组合数学(一)

P(n)是一个不等式 P(n)是一个不等式
2007年8月 年 月
Tang Bin
Dalian Jiaotong University Software Institute
（二）原理
1、适用：对于任何一个整数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ≥n0， 适用：对于任何一个整数n≥n
证明关于n的某个命题P(n)是真 证明关于n的某个命题P(n)是真。 是真。 P(n)是一个等式、整除式、不等式等等。 P(n)是一个等式、整除式、不等式等等。 是一个等式
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练1：(1) 当n=1时，在2×2的棋盘上任意移去一个 n=1时
方格后，可被一个L型构件覆盖。如下图所示。 方格后，可被一个L型构件覆盖。如下图所示。
应用……2（练习） （五）应用……2（练习）
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二、数学归纳法
（一）引例 （二）原理 （三）步骤 （四）练习 （五）应用
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4、数学命题，本质上，都是条件命题 p ⇒ q 数学命题，本质上，
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（二）条件命题
1、证明定理 即 证明条件命题为真 2、定理 转变成 条件命题
例：如果集合A中包含n个元素，则A有2n个子集。 如果集合A中包含n个元素， 个子集。 所有整数可以被完整地分成两类，奇数与偶数。 练：所有整数可以被完整地分成两类，奇数与偶数。
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T F T
T F T
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（一）引论
1、为什么要学习“证明方法”？ 为什么要学习“证明方法”
逻辑思维能力， 逻辑思维能力，数学思想
2、学习“证明方法”是为了证明什么？ 学习“证明方法”是为了证明什么？
数学命题的真或假
3、数学上的真命题（定理）和假命题 数学上的真命题（定理）
个元素的集合恰好有2 个子集。 例：有n个元素的集合恰好有2n个子集。 对每一个正整数n +n+41都是素数 都是素数。 例：对每一个正整数n，n2+n+41都是素数。
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课时安排
五年制05: (第1次)周一 、10小节 周一9、 小节 小节—— 五年制 第 次 周一 9401 (第2次)周三 、10小节 周三9、 小节 小节——9401 第 次 周三 五年制04: (第1次)周二 、10小节 周二9、 小节 小节—— 五年制 第 次 周二 9401 (第2次)周四 、10小节 周四9、 小节 小节——9401 第 次 周四
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（三）步骤
1、验证P(n0)为真。 验证P(n 为真。 2、证明P(k)⇒ P(k+1)是真。（k≥n0） 证明P(k) P(k+1)是真。（k≥n 是真。（ 通常采用直接法） （通常采用直接法）
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其它证明方法……2（举反例法） （四）其它证明方法……2（举反例法）
2、举反例法： 举反例法：
适用：证明包含全称量词的条件命题（p⇒q）是假。 q）是假。 适用：证明包含全称量词的条件命题（ 原理： 原理：为了证明 对于任何一个……（ ⇒ q） “对于任何一个……（p q）”这句话是假的 只要找到一个具体的例子使得（ q）为假即可。 只要找到一个具体的例子使得（p ⇒q）为假即可。 方法：先判断，如果合适，就举反例。 方法：先判断，如果合适，就举反例。 例5：对每一个正整数n，n2+n+41都是素数。 对每一个正整数n +n+41都是素数 都是素数。 任意两个偶数的平方和都不是完全平方数。 练5：任意两个偶数的平方和都不是完全平方数。
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（四）练习
练1：证明任何正整数n都满足 证明任何正整数 正整数n
13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2
例2：证明任何非负整数n都满足2|(n2+n) 证明任何非负整数 都满足2 非负整数n 证明任何正整数 都满足10 正整数n 练2：证明任何正整数n都满足10|(n5-n) 证明任何整数 整数n>5都满足 都满足2 例3：证明任何整数n>5都满足2n>10n 练3： 1 1 1
2k 2k+1
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练3：n是正整数， 是正整数，
组合数学I 组合数学I
一、证明方法 二、数学归纳法 三、计数技术 四、递推关系 五、生成函数
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组合数学I 组合数学I
• 课时安排 课时安排 • 一、证明方法 • 二、数学归纳法
