基于正态分布的岩石损伤统计本构模型及其参数确定方法研究

参考文献:
[ 1] Krajcinovic D, Silva M A G. Statistical aspects of the continuous damage theory [ J] . Int. J. Solids Structures, 1982, 18( 7) : 551- 562.
[ 2] 唐春安. 岩石破裂过程中的灾变[ M] . 北京: 煤炭工 业 出版社, 1993. 11- 30.
( 11)
从而可得到:
I1 = [ ( 1 + 2 3 ) E 1 ] [ 1 - 2 3 ] ( 12)
J 2 = [ ( 1 - 3 ) E 1 ] [ 3( 1 - 2 3 ) ] ( 13)
由式( 3) 可得岩石三轴试验全应力应变关系曲线为:
1 = E 1 ( 1- D) + 2 3
( 14)
D( F) = 1 S0 2
F
exp -
-
1 2
x- F0 S0
2
dx
( 18) 式中, F0 与 S 0 由( 17) 与 ( 18) 式给出。这就是模拟复 杂应力状态下岩石破裂过程的统计损伤模型, 并将其
与原试验曲线及文献[ 3] 与[ 6] 理论曲线进行比较, 结
果见图 5, 由此可知本文模型有如下优点: ( 1) 正态分布参数 F 0 与 S 0 影响岩石损伤本构模
分布图。引用文献[ 7] 的三轴试验资料得到相应 F -
X 散点分布图( 图 1) , F 与X 呈很好的线性关系, 由此
可见最后的问题归结为如下线性方程的拟合:
F = S 0 X + F0
( 16)
式中: X F
标准正态分布变量; 岩石微元强度, 由式( 5) 计算可得;
图 1 标准正态分布变量 X 与微元强度 F 的关系 Fig. 1 The relation between X of normal distribution and
考察根据前述方法得到的文献[ 7] 中不同围压下 岩石应力应变试验曲线的统计损伤本构方程参数 F 0 与 S0 , 如果分别以 F0 与 S0 为纵坐标, 围压为横坐标, 即可得到 F0 - 3 与 S0 - 3 散点分布图( 图 4) 。
图 4 正态分布参数 F 0 与 S0 随围压 3 变化关系 Fig. 4 The relation of the parameters F0 and S 0 of normal
F0 与 S0 的曲线拟合方法。
在岩石三轴试验中可以测得名义应力 1 、 2 、 3
( 2=
3 ) 和应变
1, 对应的有效应力为
* 1
、
* 2
、
* 3
(
* 2
=
* 3
)
,
由虎克定律及(
3)
式可得:
1= (
* 1
-
2
* 3
)
E
( 9)
* 3
=
* 2
=
3 ( 1- D)
( 10)
* 1
=
1( 1- D)
+
(
) * 2
xz
( 7)
则由此可得到岩石微元破坏的概率即岩石损伤演化方
程为:
D= 1 S0 2
F
exp -
-
1 2
x - F0 S0
2
dx
( 8)
将( 8) 式代入( 3) 式即可得到岩石损伤统计本构关系,
其关键在于正态分布参数 F0 与 S 0 的确定, 为此, 下 面介绍利用三轴全应力应变试验曲线来确定正态分布
中图分类号: TU452
文献标识码: A
文章编号: 1000-3665( 2005) 03- 0011-04
1 前言
岩石内部包含有大量随机分布的孔隙、裂隙和结
构面等缺陷, 岩石变形破坏全过程表现为在荷载作用 下岩石中缺陷的不断演化与扩展过程。Krajcinovic[ 1] 、 唐春安[ 2] 、曹文贵[ 3, 4] 和徐卫亚[5] 等从岩石材料内部所
型曲线的形态, 且直接受围压影响, 据此进行修正所得
模型较现在已有模型更能接近实际。
( 2) 充分反映了岩石的软化特性与强度随应力状 态变化的特征。
( 3) 充分反映了岩石破裂过程的损伤不仅随岩石 微元强度而变化, 而且受岩石的应力状态的影响。
说明本文模型较文献[ 6] 提出的统计损伤模型更 为合理。
式中: F0 、S0 正态分布参数, 反映岩石材料的力学
性质。
鉴于 Drucker-Prager 破坏准则具有参数形式简单,
适用于岩石介质等优点, 由此确定其微元强度为:
F = f( ) =
0 I1 +
