指数与指数函数复习课

(0,1) (1)过定点_________
性质 y>1 (2)当x>0时,_______; 0<y<1 (2)当x>0时,_____; y>1 0<y<1 x<0时,_______ x<0时,_____ (3)在(-∞，+∞) 增函数 上是_______ (3)在(-∞，+∞)上 减函数 是________
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.
三、
指数函数的图象及应用 1 | x 1| 【例3】已知函数 y ( ) . 3 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. 思维启迪 化去绝对值符号 作图象
将函数写成分段函数的形式 写出单调区间
C.(0，1]∪[2，4] D.(-∞，0]∪[1，2]
a (a b) 3.定义运算：a*b= , 如1*2=1,则函数f(x) b (a b) =2x *2-x的值域为 （ ）
A.R B.(0,+∞)
1 , 则该函数在(-∞，+∞)上（ x 2 1 A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
题型分类 深度剖析
练ห้องสมุดไป่ตู้：
1、下列等式
3
6a 2a; 2 ( 2) ;3 2 ( 3) 4 2
3
6
3
2
4
4
中一定成立的有 A.0个 B.1个
2 3
（A ） C.2个 D.3个
2、计算下列各式
27 1 7 (1)(0.027) ( ) 3 ( 2 ) 0.5 ; 125 9 1 ( 2) ( 3 1) 0 9 4 5 ; 52 (3)(2a b )(6a b ) ( 3a b ); ( 4) 4a 8ab b
（2）根式的性质
①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的
n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____ a 表示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____ a 表示,
n n
负的n次方根用符号________ a 表示.正负两个n次方根
5 1 函数f(x)=ax,若实数 , 2
7.若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在x∈[-1,1]上的
最大值为14，求a的值.
cx 1 (0 x c) f ( x ) x2 8.已知函数 c 2 1 (c x 1) 2 1. 满足 f (c 2 ) 9 . f ( x) 8 8
（1）求常数c的值； （2）解不等式
1 ). a
3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中， 要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程 （组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.
失误与防范
1.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的图象和性质与a的取值 有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究.
2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)的
5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有 （ C ）
A.a=1或2 C.a=2 6、比较大小： B.a=1 D.a>0且a≠1
1.3 2 0..3 0.5
(1)2.5 ,2.5 (2)0.8
0.6 3.1
,0.8
0.5 0.9
(3)1.8 ,0.9 (4)0.9 ,0.5
一、指数函数定义域与值域
知能迁移3
若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0,且a≠ 1 (0, ) 1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______. 2 解析 数形结合.
当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 1 当0<a<1时，如图②,由图象知0<2a<1, 0 a . 2
思想方法
感悟提高
∈N*,且n>1).

