立体几何专题(2015-2018全国卷试题分析)
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数学组 李明玥
一、试题命制统计 二、试题命制特点
三、高考动向透视 四、备考建议
年份 2015年 2016年 2017年
试卷 卷二 卷二 卷二
题号及题型 T6（1选）
分值
考点
几何体体积（三视图）；线面位置关系； 空间角的计算 . 几何体的表面积（三视图）；线面位置关 系；空间角的计算 . 几何体的体积（三视图）；线面位置关系 （平行）；空间角的计算 .
④等腰梯形、直角梯形的性质；
⑤圆的性质.
（6）注意“冷点”知识的考查
(1) 柱体、椎体、球体在考题中几乎是年年考，但台 体在近几年的全国卷中，几乎没有涉及.而在2015年湖南 卷理科13题，考查的是四棱台；2015年山东卷文18考查 的是三棱台，理科17题考查的是圆台,2016年浙江卷18题 考查的是三棱台. (2)了解点面距、点线距、线线距、线面距、面面距等 的转化.
（8）考查运用空间数学模型分析解决问题
（2017年江苏卷 理18）
(2017年全国卷 理19)如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, 1 AD, BAD ABC 90，E是PD的中点. 2 (1)证明：直线CE // 平面PAB; AB BC (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M AB D的余弦值.
T19（1解） 17
T6,T14（1选1填） T19（1解） 22 T4,T10（2选） T19（1解） 22
2018年
卷二
T9,T16（1选1填） T20（1解） 22
几何体的面积；线面位置关系（垂直）； 空间角的计算 .
1.从题型看：
近三年来保持了历年对立体几何的考查题型：选择题、 填空题及解答题三种.题型稳定.
子题 15全国卷二 理6
15全国卷二 理 19
母题 必修2 P28
必修2 P10
A组习题3 B组 习题1
14全国卷二 理 6 13全国卷一理 6
17全国卷一 理16
必修2 P14
思考
必修2 P37 B组 习题2
必修2 P37 B组 习题4
（2）归纳总结，突出主干
复习中，抓主线，攻重点。转化、化归是统帅立体几 何的重要思想，理清线面位置关系等主干知识的转化思维 脉络：
(2016年全国卷 理14)， 是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m n,m ,n// ,那么 ； （2）如果m ,n// ,那么m n； （3）如果m , // ,那么m / / ； （2）如果m / / n, // ,那么m与 所成的角和n与 所成的角相等； 其中正确的命题有
线线平行
性质 判定
线面平行
面面平行
性质 定义
线线垂直
线面垂直
面面垂直
（3）向规范要成绩
学生在立体几何的解答题的作答中 ,经常发生 “跳”(步),“离”(图形与书写相脱离),“省”(省略关健 步骤)等现象. 乍一看去 ,结果(论)正确, 似乎没有问题 ,但经不 起仔细推敲 .“会而不对”“对而不全”是普遍现象， 导致丢分严重。在例题讲解与作业训练中，要重视 作、证、求三环节，符号语言要规范，表达要规范、 严谨（建系的说明）.分分必争！
5.从能力看：
考查空间想象能力，要求“三基”：基础知识、基本技能 （计算）、基本思想（转化与化归、数形结合）;要求 “四会”：会画图、会识图、会析图、会用图.
动向1 空间几何体的结构、三视图、直观图
本部分考查的重点多数是以三视图为背景，研究空间几 何体的结构特点和求解几何体（或其外接球）的表面积和体 积.近年的高考的命题重点和热点依然是以选填题的方向考查 以下两个方面： （1）几何体的三视图与直观图的认识；
D1
（填写所以正确命题的编号）
C1
A1
B1
D
C
A
B
动向3
空间几何体的计算问题
本部分是考查的重点内容，常以几何体的表面积、 体积的计算以及几何体的外接球、内切球为主要命题点 进行考查. （1）几何体的表面积、体积； （2）几何体的棱长与它的外接球、内切球的半径之间的 转换关系；
（3）空间角与空间距离的计算 空间角与距离的计算，其中空间角的计算是高考考 查学生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力 的重点.这类试题如果是在选填题中出现，此时体现的 是几何法的优越性（当然有时也可以利用空间向量解 决），在求解过程中可能会运用解三角形的相关知识. 高考中，直接考查距离求解的不多，但距离是立体几 何的重要内容之一，在计算空间几何体的计算的体积、 空间角时，往往需要计算距离.