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1 2
2
( 5)
式中: 0 与 c 和 有关的常数;
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水文地质工程地质
2005 年第 3 期
变化, 峰值前应力较高的非线性部分与峰值后软化曲 线部分同样随围压变化而变化;
( 2) 岩石全应力应变曲线的峰值前低应力线性部 分并不随围压的变化而变化。
对岩石损伤统计本构模型进行修正必须反映上述 两个特点。对比前述得到的 F 0 与 S0 对岩石损伤统 计本构模型影响的特点, 可以看出, 如果能建立起 F 0 及 S0 与围压的关系, 那么就能比较有效地对岩石损伤 统计本构模型进行修正。
图 2 岩石损伤统计本构模型随 F0 变化关 系 Fig. 2 The relation of statistical damage constitutive model
along with the parameter F0
( 1) 岩石应力应变曲线的峰值随 F 0 与 S 0 的增大 而增大, 但是, F0 与 S 0 的变化并不改变峰值前线性变 形曲线;
的参数与围压的关系, 并对其参数进行修正, 从而建立 出更加符合实际的岩石损伤统计本构模型。
2 基于正态分布的岩石损伤统计本构模型
假定岩石的破坏准则为[ 3, 4] :
f ( * ) - k0 = 0
( 1)
收稿日期: 2004- 08-09 基金项目: 国家 自然科 学基 金项目 ( 50378036) ; 教 育部 高等 学
水文地质工程地质
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图 3 岩石损伤统计本构模型随 S0 变化关系 Fig. 3 The relation of statistical damage constitutive
model along with the parameter S0
曲线普遍存在如下特点: ( 1) 岩石全应力应变曲线的峰值随围压的变化而
式中: [ C] 材料弹性矩阵;
[ ] 应力矩阵; [ * ] 有效应力矩阵;
[ ] 应变矩阵。
( 3) 式的关键在于建立损伤变量 D 与岩石微元强 度F = f ( * ) 的关系。为此, 假定岩石微元强度服从
正态分布, 其概率密度为:
P( F) =
1 exp 2 S0
1 2
F - F0 S0
2
( 4)
( 2) F 0 与 S0 对岩石应力应变曲线的非线性变形 部分尤其是峰值后曲线影响是明显的, 可以改变曲线 的形态。
上述两个特点反映了 F0 与 S0 对岩石应力应变 曲线的影响, 为进一步对该模型的修正奠定了基础。
3 岩石损伤统计本构模型的修正
大量试验曲线表明, 不同围压下岩石全应力应变
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and theoretical curves
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联立( 3) 、( 8) 、( 17) 和( 18) 式, 即可得到修正后模 拟不同围压下岩石全应力应变曲线的损伤统计本构方 程。
4 实例与验证
为了验证本文提出的 岩石破裂损伤 统计本构模
型, 引用文献[ 7] 资料, 岩石弹模 E = 90GPa, 泊松比
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基于正态分布的岩石损伤统计本构模型 及其参数确定方法研究
曹文贵, 李 鹏, 赵明华, 刘成学 ( 湖南大学岩土工程研究所, 长沙 410082)
摘要: 根据岩石微元强度服从正态分布的特点, 引进能合理描述岩石微元强度的参量, 基于岩石 三轴应力 应变试验曲 线
I 1 应力张量的第一不变量;
J 2 应力偏量的第二不变量。
I1 =
* x
+
* y
+
* z
=
* 1
+
* 2
+
* 3
( 6)
J2=
1 6
(
* 1
-
* 2
)+
(
* 2
-
* 3
)2
+
(
* 1
-
* 3
)2
=
1 6
(
* x
-
* y
)2+
(
* x
-
* z
)2-
(
* y
-
* z
)2
+(
* xy
)
2
+
(