m n
=
=
1
n
am
(a>0,m、n
⑥0的正分数指数幂等于______ ，0的负分数指数幂 0
_____________. 没有意义 （2）有理数指数幂的性质 ①aras= ______( ar+s a>0,r、s∈Q); ②(ar)s= ______( ars a>0,r、s∈Q);
求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性. 思维启迪 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;
指数函数的性质
第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.
解
(1)方法一
依题意，函数f（x）的定义域为R， 2分
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
a 2 x a 2 a 2x a 2 , x x 2 1 2 1
2 1 2 1
解法二 : 2x 1 y x , 2 x ( y 1) 1 y 2 1
2x 1 例1：求函数y x (a 0且a 1)的值域. 2 1 x
利用函数的有界性—逆求
1 y 1
所求函数的值域为 (1,1)
例2、设a>0,且a≠1,如果函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]的最 大值为14，求a的值。 [提示] 配方得：y a 2 x 2a x 1 a x 1 2 2
指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后“新元”的范围.
作业：
1.函数f(x)=ax-b的图象如右图，
其中a、b为常数，则下列结 论正确的是 （ ）
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
值范围是 A.[2，4]
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
2.已知函数y=4x-3×2x+3,当其值域为[1,7]时,x的取 （ B.(-∞，0] ）
5.若函数 f ( x )
C.(0，1]
D.[1，+∞)
）
C.单调递增无最大值
D.单调递增有最大值
4.设函数f(x)=a-|x| (a>0且a≠1),若f(2)=4，则f(-2)
与f(1)的大小关系是__________. 5.已知 a
m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为______. 6、若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在x∈[-1,1]上的 最大值为14，求a的值.
∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1. 方法二 ∵f(x)是R上的奇函数， 6分
2a 2 0, ∴a=1. ∴f(0)=0，即 2 x 2 1 （2）由(1)知， f ( x) ,
设x1<x2且x1,x2∈R，
6分
2x 1
8分
2 x2 1 2 x1 1 则f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 2 1 2 1 2 2 (1 x2 ) (1 x1 ) 2 1 2 1 2(2 x2 2 x1 ) x2 0, x1 (2 1)(2 1)
方法与技巧
1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0<a<1， x→+∞时，y→0；当a>1，x→-∞时,y→0;当a>1时， a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快； 当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速
度越快.
2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、 (0,1)、(-1,
①正整数指数幂： a n a a（ n N*）； a ∈ a
1 （a≠0）； ②零指数幂：a0=____
1 ③负整数指数幂：a-p=_____ a p （a≠0，p∈N*）；
④正分数指数幂： a
且n>1）；
m n
=_______ a m （a>0，m、n∈N*，
1 a
m n
n
⑤负分数指数幂： a
n
可以合写为________ a （ a＞ 0 ） .
n
③ ( a ) n =______. a
n
a ④当n为奇数时， a n =____;
n
a (a 0) n n 当n为偶数时， a | a | =_______________. a (a 0)
⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
写出x的取值
解
（1）由已知可得
1 | x 1| y( ) 3
1 x 1 ( ) 3 3x 1
( x 1) , ( x 1)
其图象由两部分组成：
向左平移 1 x 一部分是：y ( ) ( x 0) 1个单位 3 1 x 1 y ( ) ( x 1); 3
2 3
3
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
1 3
4 3 2 3
(2
3
2 ab b
a 1) b
3
b.
3、判断下列函数是否是指数函数
1 x 1 x 1 (1) y ( ) (2) y ( ) (3) y 2 3 x (4) y (3) x 2 2 1 1 2x (5) y ( ) 1(6) y x 2 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
③(ab)r= _______( arbr a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y= ax
图象
a>1
0<a<1
定义域 值域
R ___ (0,+∞) ___________
(0,1) (1)过定点_________
性质 y>1 (2)当x>0时,_______; 0<y<1 (2)当x>0时,_____; y>1 0<y<1 x<0时,_______ x<0时,_____ (3)在(-∞，+∞) 增函数 上是_______ (3)在(-∞，+∞)上 减函数 是________
§2.4
指数与指数函数
自主学习
基础知识
要点梳理
1.根式 （1）根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这 个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做 a的n次方根 其中n＞1且n∈N*.式子 ___________,
n
a 叫做根式 _____,
根指数 ，a叫做___________. 被开方数 这里n叫做_________
4、右图是指数函数（1）y=ax， （2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx 的图象,则a，b，c，d与1的大
小关系是
A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c
答案 B
(
)
C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
3.指数函数的图象与性质
y= ax
图象
a>1
0<a<1
定义域 值域
R ___ (0,+∞) ___________
1 x 1、求函数 f ( x) ( ) 定义域与值域 2
1
2 1 2 分离参数—化归 解法一 :由y x 1 x 2 1 2 1 1 x x 又 2 0, 2 1 1, 0 x 1 2 1 2 2 0 x 2, 即 2 x 0 y (1,1)


1 当a 1时, a x [ , a],由y max (a 1) 2 2 14得a 3; a 1 1 1 x 2 当0 a 1时, a [a, ],由y max ( 1) 2 14得a . a a 3
二、
a 2x a 2 【例3】(12分)设函数f(x)= 为奇函数. x 2 1
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.
10分 12分
探究提高
(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函
数,则有f(0)=0,即可求得a=1. （2）由x1<x2推得2x1 2 x2 , 实质上应用了函数 f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.
x e a 是定义在R上的函数. 知能迁移2 设 f ( x) x a e