P
z P
E M A D
M A O
E D y
B
C
图一
P
B x
C
E M A N 45° B C O D
图三
图二
4.从难度看：
以中档题为主，但是小题在有意把题往后放，如在17年7 的卷二在10题的位置，18年的卷二卷三甚至放到了填空 题的压轴位置； 大题基本都稳定在18或19题，基本上都是“一拖二”， 第一问考查线面位置关系，以垂直最多；第二问基本上 考查的都是空间角的计算.要求考生基本概念要清晰，而 且具备一定的计算能力。
（2）通过三视图和几何体的结合，考查几何体的表面积 和体积等几何度量属性.
动向2 空间的线面位置关系
对于线面的位置关系，高考中主要考查空间的线线、 线面、面面的平行与垂直关系的判定并运用平行、垂直 的判定定理与性质定理进行推理论证，一般会以选择题 或解答题的形式进行考查。解题的策略：结合图形进行 线面平行与垂直的推理证明，如果是选择题，还可以依 据条件举出反例否定.
立体几何的考查以及在命题风格上都是在稳中求 变、求新.
（1）抓源固本，通性通法 立体几何在高考试题中大多数以中低档的形式出现， 在复习过程中，要突出基础知识（基本概念、定义、定理， 基本图形）的理解，如： 空间几何体的表面积与体积公式； 典型几何体：圆柱、圆锥、球、直（正）三棱柱、直 （正）四棱柱、长（正）方体、正棱锥等的认识，如正立 放置、倒立放置； 对教材中典型习题的二次开发等.
(2016年全国卷 理11)平面 过正方体ABCD A1 B1C1 D1的顶点A， / / 平面CB1 D1 ,
平面ABCD =m, 平面ABB1 A1 =n,则m,n所成角的正弦值为 （ ）
A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3
(2017年全国卷 理10)已知直三棱柱ABC A1 B1C1中，ABC 120, AB 2,
（7）依托立体几何，考查数学文化
2015年全国卷一 理 6：
《新课标》明确要求：数学文化是贯穿整个 高中数学课程的重要内容。数学课程应帮助学生 了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正 确的数学观。数学文化主要包括：数学事实、数 学名人、数学游戏、数学名著、数学猜想、数学 图形等。《九章算术》中记载的商鞅铜方升、 “刘徽原理”、“开立圆术”等既考查了立体几 何的基本知识，又考查了空间想象能力，还能给 让学生感受到数学家的崇高品质和探究问题的过 程。
2.从题量看：
近三年的全国卷多数是以“两小一大”为主，分值在 22分（15年卷二是“一小一大”，分值为17分），约 占总分值的15%，所占比重较大.
3.从知识的分布看：
小题主要考查以三视图为载体（18年卷二未考三视图）， 求几何体或其外接球的表面积或体积，或空间角的简单 计算；大题基本上都是考查线面位置关系（以垂直较多） 和空间角的计算为主.
(5) 加强平面几何的知识在立体几何中的应用
三角形、四边形、圆等基本图形是立体几何的树根 和枝干，因而要重视基本图形在立体几何图形中的复习 功能，加强几何法和向量法的扎实训练. 如三角形的相似、全等、中位线的性质、勾股定理等性质； 特殊三角形：直角三角形、等腰三角形的性质；
平行四边形的性质；
（4）重视空间想象能力，提高图形处理能力
“作图是立体几何学习的第一大事。”这是章建跃教授 所说。“无图考图”正是证明了这一观点。在2017年全国 卷中，显得尤为突出。因此，的在备考中，作为难点去突 破，加强训练空间想象能力，要求“四会”： 会画图——根据题设条件，画出适合题意的图形或辅助线， 作出的图形要直观、虚实分明； 会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有 关线面的位置关系； 会析图——对图形进行必要的分解、组合； 会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展 开或割补等.
，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 （ ） BC CC1 1
A. 3 2
G
B.
15 5
D1
C.
10 5
C1
D.
3 3
A1 C1
B1 H A1
B1
C F D
C A
E
A 理11题
B
B 理10题
动向4
空间向量与其源自文库算
高考对空间向量的考查主要在解答题中进行，试题的一 般设计模式是先进行一个线面位置关系的证明，再设计一个 求解空间角或距离的问题，第一个问题的意图是考查学生的 综合几何法进行逻辑推理的能力，对于空间角或距离的求解， 虽然也可以使用综合法解决，但命题者的意图显然不是如此， 其真正的意图是考查学生使用空间向量的方法解决立体几何 问题的能力.
