矩阵的对角化

第四章矩阵的对角化
对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.
在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.
在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：
第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.
第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.
矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.
§4.1 矩阵的特征值和特征向量
一、特征值和特征向量的概念
在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.
例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系
，
令，，，
则上述关系的矩阵形式为：
若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为
，
即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.
定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数和维非零列向量，使得
；
则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值的特征向量.
由特征值、特征向量的定义可得
（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. （2）若，为的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量.
（3）若，为的互异特征值，，分别为的属于，的特征向量，则.
证若，则，即，故.由于，所以，矛盾.因此.
例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量.
解取维向量，，，则
，故是的一个特征值，
是属于特征值的一个特征向量.
将（4.1.1）写成下面形式
.
根据定义，特征向量就是齐次线性方程组
. （4.1.2）
的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的特征值满足方程
.
为叙述方便，引入下面的概念.
定义4. 1. 2 .，称
为矩阵的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.
二、特征值与特征向量的计算
求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：
（1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，. 对每个特征值，，，，求解齐次线性方程组.设它的一个基础解系为，，，，则的属于的全部特征向量为
其中，，，为不全为零的任意常数.
限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.
例 4.1.3 求矩阵的特征值与特征向量
解矩阵的特征多项式
=
由，得的特征值为，，.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，所以对应于，的全部特征向量为（）.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）..
例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量
解矩阵的特征多项式为
=,
由，得的特征值为，.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，，，，所以对应于的全部特征向量为（，不全为零）.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）.
例4.1.5 求矩阵的特征值与特征向量
解矩阵的特征多项式为
=,
由，得的特征值为，.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，所以对应于的全部特征向量为（）. 三、特征值与特征向量的性质
定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.
证由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特征值.
定理4.1.2 设，，，，为方阵的个特征值，则有
（1）
（2）
证（1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有
（4.1.3）令，得，即
（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含的项来自的主对角线元乘积项，其含的系数为
，因此.
我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为（），即
（ ）= ∑=n k 1
推论4.1.1 阶矩阵 可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.
定理4.1.3 若 为 的特征值， 是对应的特征向量，则
（1） 为 的特征值（ 为常数）；
（2） 为 的特征值（ 为正整数）；
（3） 若 为 的多项式，则 为 的特征值；
（4） 若 可逆，则 为 的特征值， 为 的特征值.
证 由题意，对于 ，有 .
（1） 因为 ，故 为 的特征值.
（2） 由 ，得 ，假设 ， 于是 ，由数学归纳法知结论成立.
（3） 设 ，由（2）可得
(4) 由于 可逆，故 ，从而 ，故
， ，即 为 的特征值， 为 的特征值.
下面给出方阵 的特征向量的性质
定理4.1.4 设 ， ， ， 为 阶矩阵 的 个互异特征值， ， ， ， 分别是 的属于 ， ， ， 的特征向量，则 ， ， ， 线性无关.
证 设有常数 ， ， ， ，使得
（4.1.4） 上式两边左乘 ，并注意到 ， ， ， ，有
.
按这种方法再依次用 ， ， 左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，得
，
，
，
上式的矩阵形式为
，，，（，，，），
上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得
，，，（，，，）
于是，，，，由于特征向量，，，非零，因此只有，，，上式才能成立，故，，，为线性无关.
定理4.1.5设，，，为阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是的属于，，，的线性无关的特征向量，则向量组
，，，，，，，，，，，线性无关.
证明略.
关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有
定理4.1.6 设是阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数不超过个.
显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.
根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.
例4.1.6设三阶矩阵的特征值为，，求
（1）的特征值.
（2）的特征值.
（3）的特征值及.
解（1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，，.
（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.
（3）因为，所以）.
设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.由
此得的特征值为，，，.
例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值
证，则
.
另一方面，由于及，则
因此，即为的特征值.
§4.2 相似矩阵
在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.
一、相似矩阵
定义4.2.1 设，为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得
，
则称矩阵和相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵. 例 4.2.1 设，，，不难验证可逆，且.由于
,
因此.
两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；
（2）对称性：若，则；
（3）传递性：若，，则；
此外，相似矩阵之间有许多共同的性质
定理4.2.1 若阶矩阵与相似，则
（1）；
（2）；
（3），有相同的特征值；
（4）.
证由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而
（1）；
（2）；
（3）由于，
即，有相同的特征多项式，于是，有相同的特征值.
（4）由（3）即得.
推论4.2.1 若阶矩阵与对角矩阵
=
相似，则，，，是的个特征值.
