平面与平面垂直的判定与性质26

平面与平面垂直的判定与性质

教学重、难点：

1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。

2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。

教学内容： 要点一、二面角

1．二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

2 二面角的求法与画法

棱为AB 、面分别为α、β的二面角记作二面角AB αβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P 、Q ，将这个二面角记作二面角P – AB – Q .如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P – l – Q .

3．计算二面角大小的方法

（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。

作二面角的平面角常用下列三种方法：

① 用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。

② 用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A ，由A 向另一个平面作垂线垂足为B ，再由B 向棱作垂线交棱于C ，连结AC ，则∠ACB 就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。

③ 用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。

（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角

为θ，则。

3 二面角的平面角

如图（1）在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.

（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.

（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]

（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.

[例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．

分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．

解∵ PC⊥平面ABC

∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA 于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．

设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，

[例1]如图过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB 和平面PCD所成二面角的大小．

分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．

解 (1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC

∴BD⊥PC(三垂线定理)

在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B －PC－D的平面角．

在Rt△PAB中，由PA＝AB=a

(2)过P作PQ ∥AB，则PQ平面PAB，

∵AB∥CD ∴PQ∥CD，PQ平面PCD

∴平面PAB∩平面PCD于PQ

∵PA⊥AB，AB∥PQ ∴PA⊥PQ

∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD

∴CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)

∵PQ∥CD ∴PD⊥PQ

所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．

∵PA＝AB=AD，∴∠APD=45°

即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.

评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角

要点二、平面与平面垂直的判定

1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.

2．两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

[例3]过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°。

求证：平面ABC⊥平面BSC。

证法一：作AD⊥平面BSC，D为垂足。

∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，

∴D为△BSC的外心。又∠BSC=90°，

∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内。

∴平面ABC⊥平面BSC。

证法二：取BC的中点D，连接AD、SD，易证AD⊥BC，又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，

∴BD=SD ∴AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，

∴AD⊥平面BSC。又AD 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC。

评注本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”。方法一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内；方法二则是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直。

[例3]已知：如图，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A´BE的位置，使A´C=A´D。

（1）求证：平面A´BE⊥平面BCDE；

（2）求A´C和平面BCD所成角的大小。

要点三. 两个平面垂直的性质

两个平面互相垂直时有下面两个性质：

1 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。

2 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用

例3 如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.

证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，

P A⊥α，BC在α内，

所以P A⊥BC.

因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，

所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.

又因为P A与AC是△P AC所在平面内的两条直线.

所以BC⊥平面P AC.

又因为BC在平面PBC内，

所以，平面P AC⊥平面PBC.

1. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，平面ABC 1D 1与正方体的其他各个面所成的二面角的大小分别为多少？

A A 1B

C

D B 1

D 1C 1

（00045,45,90）

2．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？

答：面ABC ⊥面BCD

面ABD ⊥面BCD

面ACD ⊥面A

1．下列命题中正确的是 。

①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；

②如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；

③如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直；

④两直线a,b 平行，由a ⊥α可得出b ⊥α。

2．如右图，PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，求证：BC PC ⊥。

3.如右图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，

AC BC =，D 是AB 的中点。求证：CD ⊥平面11ABB A 。

4.已知正四面体ABCD 中，各棱长均为2，E 为AD 的中点。（1）求AD 与平面BCD 所成的角的正弦值； （2）求EC 与平面BCD 所成的角的正弦值大小。（提示：作BC 中点F ，找到底面的重心O ） A C B D A 1 C 1 B 1

N M

P D C B A

5．如右图，PA ⊥正方形所在平面ABCD 且PA AB =，,M N 分别是,AB PC 的中点。

（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求MN 与平面ABCD 所成角的大小。

（3）求证：MN CD ⊥； （4）求证：MN ⊥平面PCD 。