幂函数一对一辅导讲义

假设存在实数 q(q 0) ，使得 g(x) 满足题设条件，
设 x1 x2 ，则 g(x1) g(x2 ) qx14 (2q 1)x12 qx24 (2q 1)x22 (x1 x2 )(x2 x1)[q(x12 x22 ) (2q 1)] ．
若 x1，x2 ∞， 4 ， 易 知 x1 x2 0 ， x2 x1 0 ， 要 使 g(x) 在 ∞， 4 上 是 减 函 数 ， 则 应 有
解：设 f (x) xm ，则由题意，得 2 ( 2)m ，
∴
m
2 ，即
f
(x)
x2 ．再令
g(x)
xn
，则由题意，得
1 4
(2)n
，
∴ n 2 ，即 g(x) x2 (x 0) ．在同一坐标系中作出
f (x) 与 g(x) 的图象，如图 2 所示．由图象可知：
（1）当 x 1或 x 1时， f (x) g(x) ；
分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．
解：（1）当 k2 k 0 ，即 k 0 或 k 1时， y 0 为常函数；
（2）当 k2 2k 1 0 时， k 1 2 或 k 1 2 ，此时函数为常函数；
（3）
k 2
k
2
k 0， 2k 1
即
0，
0
g(x) 在区间 ∞， 4 是减函数，且在区间 (4，0) 上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明
理由． 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意
问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间． 解：∵ f (x) x2 ，则 g(x) qx4 (2q 1)x2 1 ．
k
1
2 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小；
（4）当
k 2
k
2
k 0， 2k 1
即
0，
k
1或
k
1
2 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；
（5）当
k 2
k
2
k 0， 2k 1
即1
0，
2 k 0 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；
（6）当
k 2
k
2
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容， 这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展你的思维．
二、幂函数解题思想
（一）分类讨论的思想
例 1 已知函数 y xn2 2n3 (nZ) 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于 y 轴对称，求 n 的值，并画出函数的图象．
当 n 1时， n2 2n 3 0 为偶数；
当 n 2 时， n2 2n 3 3 不是偶数；
当 n 3时， n2 2n 3 0 为偶数； 所以 n 为 1，1 或 3． 此时，幂函数的解析为 y x0 (x 0) 或 y x4 ，其图象如图１所示．
（二）数形结合的思想
解得 m 5 1 ． 故选（Ｂ）
第二课时 幂函数习题精讲
幂函数中的三类讨论题：
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理 解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨 论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的 单调性分类讨论，使得结果得以实现．
解：因为图象与 y 轴无公共点，故 n2 2n 3≤0 ，又图象关于 y 轴对称，则 n2 2n 3 为偶数，由
n2 2n 3≤0 ，得 1≤n≤3 ，又因为 n Z ，所以 n 0，1，2，3 ．
当 n 0 时， n2 2n 3 3 不是偶数；
当 n 1时， n2 2n 3 4 为偶数；
例2
已知点 (
2，2)
在幂函数
f
(x)
的图象上，点
2，1 4
，在幂函数
g(x)
的图象上．
问当 x 为何值时有：（１） f (x) g(x) ；（２） f (x) g(x) ；（３） f (x) g(x) ．
分析：由幂函数的定义，先求出 f (x) 与 g(x) 的解析式，再利用图象判断即可．
教学目标 重点、难点 考点及考试要求
1、掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 2、能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用，引导学生概括出幂函数 的性质。
考点 1：幂函数的概念 考点 2：指数函数与幂函数的性质 考点 3：指数函数与幂函数的区别
q(x12 x22 ) (2q 1) 0 恒成立． ∵ x1 4 ， x2 ≤ 4 ，∴ x12 x22 32 ．而 q 0 ，
∴ q(x12 x22 ) 32q .．
从而要使
q( x12
x22
)
2q
1
恒成立，则有
2q
1≥ 32q
，即
q
≤
1 30
．
若 x1，x2 (4，0) ， 易 知 (x1 x2 )(x2 x1) 0 ， 要 使 f (x) 在 (4，0) 上 是 增 函 数 ， 则 应 有
q(x12 x22 ) (2q 1) 0 恒成立．
∵ 4 x1 0 ， 4 x2 0 ，
∴ x12 x22 32 ，而 q 0 ，∴ q(x12 x22 ) 32q ．
要使
q( x12
x22
)
2q
1
恒成立，则必有
2q
1≤
32q
，即
q
≥
1 30
．
综上可知，存在实数 q 1 ，使得 g(x) 在 ∞， 4 上是减函数，且在 (4，0) 上是增函数．
30
评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从 定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平 时要注意有针对性的训练．
类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况
例 3 讨论函数 y (k 2 k)xk2 在 2k1 x 0 时随着 x 的增大其函数值的变化情况．
只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定 f (x) 的解析式．
解：∵ f (x) 是偶函数，∴ 2m2 m 3应为偶数．
又∵
f
(3)
f
(5) ，即 32m2 m3
3
2 m 2
m3
52m2 m3 ，整理，得 5
1
，∴ 2m2
1 m
m 3 0 ，∴
3 2
．
又∵ mZ ，∴ m 0 或 1．
k 0， 2k 1
，即
0，
1
k
1
2 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小．
评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应 引起我们的高度警觉．
第三课时 幂函数巩固练习
例 1 若 (m 1)1 (3 2m)1 ，试求实数 m 的取值范围．
正解（分类讨论）：
（2）当 x 1时， f (x) g(x) ；
（3）当 1 x 1且 x 0 时， f (x) g(x) ．
小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中 g(x) 的隐含条件 x 0 ． （三）转化的数学思想
例3
函数
y
(mx2
4x
m
1
2) 4
来自百度文库
(m2
mx
1)
的定义域是全体实数，则实数
m 1 0，
（1） 3 2m 0，
m 1 3 2m，
解得 2 dm 3 ；
3
2
m 1 0，
（2） 3 2m 0， 此时无解；
m 1 3 2m，
m 1 0，
当 m=0 时， 2m2 m 3 3 为奇数（舍去）；当 m 1时， 2m2 m 3 2 为偶数．
故 m 的值为 1， f (x) x2 ．
评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可 为正确解题奠定坚实的基础．
类型二：求解存在性问题 例 2 已知函数 f (x) x2 ，设函数 g(x) qf [ f (x)] (2q 1) f (x) 1 ，问是否存在实数 q(q 0) ，使得
类型一：求参数的取值范围 例 1 已知函数 f (x) x2m2 m3 (m Z) 为偶函数，且 f (3) f (5) ，求 m 的值，并确定 f (x) 的解析式．
分析：函数 f (x) x2m2 m3 (m Z) 为偶函数，已限定了 2m2 m 3必为偶数，且 mZ ， f (3) f (5) ，
m
的取值范围是
（ ）．
Ａ． ( 5 1，2)
Ｂ． ( 5 1， ∞)
Ｃ． (2，2)
Ｄ． (1 5，1 5)
解析：要使函数
y
(mx2
4x
m
1
2) 4
(m2
mx
1)
的定义域是全体实数，可转化为
mx2 4x m 2 0 对一切实数都成立，即 m 0 且 42 4m(m 2) 0 ．
教学内容
第一课时 幂函数知识盘点
一、幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如 y x (a R) 的函数称为幂函数，其中 为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2） 0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,) 上是增函数．特别地，当 1时，幂 函数的图象下凸；当 0 1时，幂函数的图象上凸； （3） 0 时，幂函数的图象在区间 (0,) 上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时， 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．