* yz
)
2
f( * )
D=
P [ x ] dx
( 2)
-
损伤对应变行为的影响通过有效应力来表现, 也
就是说损伤材料本构关系只需把原始( 无损伤) 材料本 构关系中的 应力改为有效应力即可, 这就是 Lemaitre 的应变等价性假说[ 6] , 据此, 建立起岩石损伤本构的基
本关系式为: [ * ] = [ ] / ( 1- D ) = [ C] [ ] ( 1- D ) ( 3)
校博士学科点专项基金项目( 20020532008) 作者简介: 曹文贵 ( 1963- ) , 男, 博士 后, 副教 授, 从 事岩 土工 程
教学与研究工作。
E- mail: cwglyp@ public. cs. hn. cn
式中: *
有效应力;
k 0 常数。
则f ( * ) 较全面反映了岩石微元破坏的危险程 度, 因此, 可选取 f ( * ) 作为岩石微元强度随机分布变 量。设岩石微元破 坏的概率随 f ( * ) 的分布密度为 P [ f ( * ) ] , 则定义损伤变量为破坏概率[ 4] :
rock micro- unit strength F
S0 标准方差; F 0 均值。 经拟合可得到文献 [ 7] 各试验曲线对应的 F 0 与 S0, 相关系数超过 0 966, 将其代入上述相关公式即可 得到模拟岩石破裂过程的统计损伤本构方程。 F0 与 S 0 反映了岩石变形的力学性质, 从图 2、图 3 中可以得出:
[ 3] 曹文贵, 赵明华, 唐学 军. 岩 石破 裂过 程的 统计 损 伤 模拟研究[ J] . 岩土工程 学报, 2003, 25( 2) : 184- 187.
[ 4] 曹文贵, 方祖烈, 唐学军. 岩石损 伤软 化统计 本构 模 型之研究[ J] . 岩石力学与工程 学报, 1998, 17( 6) : 628 - 633.
= 0 15, 内摩擦角 = 31 3039 , 建立模拟岩石破裂过
程的统计损伤模型分为两步进行: 首先, 建立不同围压
下岩石受压情况下岩石破裂过程模拟的统计损伤本构
模型, 然后, 考虑不同围压对岩石损伤本构模型的影响
进行修正, 即可得模拟岩石破裂过程的统计损伤本构
模型, 拟合结果为:
1 = E 1 [ 1- D ( F ) ] + ( 2 + 3 ) ( 17)
建立 了反映岩石破裂全过程的统计损伤本构模型。在此基础上, 重 点探讨了正态分布参数对岩石损伤本构模 型的影响,
据此对岩石统计损伤模型进行了合理修正, 从而 建立了反映岩石破裂全过程的三维统计损伤本构模型, 与试验结果及 现
有研究结果进行比较显示了该模型的合理性, 具 有广泛的应用前景。
关键词: 岩石破裂; 损伤; 微元强度; 正态分布
distribution along with the surrounding pressure 3
由此可以看出它们都呈现很好的线性关系, 为此 进行线性拟合, 可以得到如下关系:
S0 = 63 245 + 2 694 3
( 17)
F0 = 240 029+ 4 452 3
( 18)
图 5 试验曲线与理论曲线的比较 Fig. 5 Comparison between experimental
或者
D = [ ( F - F0) S0 ] ) = [ 2 3 - 1 + E 1] ( E 1)
( 15)
式中, [ ( F - F 0) S 0] 正好是标准正态分 布函数, 由
于 1 和 1 均可由试验曲线给出, 因此, 对于一组 1 和 1, 由式( 13) 即得一个 值, 由正态函数表即可查 出与它相对应的 X = ( F - F0) S0 值。如果以 F 为纵 坐标, X 为横坐标, 即可得到各试验曲线的 F-X 散点
含缺陷分布的随机性出发, 将连续损伤理论和概率理 论有机地结合起来, 从岩石微元强度服从某种随机分 布的角度出发, 使岩石变形破坏损伤概率本构模型的 研究取得了重大进展。
由于岩石内部所含缺陷的分布极其复杂, 而且, 在 荷载作用下其缺陷的损伤发展过程还受应力状态的强 烈影响, 因此, 曹文贵[ 3, 4] 引进岩石微元强度及其服从 正态分布的概念, 建立起了岩石损伤统计本构模型, 然 而随着岩石围压的增大, 利用该模型计算结果与试验 结果的差异也增大, 说明该模型还存在不足。为此, 作 者在此研究基础上重点探讨了岩石损伤统计本构模型