(1) 假设P(k)是真， 假设P(k)是真， 是真 (2) 证明P(k+1)是真。（最关键步骤） 证明P(k+1)是真。（最关键步骤 是真。（最关键步骤） 在完成最关键步骤时， 注：在完成最关键步骤时， 首先应该在草稿上分析：P(k)与P(k+1)的相同和不同 的相同和不同， 首先应该在草稿上分析：P(k)与P(k+1)的相同和不同， 然后在观察分析结果时找到P(k)与P(k+1)之间的联系 之间的联系。 然后在观察分析结果时找到P(k)与P(k+1)之间的联系。 例1：证明任何正整数n都满足1+3+5+…+(2n-1)=n2。 证明任何正整数n都满足1+3+5+…+(2n-
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一、证明方法
（一）引论 （二）条件命题 （三）基本证明方法 （四）其它证明方法
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其它证明方法……1（分情况讨论法） （四）其它证明方法……1（分情况讨论法）
1、分情况讨论法： 分情况讨论法：
适用：证明（p ⇒ q）为真。 q）为真。 适用：证明（ 原理：前提p可以从某种角度被分成若干个小前提， 原理：前提p可以从某种角度被分成若干个小前提， 即：p≡p1∨ p2∨ …∨ pn 方法：证明每一个（ 为真。（ i≤n） 。（1≤ 方法：证明每一个（pi ⇒ q）为真。（1≤ i≤n） 例4：如果n是整数，那么n3-n是偶数。 如果n是整数，那么n 是偶数。 如果n是正整数，那么n 不能被3整除。 练4：如果n是正整数，那么n2-2不能被3整除。
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应用……1（习题） （五）应用……1（习题）
例1：证明对于任意非负整数n， 证明对于任意非负整数 非负整数n
有n个元素的集合恰好有2n个子集。 个元素的集合恰好有2 个子集。
3、真值表 p q p ⇒q 4、分析：（p是前提，q是结论） F F 分析：（ 是前提， 是结论） ：（p T
(1) 只有前提是真，结论是假时， 只有前提是真，结论是假时， F 条件命题才为假。 条件命题才为假。 T (2) 只要前提是假，条件命题就为真。 T 只要前提是假，条件命题就为真。 (3) 只要结论是真，条件命题就为真。 只要结论是真，条件命题就为真。
练1：证明对于任意正整数n，如果从每行和每列都有 证明对于任意正整数 正整数n
2n个方格的大小为2n×2n的棋盘中移去任何一个方格， 个方格的大小为 的大小为2 的棋盘中移去任何一个方格 中移去任何一个方格， 覆盖， 则剩下的方格可以用若干个L型构件覆盖 则剩下的方格可以用若干个L型构件覆盖，其中这里的 每个L型构件覆盖3个方格。 每个L型构件覆盖3个方格。 以下画出了一个2 的棋盘和一个L型构件） （以下画出了一个2×2的棋盘和一个L型构件）
2、原理：分析(1)：需要证明P(n0)、P(n0+1)、 +1)、 原理：分析(1)：需要证明P(n
P(n0+2)等等无数多的命题是真。 +2)等等无数多的命题是真 等等无数多的命题是真。 分析(2)： 证明P(n 是真， 分析(2)：相当于①证明P(n0)是真， 证明P(n +1)是真 是真， ②证明P(n0) ⇒P(n0+1)是真， 证明P(n +2)是真 是真， ③证明P(n0+1)⇒ P(n0+2)是真， 等等无数多的条件命题为真。 等等无数多的条件命题为真。 分析(3)： 分析(3)：相当于①证明P(n0)是真， 证明P(n 是真， 证明P(k) P(k+1)是真。（k≥n 是真。（ ②证明P(k) ⇒P(k+1)是真。（k≥n0）
1 证明任何整数 整数n≥2都满足 证明任何整数n≥2都满足 2 + 2 + ... + 2 < 2 − 1 2 n n
作业1 证明任何正整数 都满足6 作业1：证明任何正整数n都满足6|(n4-n2) 正整数n 作业2 证明任何整数 整数n≥5都满足 都满足(2n)!<(n!) 作业2：证明任何整数n≥5都满足(2n)!<(n!)24n-1
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其它证明方法……3（习题） （四）其它证明方法……3（习题）
思考1 对任意整数k 如果1≤k≤n， 思考1：对任意整数k，如果1≤k≤n， 证明k(n+1证明k(n+1-k)≥n 思考2 对任意正整数n 证明n!≥n 思考2：对任意正整数n，证明n!≥nn/2 作业1 除了3,5,7之外 作业1：除了3,5,7之外，任何三个连续正奇数中 之外， 至少有一个数不是素数。 至少有一个数不是素数。 作业2 是无理数。 作业2：证明 3 是无理数。
应用……4（练习） （五）应用……4（练习）
平面上有n条直线， 平面上有n条直线， 其中没有平行的直 线，也没有相交于 同一点的3条直线。 同一点的3条直线。 这n条直线把平面 分割成若干个区域， 分割成若干个区域， 求这些区域的数目， 求这些区域的数目， 并用数学归纳法 证明结论。 证明结论。
（一）引例
例1、任何正整数n都满足： 任何正整数n都满足： 1+3+5+…+(2n1+3+5+…+(2n-1)=n2 n∈Z，n≥1
P(n)是一个等式 P(n)是一个等式
例2、任何非负整数n都满足： n∈Z，n≥0 任何非负整数n都满足： P(n)是一个整除式 P(n)是一个整除式 2|(n2+n) 例3、任何整数n>5都满足： 任何整数n>5都满足 都满足： 2n>10n n∈Z，n≥6