基于可信性测度的一种模糊综合评价模型研究

第4期 参考文献 ：
林浩然 ： 模糊数学进入高中课程的初步实践
497
［1 ］ 汪培庄 . 模糊集合论机器应用 [M]. 上海 : 上海科技出版社 ,1982. ［2 ］ 张俊福 , 邓本让 , 朱玉仙 , 等 . 应用模糊数学 [M]. 北京 : 地质出版社 ,1988.
其他
μξ （x） =
1
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
x - 0.4 0.5 - 0.4 0.6 - x 0.6 - 0.5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
μξ （x） =
1
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.226 9 0.273 1 0.206 9 0.293 1
0 0
0 0
0.334 5 0.165 5 0 0 . 0.397 4 0.022 6 0 0 0.397 4 0.022 6 0.051 4 0.014 3 由式 （7） 得 qa = 1.726 9 ，qa = 1.706 9 ，qa = 1.834 5 ，qa = 1.774 5 则排序为 a3 酆 a4 酆 a1 酆 a2 .
u1 a1 a2 a3 a4 8 350 7 455 11 000 9 624
u2 5 300 4 952 8 001 5 000
u3 6 135 6 527 9 008 8 892
u4 0.82 0.65 0.59 0.74
u5 0.17 0.13 0.15 0.28 a1 a2 a3 a4
u1 0.745 5 0.677 7 1.000 0 0.874 9
其他
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
μξ （x） =
2
x - 0.5 0.6 - 0.5 1 0.9 - x 0.9 - 0.7 0 1
0.5 ≤ x < 0.6 0.6 ≤ x < 0.7， 0.7 ≤ x < 0.9
ij
级 ξk 的可信性测度 ， 称为单属性可信性评价测度 . 如 Cr{ξk = 0.75} 为值 0.75 是 “ 很好 ” 的可信性测度 .
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
Cr{ξ1 = yi1 } Cr{ξ2 = yi1 } … Cr{ξp = yi1 } Cr{ξ1 = yi2 } Cr{ξ2 = yi2 } … Cr{ξp = yi2 }
c
（1）
该公式也被称为可信性反演定理 （Liu，2006）. 同时，函数 μ ∶ R→[0，1]是隶属函数的充分必要条件为 sup μ（x）=
1. 可信性分布的概念由 Liu 定义为 Φ（x） = Cr{ξ ≤ x}，既 Φ（x）是 ξ 取小于或等于 x 的可信性测度. 为了对模糊变量排序 ，文[2] 给出模糊变量 ξ 的期望值算子定义 ：
… …
（μijl ）m×p =
Cr{ξ1 = yim } Cr{ξ2 = yim } … Cr{ξp = yim }
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
（i∈N ）.
（5 ）
称为单属性可信性评价测度矩阵 . 矩阵 （5） 的第 j 行 （μj1 ， μj2 ，… μjp ） 为 yij 的单属性可信性评价测度向量 .
x ≤ 0.3 0.3 < x ≤ 0.5 .
其他
0.5 - x 0.5 - 0.3 0
根据上面 4 个隶属函数和式 （4 ）， 可得单属性可信性测度评价矩阵
0.1138 0.3862 0 0 0.5 0 0 0
0 0.5
0.5 0
0 0 0 0
a1 ：
0 0.5 0 0 ， 0.5 0 0 0 0.1618 0.3382 0 0
u2 0.934 3 1.000 0 0.618 9 0.990 4
u3 0.681 1 0.724 6 1.000 0 0.987 1
u4 1.000 0 0.792 6 0.719 5 0.902 4
u5 0.764 7 1.000 0 0.866 7 0.464 3
在论域 Θ = [0 ，1] 定义 4 个模糊变量 ξ1 ，ξ2 ，ξ3 ，ξ4 作为评价等级 ， 分别为 ：ξ1 很好 、ξ2 好 、ξ3 一般 、ξ4 差 . 其 隶属函数分别为 ：
2.3 排序模型 ［4］
令
p
qa =
i i
l = 1
Σ （p + 1 - l ）r
il
（i∈N ），
（7 ）
则 qa 可看作方案 ai 的 “ 得分 ”， 因此 ， 可按其分值大小排序 .
