走进数学思维·郑毓信

数学与现实
第一，数学抽象源于现实生活，包 括具体的事物与现象，以及人们的 运作； 第二，数学抽象又高于现实，并是 一种建构的活动，即包含了与现实 世界在一定程度上的分离。
分析与思考
• “数学，对学生来说，就是利用自己的 生活经验对数学现象的一种‘解 读’。”（转引自衡锋，“‘错题’ 演绎的精彩”，《小学数学教学》， 2007年第十期） • 对照：学习主要是一个“顺应”的过 程，也即如何对主体已有的认知框架 作出必要的调整或重建。
可能的结论
（1）充分发挥数学的文化价值； （2）帮助学生学会数学地思维，乃 至“通过数学学会思维”。
进入主题：走进数学思维！
• 一个持续的热点； • 现状与问题： 第一，普遍存在的一个思想障碍：由 于小学数学的内容较为简单，因此就 不可能很好体现数学思维； 第二，在现实中我们并可经常看到 “简单移植”、“随意拔高”等作法。
• 第四，课程组织过分强调情景学习，而忽 视了知识的内在联系。例如，在按照这种 思想所编制的一些中学数学教材中，传统 的关于几何、代数和三角的区分被取消了， 取而代之则是所谓的‘整合性数学’，也 即主要围绕实际生活来组织有关的数学内 容的学习。然而，尽管后者具有综合性的 特点，并较好地体现了数学的实际意义， 但却未能使学生较好地掌握相应的数学知 识。
[例4] 美国课程改革的相关教训
第一，对基本知识和技能的忽视。 第二，不恰当的教学形式，即如对于合作学 习的过分强调等，但却未能很好地发挥教 师应有的作用。特别是，由于“建构主义” 的盛行，人们认为学生只能掌握（或理解） 其自身或通过同伴间合作所得以“建构” 的知识，而这事实上就从根本上消取了教 师在教学中所应发挥的主导作用。
数学最基本的特性：抽象性
• “甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察 觉到数学的这些特征：第一是它的抽象 性，……。抽象性在简单的计算中就已经 表现出来。我们运用抽象的数字，却并不 打算每次都把它们同具体的对象联系起来。 我们在学校中学的是抽象的乘法表——总 是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上 苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的 价钱等等。”（亚历山大洛夫）
[例2] 另一篇受欢迎的文章
• 邱学华等：“2007年小学数学教 育的回顾与展望”（《小学教学》， 2008年第三期） • 相关的大事； • 热点问题； • 重要著作与论文。 • 展望。
加强学习的意义（2）
• 增强判断能力，防止对于时髦潮流 的盲目追随。
[例3] 一段心得体会
• “最大的读书心得是什么？许多事 情，过去有过；许多问题，前人想 过，许多办法，曾经用过；许多错 误，屡屡犯过。……懂得先前的事 情，起码不至于轻信，不至于盲 从。” （陈四益，《文艺报》， 2005，9，17）
Βιβλιοθήκη Baidu 结论之二
• 帮助学生学会数学抽象的关键：应当 超越问题的现实情境过渡到抽象的数 学模式。（ “去情境化”） • 相关的论述：数学教学必定包括“去 情景化、去个人化和去时间化”。 • 问题：如何才能帮助学生学会“去情 境化”？
[例三] “找规律” （黄爱华、胡爱民）
• “师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里， 我们把第一个音唱做‘咚’，第二个音唱 做‘哒’，第三个音唱做‘啦’，所以这 个乐句就变成│咚 哒啦│咚 哒啦│咚 哒啦 │…… • “请想一想：第16个音符是什么？为了能让 别人看得一清二白，请你在草稿本上用一 种合适的方式表示出来，可以写一写、画 一画、算一算。”
启示（2）：关于教师培训工作
• 培训形式的必要转变。 • 应当积极引导教师去读书、读好书。
加强学习的意义（1）
• 了解发展动态，明确教学研究的方 向。
[例1] 一段评论
• “新课程实施以来，广大一线教师在实践中 不断遇到新问题，如‘算法多样化’、 ‘创设情境’、‘小组合作’等，随着课 程改革的深入，老师们对这些问题的认识 逐步趋于清晰并付诸实践，而近两年来， ‘解决问题’的教学成了教师们最为关注 的话题……”（《小学数学教育》编辑部 ， 2008年第七期）
一个值得思考的问题
• 一篇读书笔记为什么会引起人们如 此的兴趣？ • 这一事件又给了我们什么样的启示？
[按]
• ……我决定见识见识这位隐藏着的智 者……经过两轮挑战和对话，形成了 如下的文字，也拿来与更多的读者分 享——数学教师该读什么书，数学教 育的精髓是什么？数学理论该如何用 实践来解读——这一系列困扰每一个 教师的问题的答案。
