结构振动理论3-隔振原理

Td 2 1
所以有： ( )2 1 1
n
Td
又因为 (n )2 g / s
则
s
g
2
(1 1 Td
)
由已知条件：
360* 2 12 rad / s Td 0.2
60
可得
s
9.8
(12 )2
(1
1) 0.2
0.0414 m
4.14cm
单自由度系统的定常强迫振动
Base Isolation Technique
(t )dt
1dt 1 ＝1
由此可得
lim
0
(t
)
(t
)
单位脉冲响应:零初始条件下,系统对单位冲量产生的瞬态响应。
单自由度系统非定常响应
函数具有如下的重要性质和功能：
（1）筛选性
积分中值定理
(t ) f (t)dt lim 1/ f (t)dt lim 1/ f ( ) f ( )
传到基础上的力幅与机器上作用的简谐力幅之比称为力传递率：
FT F0
1 (2 )2
X
(1 2)2 (2 )2 Y T
可见力隔振与运动隔 振的原理是统一的。
单自由度系统的定常强迫振动
三.反馈控制隔振
1/s k2 m
F (k1x& k2&x&) m&x& k(x xg ) F
k1
4
0
0.1
时间内作用的效果，可以把它
t t
f(t)
看成是 一系列冲量微元之和 。
t 时刻冲量微元 f ( )d
作用下系统的响应为 h(t ) f ( )d t
0
t
d
t
单自由度系统非定常响应
根据叠加原理， f(t)在0~t 时间段内作用下系统的响应为：
t
x(t) h(t ) f ( )d 0
原方程两端乘以dt, 并从0-到0+进行积分(脉冲只在0时刻作用)
0(mx cx kx)dt 0 (t)dt 1
0
0
上式左端各项的积分为：
0 mxdt
0
mx00
mx(0 )
0 cxdt 0
0 0
cdx
cx
0 0
0
0 kxdt 0
0
单自由度系统非定常响应
从而有
x(0
)
1 m
上式说明如果系统在 t=0时刻作用一单位冲量，其效果相
曲线上
2 2
Q
的点称为半功率点。
两个半功率点之间的频率带宽定义为共振峰的半功率带宽。
阻尼很小时，系统的品质因数与半功率带宽互为倒数。 1 Q
单自由度系统的定常强迫振动
➢作业: 3.17
第四章 单自由度系统对非定常激励的响应
定常激励：激励力随时间是谐和的或周期性变化。
非定常激励：1)任意变化的持久作用(非周期)； 2) 突发性的冲击作用。如：武器发射，飞机着陆
上式在数学上称之为f(t)与h(t)的卷积。因而这种方法称为 卷积法，可以求系统在任意力作用下的响应 。 注：用卷积法求零初始条件下的响应，要分清 是积分 变量，t是参变量，并要注意正确标出积分的上下限。
以上公式是在零初始条件下给出的系统响应，若初始 条件不为零，则需要叠加上由初始条件所产生的自由振 动。
u bt b 是常数。忽略阻尼，若仪器组件质量为 m
求发射时仪器组件相对于底板的位移和它的绝对加速度。
解： 设仪器相对于底板的位移为y,即
y x u 绝对加速度 x y u
系统的运动方程为 mx k(x u) 0
变换为相对坐标系为 y
1 mp
t
0
f
( ) sin
p(t
)d
my ky mu
h(t 0
)
t t
其中：
h(t ) 1 ep(t ) sin q(t ), t
mq
单自由度系统非定常响应
4.2 系统对任意激励力的响应
问题：如何由脉冲响应函数得出系统对应于任意力f(t)的
非定常响应？ 已知在 t 时刻作用一单位冲量，系统的响应将是
x(t)
h(t 0
)
用冲量来考察任意力f(t)在一段
单自由度系统非定常响应
简谐激励是任意激励力的一个特例，在杜汉梅耳积分公式中，
令 0 f (t) F0 cost
得到
x(t)
F0
t
cos sin p(t )d
mp 0
F0
t
{sin[( p) pt] sin[( p) pt]}d
2mp 0
F0 mp2
{cos[( p) p
pt]
cos[( p) p
pt]} |t0
F0 mp2
1
1
2
(cost
cos
pt)
F0 k
1
1
2
(cost
cos
pt)
这就是在零初始条件下，受简谐力作用的单自由度系统无阻 尼响应函数，公式3.2.12。
单自由度系统非定常响应
例：导弹头部装有带减震装置的仪器组件，如下图，当垂直 点火发射时，底板具有随时间直线增加的加速度：
单自由度系统的定常强迫振动
例：某直升机旋翼额定转速360r/min时，机身强烈振动,为
了使直升机上某电子装备的隔振效果达到 Td 0.2 ，忽略 阻尼 试求隔振器弹簧在自重下的静变形 s
解： 根据基础运动位移传递率公式有 Td
1 (2 )2 (1 2 )2 (2 )2
忽略阻尼的影响，有
1
单自由度系统非定常响应
等都存在突发性的冲击作用。这类激励也称为瞬态激励。
脉冲响应法 是指计算系统受单位冲量所激发响应的方法。 是分析线性系统非定常响应的基础。
任意激励可以分解为一系列在各个不同时刻作用的微 冲量。按照叠加原理，线性系统对任意激励的响应就等于 系统对各个不同时刻作用的微冲量的响应之和。
单自由度系统非定常响应
2 能在不增加承载负担的情况下，增大系统的等效质量，降低固有频率，提高
隔振效果
单自由度系统的定常强迫振动
3.8结构阻尼
结构阻尼:大致与应变幅值(振幅)平方成正比,与频率无关。
谐和激励下的定常强迫振动，发生共振时结构阻尼率等于线 性阻尼率的2倍 。
3.9 品质因数、半功率带宽
