高中数学各考点解题技巧带你走进法向量(法向量的理解与运用)

带你走进法向量

江苏省东海高级中学

一、法向量概念理解

如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量叫做平面的法向量．

特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；

（2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；

（3）向量是平面的一个法向量，向量与平面平行或在平面内，则；

（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的．

二、法向量求解步骤

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：

（1）设出平面的法向量为；

（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；

（3）根据法向量的定义建立关于、、的方程组；

（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为或）．

三、用法向量可以解决的问题

1．直线与平面成角

直线与平面所成的角为，是直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）的余角，故有．注意：求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角．

2．平面与平面成角

设，分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有．

注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量、方向相反时，则二面角的大小等于，若两个面的法向量、方向相同时，则二面角大小为．

3．求点面距离

点面距离的具体求解步骤是：

（1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设是直线上的一个单位方向向量，线段在上的投影是，则有，是求点到线，点到面的距离问题重要公式．

四、法向量的具体应用

例1如图，四边形是直角梯形，∥，，又，，直线与直线

所成的角为．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角余弦值的大小．

解：（1）∵

∴，

又∵

∴平面平面．

（2）在平面内，过作，建立空间直角坐标系

由题意有，设，

则，

由直线与直线所成的解为，得

，即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得（正方向），

平面的法向量取为（正方向），

设与所成的角为，则，

∴二面角的大小为的补角，

故二面角的余弦值的大小为．

评注：设，分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角．所谓“穿入法”就是穿入二面角内部的平面的法向量（如右图所示）方向为正方向，穿出二面角的平面的法向量方向为负方向．根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角即为二面角的平面角，由公式便可轻松求出．如果两个法向量都取正方向（或负方向），则即为所求二面角的补角．例2如图，是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

解：（1）以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，因为是的中点，所以，

．

易知，是平面的一个法向量．

因为，平面，所以平面．

（2），，

设是平面的一个法向量，则

则，得：

取，（负方向）．

显然，为平面的一个法向量（正方向）．

所以大小即为二面角的大小，

而，

所以二面角的大小是．

评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中的“形”到“形”的推理方法，也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，易于接受，是用向量法求二面角的独到之处．