例4.2.2 若，求，.
解对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再根据相似矩阵有相同的迹，可得
，
，
解此方程组得，.
两个相似的矩阵还具有下面的性质
（1）若，则，（为正整数）；
（2）若，为多项式，则；
（3）若，且，均可逆，则；
证只证，故存在阶矩阵，使得，从而
个
即.
二、矩阵的对角化
定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.
相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我们就来讨论这个问题.
定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无关的特征向量.
证必要性.设存在可逆矩阵，使得
==.
设，，，，由=，得=，或
，，，，，，.
即，，，，，，
因此，，，，，由于可逆，因此，从而，，，都是非零向量，故，，，分别是的属于特征值，，，的特征向量，再由可逆知，，，线性无关.
充分性.设，，，分别是的属于特征值，，，的个线性无关的特征向量，则有
，，，
取，，，,因为，，，线性无关，所以可逆，于是有
=.，
即
==
因此矩阵相似于对角矩阵.
因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.
推论4.2.2若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.
推论4.2.3阶矩阵可对角化的充分必有条件是的每个重特征值都有个线性无关的特征向量.即.
由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.
根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：
（1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为
，，，；
（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为
，，，，，，；
（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，，，，则可对
角化，否则不可对角化；
（4）当可对角化时，令
，，，，，，，，，，，，
）
个个个
且可逆，且有
=
例4.2.3判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.
(1)；（2）
解（1）矩阵的特征多项式为
=
由，得的特征值为，，.由推论4.2.2知，矩阵可对角化.下面求可逆矩阵.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，即为即为的属于特征值的一个特征向量.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.
对于，解齐次线性方程组，即解方程组
，
得基础解系，，，即为的属于特征值的一个特征向量.
取，，,则有
==
（2）矩阵的特征多项式为
=
由，得的特征值为，.
当，即为的二重特征值时，
.
故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且对应的线性无关的特征向量为，，，，，.
对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的一个特征向量，，.取
取，，,
则有
==
对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，我们有
.
例4.2.4 设，求为何值时，
（1）可对角化，并求相似变换矩阵；
（2）为可逆矩阵.
解（1）矩阵的特征多项式为
=，
故的特征值为，.
对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，，，，.
对于，解齐次线性方程组，得的属于特征值的特征向量为，，.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵均可对角化.令
，，，
则有
==.
（）的特征值分别为，，，故当且时，为可逆矩阵.
§4.3 实对称矩阵的对角化
我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.
定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.
证设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即
，.
用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则
，
于是有
，
及
，
以上两式相减得
，
以为所以.因而，即为实数.
由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.
定理4.3.2实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,
证设，为实对称矩阵的两个不同的特征值，，分别为它们对应的特征向量，则，，，，从而，因是对称矩阵，又有，于是
，
因，故，即与正交.
定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特征值恰好对应个线性无关的特征向量.
证明略.
二、实对称矩阵的对角化
由定理4.3.2和定理4.3.3可得
定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得
=
其中，，，为的全部特征值.
（1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为，，，；
（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对应的线性无关的特征向量，设为
，，，；
（3）用施密特正交化方法，将特征向量，，，，，，正交
，，，单位化，得到一个标准正交向量组
，，，，，，；
（4）令
，，，，，，，，，，，
（，，，，，，，，，，，，）
个个个
且为正交矩阵，且有
=
例4.3.1 设实对称矩阵，
求正交矩阵，使得=为对角矩阵.
解矩阵的特征多项式为
=，
因此，矩阵的特征值为，，.
对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；
对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，；
对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，.
将，，单位化，可得
，，，，，，
，，
令
，，,
且为正交矩阵，且有
=
例4.3.2 设实对称矩阵
，
求正交矩阵，使得=为对角矩阵.
解矩阵的特征多项式为
=，
因此，矩阵的特征值为，.
对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，，，；先将向量，正交化，令
，
，
，
，
再单位化，得
，，
对于，解齐次线性方程组，得基础解系，，，将其单位化，得
.
令
，，,
且为正交矩阵，且有
=.
例 4.3.3 设三阶实对称矩阵的特征值为，，且属于的特征矩阵为，，，求矩阵.
解设的属于特征值的特征向量为，，，则与正交，即
，
解此齐次线性方程组，得基础解系
，，，，，，
易见，，正交.将，，单位化，可得
，，
令，，,则为正交矩阵，且有
=，
从而
=
.
习题四 （A ）
一、填空题
1. 为 阶矩阵， 有非零解，则 必有一个特征值__________.