一、试题命制统计 二、试题命制特点
三、高考动向透视 四、备考建议
年份 2015年 2016年 2017年
试卷 卷二 卷二 卷二
题号及题型 T6（1选）
分值
考点
几何体体积（三视图）；线面位置关系； 空间角的计算 . 几何体的表面积（三视图）；线面位置关 系；空间角的计算 . 几何体的体积（三视图）；线面位置关系 （平行）；空间角的计算 .
④等腰梯形、直角梯形的性质；
⑤圆的性质.
（6）注意“冷点”知识的考查
(1) 柱体、椎体、球体在考题中几乎是年年考，但台 体在近几年的全国卷中，几乎没有涉及.而在2015年湖南 卷理科13题，考查的是四棱台；2015年山东卷文18考查 的是三棱台，理科17题考查的是圆台,2016年浙江卷18题 考查的是三棱台. (2)了解点面距、点线距、线线距、线面距、面面距等 的转化.
（8）考查运用空间数学模型分析解决问题
（2017年江苏卷 理18）
(2017年全国卷 理19)如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, 1 AD, BAD ABC 90，E是PD的中点. 2 (1)证明：直线CE // 平面PAB; AB BC (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M AB D的余弦值.
T19（1解） 17
T6,T14（1选1填） T19（1解） 22 T4,T10（2选） T19（1解） 22
2018年
卷二
T9,T16（1选1填） T20（1解） 22
几何体的面积；线面位置关系（垂直）； 空间角的计算 .
1.从题型看：
近三年来保持了历年对立体几何的考查题型：选择题、 填空题及解答题三种.题型稳定.
子题 15全国卷二 理6
15全国卷二 理 19
母题 必修2 P28
必修2 P10
A组习题3 B组 习题1
14全国卷二 理 6 13全国卷一理 6
17全国卷一 理16
必修2 P14
思考
必修2 P37 B组 习题2
必修2 P37 B组 习题4
（2）归纳总结，突出主干
复习中，抓主线，攻重点。转化、化归是统帅立体几 何的重要思想，理清线面位置关系等主干知识的转化思维 脉络：
(2016年全国卷 理14)， 是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m n,m ,n// ,那么 ； （2）如果m ,n// ,那么m n； （3）如果m , // ,那么m / / ； （2）如果m / / n, // ,那么m与 所成的角和n与 所成的角相等； 其中正确的命题有
线线平行
性质 判定
线面平行
面面平行
性质 定义
线线垂直
线面垂直
面面垂直
（3）向规范要成绩
学生在立体几何的解答题的作答中 ,经常发生 “跳”(步),“离”(图形与书写相脱离),“省”(省略关健 步骤)等现象. 乍一看去 ,结果(论)正确, 似乎没有问题 ,但经不 起仔细推敲 .“会而不对”“对而不全”是普遍现象， 导致丢分严重。在例题讲解与作业训练中，要重视 作、证、求三环节，符号语言要规范，表达要规范、 严谨（建系的说明）.分分必争！
5.从能力看：
考查空间想象能力，要求“三基”：基础知识、基本技能 （计算）、基本思想（转化与化归、数形结合）;要求 “四会”：会画图、会识图、会析图、会用图.
动向1 空间几何体的结构、三视图、直观图
本部分考查的重点多数是以三视图为背景，研究空间几 何体的结构特点和求解几何体（或其外接球）的表面积和体 积.近年的高考的命题重点和热点依然是以选填题的方向考查 以下两个方面： （1）几何体的三视图与直观图的认识；
D1
（填写所以正确命题的编号）
C1
A1
B1
D
C
A
B
动向3
空间几何体的计算问题
本部分是考查的重点内容，常以几何体的表面积、 体积的计算以及几何体的外接球、内切球为主要命题点 进行考查. （1）几何体的表面积、体积； （2）几何体的棱长与它的外接球、内切球的半径之间的 转换关系；
（3）空间角与空间距离的计算 空间角与距离的计算，其中空间角的计算是高考考 查学生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力 的重点.这类试题如果是在选填题中出现，此时体现的 是几何法的优越性（当然有时也可以利用空间向量解 决），在求解过程中可能会运用解三角形的相关知识. 高考中，直接考查距离求解的不多，但距离是立体几 何的重要内容之一，在计算空间几何体的计算的体积、 空间角时，往往需要计算距离.
