数学方法在高中物理中的应用

数学方法在高中物理中的应用

近几年来湖南高考考试说明（物理）中明确要求“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学特点、规律进行推导、求解和合理外推，并根据结果做出物理判断、进行物理解释或得出物理结论……”

本文仅就笔者多年教学实践的经验，着重谈谈数学方法在中学物理教学中多方面的运用及其应该注意的一些问题。

一、数学知识是物理概念的定义工具，和物理定律、原理的推导工具在物理中，用数学知识来定义物理概念、表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言。许多物理概念和规律都要以数学形式（公式或图像）来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。

1.用数学的方法来定义物理概念

在此仅以两例来说明.

(1) 在中学物理中常用到的比值定义法. 所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法。比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变。如:密度、压强、速度、加速度,功率、电场强度,电容等物理量的定义.

(2) 中学物理中的许多定律，例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律，光的折射定律等都是从实验出发，经过科学抽象为物理定律，最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研

究物理的基本方法之一。

2.用数学知识来推导物理公式。

物理学中常常利用数学知识研究问题。以高中物理“直线运动”这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移；用代数法和三角法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外，物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系，加深理解。

二、用数学方法处理物理问题

在中学物理学习中常用的数学方法有图像法、极值法、近似计算法、微元法等。

1、图像法

物理图像是一种非常形象的数字语言和工具，利用它可以很好

地描述物理过程，反映物理概念和规律，推导和验证新的规律。物理图像不仅可以使抽象的概念形象化，还可以恰当地表示语言难以表达的内涵。用图像解物理问题，不但迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程。

例1、甲乙两地相距km s 6.1=，摩托车加速时的加速度为216.1s m a =，减速时的加速度为224.6s m a =摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多

少？运动过程中的最大速度为多少？

解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为1t ，匀速运动时间

为2t ，减速运动时间为3t ，总时间为t ，则：

3211t a t a v m == , 211121t a s = , 22t v s m = , 232321t a s = ,321s s s s ++= , 312t t t t --=

联立以上六式并代入数据得： 016006.1121=--tt t 要使以上方程有解，须判别式 0≥∆，即：016004)6.1(2≥⨯-=∆, 所以s t 50≥，即最短时间为s 50。

故有：0160080121=+-t t ，解得：s t t s t 10,0,40321===。

可见摩托车从甲地到乙地先加速s 40,后紧接着减速 s 10达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为： s m s m t a v m 64406.111=⨯==。

解法二：用图象分析法。建立如图1所示的

图象，

图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距离，

在保证“面积”不变的情况下要使运动时间

变

小，

只有把梯形变成三角形。 2)(21t t v s m += ，2211t a t a = , 21t t t +=

联立以上三式得：最短时间为s t 50=，最大速度为s m v m 64=。

归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法。

2、极值法 极值法是在物理模型的基础上借助数学手段和方法，从数学的极值法角度进行分析、归纳的数学处理方法。物理极值问题的

讨论中常用的极值法有:三角函数极值法,二次函数的极值法,一元二次方程的判别式法等.

例2:质量为m 的物体放在地面上，它们间的滑动摩擦系数为μ， 用力F 斜向上拉物体，使物体在水平面上作匀速直线运动，

求力与水平方向的夹角α为多大时最省力。

图2

析与解:由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样。而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等。以物体为研究对象，受力分析如图2所示。因为物体处于平衡状态，

根据0=∑F 得： N F F μα=cos （1）， mg F F N =+αsin （2）

由（1）、（2）式得： )

sin(1sin cos 2φαμμαμαμ++=+=mg mg F （μφ1arctan =） 可见，当090=+φα，即μαtan acr =时，1)sin(=+φα，F 有最小值为： 2min 1μ

μ+=mg F 3、近似计算法.

物理计算中，常用一些数学近似公式：

如:当θ很小时：θθθ≈≈tan sin

借助上述公式结论，在物理估算中常收到一些意想不到的效果。 例3:在水下1m 处放置一个小物块，问当从水面正上方向下看时，物体离水面为多少？

解析:

水面下物体A 所发出的光线经水面折射，

其像点'A ，光路如图3所示.

''tan oA oo =γ ,oA

oo '

tan =α

当人眼从水面正上方往下看时，

γ、α两角都应接近零度。因此有： 图3

γγsin tan ≈，ααsin tan ≈

由光的折射定律，则有：

'

'''

tan tan sin sin oA oA oA

oo oA oo n ==≈=αγαγ 所以当从水面正上方向下看时，物体离水面深度为n 1米

4.微元法:

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

例4:用微元法推导匀变速直线运动位移与时间关系。