数分定积分的应用习题课

解: 取x为积分变量, 变化 R 区间为[R, R], 在[R, R] 上 任取一点x, 过x作垂直于x轴 的平面截立体, 截面的面积
o

y

x2 y2 R2
x R
y
1 1 2 A( x) y y tan ( R x 2 ) tan 2 2 R R 1 V R A( x)dx R ( R 2 x 2 ) tan dx 2 3 R 2 1 x 2 3 tan R x R tan 2 3 R 3
3、所求量的特点
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a , b 有关 的量；
（2）U 对于区间a , b 具有可加性，就是说， U 相 如果把区间a , b 分成许多部分区间，则 U 等于所有部分量之 应地分成许多部分量，而 和； （3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
2 2
1 2
水平方向的分力元素
amdy
3 2
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为
Fy 0.
例7 一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米, 高为 20 米, 如果闸门 顶部高出水面 4 米, 求闸门一侧所受的水 的静压力.
解 如图建立坐标系,
则梯形的腰 AB 的方程为 1 y x 23. 2 此闸门一侧受到静水压力为
1 b 2 y f ( x )dx ba a
二、典型例题
例1 已知
y
x a cos 3 t 星形线 ( a 0) 3 y a sin t 求 10 它所围成的面积; 20 它的弧长;
a
o
a x
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解
10 设面积为 A. 由对称性,有

o a x x dx b
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s

2
( )
2 r ( ) r ( )d
b
x ( y)
c
o
V c [ ( y )]2 dy
d
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
x (t ) B．曲线弧为 y (t )
区间[a , b]上作定积分，得U f ( x )dx ， 即为所求量 U ．
a b
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
2
0
6 a
3 2 0
2

32 3 a . sin t (1 sin t )dt 105
7 2
例2 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R )时水 面上升的速度; ( 2) 若再将满池水全部抽出, 至少需作功多少?
解 如图所示建立坐标系.
dh a . 2 dt ( 2 Rh h )
( 2) 将满池的水全部抽出所 需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度 所需的功. 抽水时使水位从 y (0 y R )降到 y dy 所需 的功约为 x 2dy( R y), ( 1 水的比重)
又 x 2 2 Ry y 2 ,
o a x x dx b x
y
f ( x)
(9) 引力
Fy dFy
l l l
y
Gadx (a x )
2 3 2 2
A

l
l
l
Fx 0. ( G 为引力系数 )
o x x dx
x
1 b (10) 函数的平均值 y b a a f ( x )dx
(11) 均方根
y ( t ) 连续.
极坐标情形

r ( )
d

r 1 ( )
r 2 ( )
o

x
o

x
1 A [ ( )]2 d 2
1 2 A [ 2 ( ) 12 ( )]d 2
(2) 体积
y
x dx
o
y
d
x
V a [ f ( x )]2 dx
就可以考虑用定积分来表达这个量 U .
4、解题步骤
x 为 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如 [a , b ] ； 积分变量，并确定它的变化区间 2）设想把区间[a , b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值．如果U 能近似地表 示为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记 作 dU ，即dU f ( x )dx ； 3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
0
x
(6) 转动惯量
I y dI y
a b
x 2 ( x )dx
a
b
a o x x dx b
x
(7) 变力所作的功
W dW
a b
F ( x )dx
a
b
oa
x
F ( x)
x dx
b
x
(8) 水压力
P dP
a b b
xf ( x )dx a ( 为比重 )
(4) 旋转体的侧面积
y f ( x ) 0, a x b
y
y f ( x)
o
S侧
b
x
x dx
x
a
2 2f ( x ) 1 f ( x )dx
(5) 细棒的质量
m dm
0 l l
( ( x ) 为线密度)
( x)
o x x dx l
y
( x )dx
直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图 底圆方程为
y
o x 2 y 2 R2 , 垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 立体体积
2
x
R
x
A( x ) h y h R x R 1 2 2 2 V h R R x dx R h. 2
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 t , 1 ]）上 x ( t ) 具有连续导数，