3 实例分析
［5］
投资银行拟对某市 4 家企业 （ 方案 ）ai （i = 1，2，3，4 ） 进行投资 ， 抽取下列 5 项属性进行评估 ：u1 ： 产值
1 可信性理论简介
设 Θ 为非空集合 ，p （Θ ） 为 Θ 的幂集 ，p （Θ ） 中的元素称为模糊事件 ， 对任一 A∈p （Θ ），Cr{A} 是模糊事 件{A}的满足下列 4 个公理的可信性测度 ，
1） Cr{Θ} = 1 ； 2） Cr 是单调增加的 ，即 ：当 A奂B 时 ，Cr{A} ≤ Cr{B}； 3） Cr 是自对偶的 ，即 ：对任意 A∈∏（Θ）有 Cr{A} + Cr{Ac} = 1 ； 4） 对任意满足 Cr{Ai } ≤ 0.5 的{Ai }有 Cr{Ai }∧0.5 = supi{Ai }.
模糊综合评价方法是建立在 Zadeh 的模糊集理论基础上的一种评价方法 ， 是一个由模糊映射诱导出 一个模糊线性变换的过程 ， 已经得到了广泛地应用 . 但该方法也存在一些不足 ， 如模糊集的 “ 取大 ”、“ 取小 ” 运算损失了许多信息 ； 将模糊属性度作为状态集的函数 ， 一般不满足归一性和可加性
j∈M）， 则决策矩阵为 A = （xij ）n×m ， 归一化后矩阵为 B = （yij ）n×m . 由于 yij ∈[0 ，1]， 可取论域 ， 为了对值 yij 的
好坏进行评价分析 ， 在可信性空间 （Θ ，p （Θ ），Cr） 上定义模糊变量 ξ1 ，ξ2 ，…，ξp ， 组成评价等级 （ 如 ξ1 为很 好 、ξ2 为好 、ξ3 为一般 、ξ4 为差 ）， 其隶属函数分别为 μξ （x）（k∈P）.
模糊映射看成一个模糊事件 ， 提出了基于描述该模糊事件发生的可信性测度的单属性可信性评 价测度 ， 结合加权算术平均算子 ， 构造了多属性综合可信性评价测度和评价排序模型 . 关键词 ： 可信性测度 ； 模糊事件 ； 排序 中图分类号 ：C 934 ； 文献标识码 ：A 文章编号 ：1671-8747 （2008 ）04-0481-03
a2 ： 0.0615 0.4385 0 0 ， 0.2315 0.2685 0 0 0.5 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a3 ，a4 略.
取权重向量为 w = （0.36 ，0.16，0.16，0.16，0.16）， 由式 （5 ） 得多属性综合可信性测度评价矩阵
第 21 卷 第 4 期 2008 年 12 月
海南师范大学学报 (自然科学版) Journal of Hainan Normal University （Natural Science ）
Vo1.21 No.4 Dec. 2008
基于可信性测度的一种模糊综合评价模型研究
王 瑜
（桂林空军学院 教研部， 广西 桂林 541003 ） 摘 要 ： 针对模糊综合评价方法存在的不足 ， 运用可信性理论的原理 ， 通过将单属性评判的
［1］
， 因此可能出现分
级不清 、 评价结果不合理 、 可靠度不高的情况 . 文 [2] 引进了具备自对偶性的可信性测度 ，2004 年建立了可 信性理论 . 本文根据可信性理论原理 ， 通过可信性反演定理 （Liu ，2006 ）， 将模糊集的属性度转化为模糊变 量取值的可信性测度 ， 得到单属性可信性测度评价矩阵 . 再由加权算术平均算子 ， 得到多属性综合可信性 测度评价矩阵 . 最后 ， 以 “ 分值 ” 的形式 ， 给出排序 .
