD =AD .
设CD =x ,则AD =BD =4-x ,在Rt △ACD 中,222
3(4)x x +=- ,解得:7
8
x =
.故答案为:78
. 20.5 【解析】
试题分析:作点B 关于AC 的对称点F ,构建直角三角形,根据最短路径可知:此时PB +PE 的值最小,接下来要求出这个最小值,即求EF 的长即可,因此要先求AF 的长,证明△ADF ≌△CDB ,可以解决这个问题,从而得出EF =5,则PB +PE 的最小值为5.
解:如图,过B 作BD ⊥AC ,垂足为D ,并截取DF =BD ,连接EF 交AC 于P ,连接PB 、AF ,则此时PB +PE 的值最小,
∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴AB =CB ,∠ABC =90°,AD =DC , ∴∠BAC =∠C =45°, ∵∠ADF =∠CDB , ∴△ADF ≌△CDB , ∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°, ∵AE =3,BE =1, ∴AB =BC =4, ∴AF =4,
∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°, ∴由勾股定理得:EF 22AF AE +2243+,
∵AC 是BF 的垂直平分线, ∴BP =PF ,
∴PB +PE =PF +PE =EF =5, 故答案为5.
点睛:本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识,结合两点之间线段最短来求解.
三、解答题