b
a
f ( x )dx dU U
a
b
( 2)
这表明连续函数的定积 分就是 (1) 的微分的 定积分.
2、名称释译
由理论依据 ( 2) 知, 所求总量 A 就是其微分 dU f ( x )dx 从 a 到 b 的无限积累(积分) : U f ( x )dx
a b
这种取微元 f ( x )dx 计算积分或原函数的 方法称微元法.
4
B
ox x dx 16 A x
y
P 2
16
0
1 gx( x 23)dx 2
x3 g( 23 x 2 ) 16 0 3
1 g( 4096 23 256) 3
4522 .67 g
4.43 107 (牛).
例8
求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
有一长度为 l 、线密度为 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点
M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
l l 取y为积分变量 y , , y 2 2 o 取任一小区间[ y , y dy ]
将典型小段近似看成质点
l y 2 y dy
a 0
A 4 ydx
4 a sin3 t 3a cos 2 t ( sin t )dt
2 0
12
2 0
3 2 a [sin t sin t ]dt a . 8
2 4 6
20 设弧长为 L.
L 4
2 0
由对称性,有
2 0
2 2 ( x ) ( y ) dt 4 3a cos t sin tdt 6a .
x
2 32 例4 : 计算曲线 y x 上相应于 x从a到b的一段弧 3 的长度.
解: y
1 x2
y
2 32 y x 3
弧长元素 ds 1 y2 dx 1 xdx
弧长 s a
b
o
a
3 b 2 x)
b x
2 1 xdx (1 3
a
3 3 2 (1 b) 2 (1 a ) 2 3
定积分的应用习题课
一、主要内容
理
名 称 释 译
论
依
据
的所 特求 点量
微 元 法 解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
1、理论依据
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 则它的变上限积分 U ( x ) f ( t )dt
a x
(1)
是 f ( x ) 的一个原函数,即 dU ( x ) f ( x )dx, 于是
V ( h) x dy ( 2 Ry y 2 )dy
2 0 0
h
h
又设水深 h 时已注水的时间为t , 则有 V ( h) at ,
即 ( 2 Ry y 2 )dy at
0
h
dh 两边对 t 求导, 得 ( 2 Rh h ) a, dt
2
故所求速度为
即功元素 dW ( 2 Ry y2 )( R y)dy.
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W ( 2 Ry y )( R y)dy
2 0
R
( 2 R y 3 Ry y )dy
2 2 3 0
R
4 R . 4
例3: 如图, 平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角 , 计算这平面截圆柱体所得 立体的体积.
设 n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
wh f ( x )dx.
0
wh 0
h
kh2 kxdx , 2
2
依题意知，每次锤击所作的功相等．
kh k wh nw1 n , 2 2
n 次击入的总深度为 h n,
第 n 次击入的深度为
n n 1.
来自百度文库 6
y
R
h
半圆的方程为 x 2 ( y R )2 R 2 (0 y R).
o
x
于是对半圆上任一点,有
x 2 R2 ( y R)2 2 Ry y 2 (0 y R).
(1) 因已知半球可看作此半 圆绕 y 轴旋转而成 的立体, 故半球内高为h 的球缺的体积即水深 为 h 时水池内水的体积为
a M
l 2
r
x
小段的质量为
dy ,
小段与质点的距离为 r a 2 y 2 ,
引力
mdy F k 2 , 2 a y
dFx k
(a y ) l am dy 2kml 2 Fx l k 2 , 3 2 2 (a y ) 2 a(4a 2 l 2 )
例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作 的功相等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为
f ( x ) kx ,
w1 0
h
1
k f ( x )dx , 2
30 设旋转体的表面积为S , 体积为V .
由对称性,有
2 S 2 2y 1 yx dx 0 a
4
a 0
2 0
12 2 a sin t 3a cos t sin tdt a . 5
3
V 2 y dx 2 a 2 sin6 t 3a cos 2 t ( sin t )dt