1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 结语
本文给出的基于可信性测度的模糊综合评价方法 ， 将对属性值好坏判断的语言模糊性描述 ， 用建立在 可信性空间的模糊变量来表示 ， 并以可信性测度的形式来刻画 . 而此刻的模糊变量的取值 ， 可为多种模糊 数 ， 如三角模糊数 、 梯形模糊数等等 ， 可处理各种给出了隶属函数或可信性测度的模糊信息 . 与文 [5] 的不确 定性评价方法 ， 有着不同的理论基础 ， 不同理解与处理 ， 它们只能处理单一的模糊数 ， 也与建立在模糊集上 的模糊综合评价方法有着本质的不同 . 实例的计算过程表明 ， 计算具有简单 、 直观的特点 ， 因此 ， 该方法具 有很强的适应性和有效性 . （ 下转第 497 页 ）
则三元组 （Θ ，p（Θ ），Cr） 称为可信性空间 . 模糊变量 ξ 被定义为 （Θ ，p（Θ ），Cr） 到实数集 R 上的函数 . 设 ξ 是一个 （Θ，p （Θ），Cr） 上的一个模糊变量 ， 则其隶属函数可由可信性测度导出为 ： μ （x） = （2Cr{ξ =
x}）∧1. 反之 ，ξ 是一个具有隶属函数 μ（x）的模糊变量 ，则对任一实数集 B，我们有 sup μ（x） + 1 - sup μ（x） ∧ Cr{ξ∈B} = 1 ∧ . x∈B 2 x∈B
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
μξ （x） =
1
0 x - 0.7 0.9 - 0.7 1
x ≤ 0.7 0.7 < x ≤ 0.9， x > 0.9 0.4 < x ≤ 0.5 0.5 < x ≤ 0.6 ，
k
2.1 单属性可信性评价测度
由式 （1）， 即可信性反演定理 ：
μk （yij ） + 1 - sup μk （x） ≠k∈P，i∈N， j∈M. （4 ） Cr{ξk = yij } = 1 ≠ x≠y 2 其中 ，Cr{ξk = yij }为模糊事件{ξk = yij }发生的可信性测度 ， 即方案 ai 在属性 uj 下的属性值 yij 属于评价等
H[ξ] =
其中 S（t） = -tlnt - （1 - t）ln （1 - t）.
乙 S（Cr{ξ = x}）dx.
-∞
+∞
（3 ）
2 问题描述与建模
为方便起见 ， 记 M = {1，2，…，m}，N = {1，2，…，n}，P = {1，2，…，p}. 设待选方案集 A = {a1 ，a2 ，…，an }， 属性集 U = {u1 ，u2 ，…，um }， 属性权重向量为 w = {ω1 ，ω2 ，…，ωm }. 各方案在各属性下的测量值为 xij （i∈N ，
第4期
王瑜等 ： 基于可信性测度的一种模糊综合评价模型研究
483
（ 万元 ）；u2 ： 投资成本 （ 万元 ）；u3 ： 销售额 （ 万元 ）；u4 ： 国家收益比重 ；u5 ： 环境污染程度 . 投资银行对 4 家企业 的上述属性情况进行了考查 ， 得表 1、 表 2 决策矩阵 .
表1 决策矩阵 表2 归一化决策矩阵
2.2 多属性可信性评价测度
令
p p k ik
rj =
k = 1
Σω μ
=
Σω Cr{ξ
k = 1 k
k
= yik } （i∈N），
（6 ）
为第 i 个方案 ai 属于第 j 个评价等级 ξj 的综合可信性测度 ， 反映了 ai 属于 ξj 的程度 ， 称为多属性综合 可信性评价测度 . 称矩阵 （rik ）n×p 为多属性综合可信性评价测度矩阵 . 其中 ， 第 i 行 （ri1 ，ri2 ，… rip ） 为方案 ai 的 评价向量 .
［3］
收稿日期 :2008-06-30
482
海南师范大学学报 （ 自然科学版 ）
2008 年
（2 ）
E[ξ] =
模糊熵的定义为 ：
乙
0
+∞
Cr{ξ ≥ r}dr -
乙 Cr{ξ ≤ r}dr，
-∞
0
进一步 ， 对任意实数 a，b， 有 E[aξ + b] = aE[ξ] + b 为了度量连续模糊变量的不确定性 ，Li 和 Liu 引入