系统在 1 时的放大率，称为系统的品质因数 Q 1 2
单自由度系统的定常强迫振动
二、力隔振：
此时，振动物体(机器本身振动） 是振源。采用隔振装置的目的是减 小（机器振动）对基础的作用。 质量m上有简谐力（使之振动）：
F F0 cos t
x(t)
m
o
其定常强迫振动响应为：x X cos(t )
X F0
1
k (1 2 )2 (2 )2
F0 cost
令式中 0 ，可得 f I (t ) 上式可以理解为：冲量乘以 函数后得到其在时间上的分布量
—作用力。
单自由度系统非定常响应
求单自由度线性系统在亚临界阻尼情形下的单位脉冲响应函数
系统运动微分方程 mx cx kx I (t), I 1
初始条件 x(0 ) x(0 ) 0, x(0 ) 0
x(t)
e pt
(
x0
px0
q
sin
qt
x0
cos qt)
t
h(t ) f ( )d
0
杜汉梅耳积分公式的等价形式：
定义： f (t) 0 当 t 0
Hale Waihona Puke h(t ) 0 当 t 则杜汉梅耳积分公式： 进行变量代换： t
则杜汉梅耳积分公式：
x(t) h(t ) f ( )d 则有： t x(t) f (t )h( )d
单自由度系统非定常响应
为求单自由度亚临界阻尼线性系统在零初始条件下对任意力 f(t)的响应，可将单自由度系统脉冲响应函数代入以上卷积公式
得到
x(t) 1 t f ( )ep(t ) sin q(t )d
mq 0
以上积分称为杜汉梅耳（Duhamel）积分。它是单自由度 线性阻尼系统在零初始条件下对应于任意激励力f(t)的非定常 响应。
1
t
b sin
p(t )d
p0
利用杜汉梅耳积分有
b p2
[
cos p(t
) |t0
t
0
cos p(t
)d ]
绝对加速度为
b p2
(t
1 p
s in
pt)
x y u bt(1 1 sin pt)
pt
单自由度系统非定常响应
对于非零初始条件下的非定常响应问题，系统的总响应 由上述卷积积分加上初始条件所引起的自由振动响应：
3
0.15
2
0.2
0.3
1
0.5m
T0
1X.0 Y
2.F0 T F0
4
1
0.7
2 0频0.率15比 γ
3
3
0阻.25尼0器.375悬 空 安装 结 构
2
0.5
(m k2 )&x& k1x& kx kxg 1
1.0
0
12
2
3
反馈控制隔振系统具有以下特点：
频率比 γ
1 能提供与绝对速度成正比的阻尼力，实现悬空阻尼器的效果；
其中
p k q p 1 2
m
c 1
2mp
代入初始条件，可以得到系统的单位脉冲响应函数
h(t )
1
mq
e pt
sin
qt
0
t 0 t0
h(t)是系统在零初始条件下，对 t=0时刻作用的单位冲量 所产生的响应。
单自由度系统非定常响应
类似的当 t 时刻作用一单位冲量，系统的响应将是
x(t)
3.7 隔振原理
运动隔振：防止外界振动对设备的影响，如对精密设备、测 振仪器等（也称为隔幅）。
力隔振：减少振动系统对周围环境的影响，（也称为隔力）。
一、运动隔振：
如图隔振系统简化模型： mx k(x y) c(x y)
整理后得到： mx cx kx ky cy
利用复数解法：
m
o
x(t)
k
当于系统产生一个初速度：
x(0 )
1 m
这一结论就是物理学中的冲量定理。
求单自由度系统脉冲响应函数的问题就转化为求单自由度
系统在初始条件：
x(0 ) 0,
作用下的自由振动响应
x(0
)
1 m
直接应用亚临界阻尼系统的自由振动响应公式
单自由度系统非定常响应
x
e pt
(
x0
px0
q
sin
qt
x0
cos qt)
0
0
显然上式，则
t
0 (t ) f (t)dt f ( )
0 t
（2） (t ) 可将集中量化为分布量
一般我们把作用时间很短、冲量有限的力称为冲击力。
假设有一冲击力由 t 时刻开始作用，至 t 停止，产生
的冲量为一常数 I ，则该冲击力的平均值为
f I / I (t )
4.1 脉冲响应法与时域分析
脉冲响应是指系统在单位冲量作用下的瞬态响应。 单位冲量用 广义函数来表示：
(t
)
0
(t ) (t )
，且
(t )dt (t )dt 1
为了更好理解 函数，现考察函数 (t ) ，该函数的表达式为
易知：
(t
)
1
/
( t )
0 (其他)
k
c
o
力的隔振
单自由度系统的定常强迫振动
则简谐力幅值可表示为： F0 kX (1 2 )2 (2 )2
而传到基础上的力有两个 弹簧力： Fk kx kX cos(t ) 阻尼力： Fc cx cX sin(t ) 两个力有90°的相位差，其合力的力幅为：
FT X k 2 c22 kX 1 (2 )2
X
k 2 c2 2
0
Y (k m 2 )2 c2 2
12
2
3
1 (2 )2
(1 2 )2 (2 )2
X
频率比 γ
称为位移传递率，记为T
Y
由传递率随频率比变化曲线可见，当γ> 2 ，T<1。
且当γ→∞时，T→0 ，这时基础振动将传递不到仪器上去。
因此，运动隔振要求隔振装置所用弹簧刚度k小。 km
c
y Y cost
y Ye j t x Xe je j t
基础运动的隔振
单自由度系统的定常强迫振动
(m2 k jc)Xe j (k jc)Y
可得： Xe j
k jc
Y (m 2 k) jc
T X FT Y F0
4 3
0 0.15
0.25 0.375
两端求模：
2
0.5
1
1.0