2.若 阶可逆方阵 的每行元之和 ，则 的一个特征值为__________.
3.设 为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为
，
，
，则行列式 __________.
4.设 是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵
有一个特征值为__________.
5.若 为四阶实对称矩阵， ，且2是 的三重特征值，则 的相似对角矩阵为__________.
6. 设 为 阶矩阵， 有 个互异特征值 ， ， ， ，则有 __________ ， ， ， .
7. 设 是三阶实对称矩阵， 的特征值是 ， ，则有 __________. 8.若四阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为
，
，
，
，则
9.已知矩阵
只有一个线性无关的特征向量，则
10.设 ， ，
，矩阵 ， 为自然数，则行列式 11.已知三阶实对称矩阵 的一个特征值为 ，对应的特征向量 ， ，
，且 的主对角线上的元全为零，则 二、单选题
1.设三阶矩阵
，则 的特征值是（）
（A ）1,0,1 （B ）1,1,2 （C ）-1,1,2 （D ）1,-1,1
2.若可对角化的 阶矩阵 只有一个特征值为零，则 =（） （A ） （B ） （C ）1 （D ）0
3.设 ， ， ， 是矩阵 对应于特征值 的特征向量，当线性组合
∑
=n
i 1
满足（）
时，
∑
=n
i 1
也是矩阵 对应于特征值 的特征向量.
（A）其中不全为零
（B）其中全不为零
（C）是非零向量
（D）是任一向量
4.当满足下列（）条件时，矩阵与相似.
（A）
（B）
（C）与有相同的特征多项式.
（D）阶矩阵与有相同的特征值且个特征值不相同.
5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）（A）
（B），
（C），，
（D），，不同时为零
6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.
（A）的特征值只有零
（B）必不能对角化
（C）必可逆
（D）只有一个线性无关的特征向量
7.设，是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，，则，
线性无关的充要条件是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.若，且，，则以下结论错误的是（）.
（A）
（B）
（C）为不可逆矩阵
（D）必有特征值
9.设，有特征值，（二重），且有三个线性无关的特
征向量，则.
（A）4
（B）
（C）
（D）
10.设，为阶矩阵，且与相似，则（）
（A）
（B）与均相似于同一个对角矩阵.
（C）与有相同的特征值与特征向量
（D）对任意常数，与相似.
三、综合题
1.求下列矩阵的特征值与特征向量：
（1）；（2）；（3）；（4）.
2.判断下列矩阵与是否相似：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
3.求下列矩阵的次幂:
（1）；（2）.
4.求正交矩阵，使得为对角矩阵.
(1)；（2）.
5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：
的非零列向量是的属于的特征向量.
6.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：
，
，，，
，
其中，分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而，分别表示基年时兔子和狐狸的数量，记，，，，
（1）写出该模型的矩阵形式；
（2）如果,求.
（3）求
7.设，相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵，使得.
8.设向量，，，，，，，，且，记
，求的所有特征值及特征向量.
9.设，为三维单位列向量，且，令，证明与相似.
10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是
，，，，，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵.
11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.
12.若存在正交矩阵，使矩阵，同时相似于对角矩阵，则必有.
13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.
14.设，求实对称矩阵，使.
15.设矩阵，求.
16.已知三阶矩阵与相似，，是的两个特征值，，计算
,其中是的伴随矩阵.
（B）
1.设矩阵与相似，与相似，试证：与相似.
2.已知与对角矩阵相似，求.
3.设是阶实幂等矩阵（即），且，.
（1）设，，试证.
（2）试证：；
（3）求
4.设，为阶矩阵，，证明
（1）是与的相同特征值；
（2）与的基础解系线性相关.
5.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：
（即为数量矩阵）
6.已知三阶非零矩阵，满足，，，证明：
（1）0和1必是与的特征值；
（2）若是关于的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特征向量，证明.
8.设，均为阶非零矩阵，且满足，，证明：
（1）是，的特征值.
（2）若，，分别是，对应于的特征向量，则，线性无关.
答案：
一、填空题
1.0
2.
3.-6
4.
5..
6.
7.
8.14 763
9.
10.
11.
二、单选题
1-5 CBCDB
6-10 DDADD
三、综合题
1.（1），，的属于的特征向量，；的属于的特征向量，.
（2），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，
（3），；的属于的特征向量为，，不全为零；的属于的特征向量为，.
（4）（三重）；的属于的特征向量为，，不全为零；
2.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.
3.(1)；
（2）当为偶数时，；当为奇数时，
.。