P
z P
E M A D
M A O
E D y
B
C
图一
P
B x
C
E M A N 45° B C O D
图三
图二
4.从难度看：
以中档题为主，但是小题在有意把题往后放，如在17年7 的卷二在10题的位置，18年的卷二卷三甚至放到了填空 题的压轴位置； 大题基本都稳定在18或19题，基本上都是“一拖二”， 第一问考查线面位置关系，以垂直最多；第二问基本上 考查的都是空间角的计算.要求考生基本概念要清晰，而 且具备一定的计算能力。
（2）通过三视图和几何体的结合，考查几何体的表面积 和体积等几何度量属性.
动向2 空间的线面位置关系
对于线面的位置关系，高考中主要考查空间的线线、 线面、面面的平行与垂直关系的判定并运用平行、垂直 的判定定理与性质定理进行推理论证，一般会以选择题 或解答题的形式进行考查。解题的策略：结合图形进行 线面平行与垂直的推理证明，如果是选择题，还可以依 据条件举出反例否定.
立体几何的考查以及在命题风格上都是在稳中求 变、求新.
（1）抓源固本，通性通法 立体几何在高考试题中大多数以中低档的形式出现， 在复习过程中，要突出基础知识（基本概念、定义、定理， 基本图形）的理解，如： 空间几何体的表面积与体积公式； 典型几何体：圆柱、圆锥、球、直（正）三棱柱、直 （正）四棱柱、长（正）方体、正棱锥等的认识，如正立 放置、倒立放置； 对教材中典型习题的二次开发等.
(2016年全国卷 理11)平面 过正方体ABCD A1 B1C1 D1的顶点A， / / 平面CB1 D1 ,
平面ABCD =m, 平面ABB1 A1 =n,则m,n所成角的正弦值为 （ ）
A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3
(2017年全国卷 理10)已知直三棱柱ABC A1 B1C1中，ABC 120, AB 2,
（7）依托立体几何，考查数学文化
2015年全国卷一 理 6：
《新课标》明确要求：数学文化是贯穿整个 高中数学课程的重要内容。数学课程应帮助学生 了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正 确的数学观。数学文化主要包括：数学事实、数 学名人、数学游戏、数学名著、数学猜想、数学 图形等。《九章算术》中记载的商鞅铜方升、 “刘徽原理”、“开立圆术”等既考查了立体几 何的基本知识，又考查了空间想象能力，还能给 让学生感受到数学家的崇高品质和探究问题的过 程。
2.从题量看：
近三年的全国卷多数是以“两小一大”为主，分值在 22分（15年卷二是“一小一大”，分值为17分），约 占总分值的15%，所占比重较大.
3.从知识的分布看：
小题主要考查以三视图为载体（18年卷二未考三视图）， 求几何体或其外接球的表面积或体积，或空间角的简单 计算；大题基本上都是考查线面位置关系（以垂直较多） 和空间角的计算为主.
(5) 加强平面几何的知识在立体几何中的应用
三角形、四边形、圆等基本图形是立体几何的树根 和枝干，因而要重视基本图形在立体几何图形中的复习 功能，加强几何法和向量法的扎实训练. 如三角形的相似、全等、中位线的性质、勾股定理等性质； 特殊三角形：直角三角形、等腰三角形的性质；
平行四边形的性质；
（4）重视空间想象能力，提高图形处理能力
“作图是立体几何学习的第一大事。”这是章建跃教授 所说。“无图考图”正是证明了这一观点。在2017年全国 卷中，显得尤为突出。因此，的在备考中，作为难点去突 破，加强训练空间想象能力，要求“四会”： 会画图——根据题设条件，画出适合题意的图形或辅助线， 作出的图形要直观、虚实分明； 会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有 关线面的位置关系； 会析图——对图形进行必要的分解、组合； 会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展 开或割补等.
，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 （ ） BC CC1 1
A. 3 2
G
B.
15 5
D1
C.
10 5
C1
D.
3 3
A1 C1
B1 H A1
B1
C F D
C A
E
A 理11题
B
B 理10题
动向4
空间向量与其源自文库算
高考对空间向量的考查主要在解答题中进行，试题的一 般设计模式是先进行一个线面位置关系的证明，再设计一个 求解空间角或距离的问题，第一个问题的意图是考查学生的 综合几何法进行逻辑推理的能力，对于空间角或距离的求解， 虽然也可以使用综合法解决，但命题者的意图显然不是如此， 其真正的意图是考查学生使用空间向量的方法解决立体几何 问题的能力.