• 第五，未能给予数学推理足够的重视。 尽管《课程标准》明确地指出应当培养 学生数学推理的能力，但是，就实践而 言，所唯一得到强调的只是实验与猜测 在数学发现中的重要作用，而逻辑与证 明则完全被抛弃了。
• 第六，广而浅薄，这即是指，由于未能很 好地区分什么是最重要的和不那么重要的， 现行的数学教育表现出了‘广而浅’的弊 病。特殊地，‘大众数学’看来忽视了不 同的学生有着不同的需要，而一种更应注 意避免的弊病则是将为一切人的数学变成 了‘最小公分母’式的教育。”（“千年 之交的美国数学教育”，载郑毓信，《数 学教育的现代发展》，江苏教育出版社， 1999年）
• 进一步的问题：数学中究竟又为什 么要进行分类？
[例四 “100以内加减法练习” 例四] 例四
• • • • • • 34+42 =76， 37+17 =54， 69 -15 =54， 59 +17=76， 91 -15 =76， 83 - 29=54。
• “师：刚才全体小朋友认认真真地 做好了六道100以内的加减计算题， 并且做得很对。现在我们再来仔细 观察这六道题，如果我们把它们分 成两类，你有什么好办法？为什么 可以这样分？”
• 方法一：按照得数相同来分； • 方法二：按加法和减法来分； • 方法三：按不进位加法和不退位减 法、以及进位加法和退位减法来分；
第三，数学并不只是一种有趣的活动，仅 仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学 习一定能够获得成功，因为，数学上的成 功还需要艰苦的工作。事实是，在实践中 我们经常可以看到这样的现象，即为了吸 引学生的兴趣，教师或教材把注意力和大 量的时间放到了相应的活动或情景之上， 但却没有能集中于其中的数学内容，这当 然是一种本末倒置。
• • • •
“为什么是除呢？” “老师，我又错了。” “你说，对的该是怎样呢？” “应该把它们加起来。”
启而不发？
• “我们换一个题目，比如你每天吃 两个大饼，5天吃几个大饼？” • “老师，我早上不吃大饼的。” • “那你吃什么？” • “我经常吃粽子。” • “好，那你每天吃两个粽子，5天 吃几个粽子？”
• 课改以来的一个新增内容。 • 相应的思考：究竟什么是数学中的 分类？这与一般的分类又有什么不 同（显然，这也直接关系到了究竟 什么是数学课所应当具有的“数学 味”）？
[例四] 几何模块的分类
• 常见的组织方式。
分析与思考
• 问题：我们是否应当同样地去肯定 学生所提出的各种分类方法，包括 按形状、颜色和材料等进行分类？ • 有益的对照：自然数的认识。
加强学习的意义（3）
• 从长远的角度看，能够不断提高自 己的理论素养，开拓视野，增强思 维的深刻性。
插入：一点建议
• 无论是专业的理论研究工作者，或是 在职教师或未来的教师，都应经常自 问：什么是自己专业领域内最为重要 的一些著作或论文？ • 教育领域内的各个专家、包括各级教 研员以及优秀教师都能为一线教师认 真推荐本专业的几本好书或好的文章。
• 方法一：用图形表示 │□ ○△│□ ○△│□ ○△│□ ○△ │□ ○△│□ • 方法二：用数字表示 │1 2 3│ 1 2 3 │ 1 2 3│1 2 3 │1 2 3│ 1
结论之三
• 模式化的重要手段之一：引入适当 的图形或符号，从而实现与具体情 境在一定程度上的分离。
二、数学中的分类
[例一] 这个学生缺的究竟是什么？
（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”）
• 任课教师要求学生求解这样一个问 题：“52型拖拉机，一天耕地150 亩，问12天耕地多少亩？” • 一位学生是这样解题的： 52×150×12=……
接下来的对话
• “告诉我，你为什么这么列式？” • “老师，我错了。” • “好的，告诉我，你认为正确的该怎 么列式？” • “除。” • “怎么除？” • “大的除以小的。”
当务之急
• 应当针对小学数学的实际情况、包括 具体的教学内容与学生的认知水平更 为深入去开展工作，特别是， 第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容 （包括知识与技能）的教学与数学思 维的教学之间的关系。
一、从数学抽象谈起 • 父：“如果你有一个橘子，我 再给你两个，你数数看一共有 几个橘子？” • 子：“不知道！在学校里，我 们都是用苹果数数的，从而不 用橘子。（《译林•文摘版》）
事后的思考
• 学生通过这一教学活动究竟学到了 什么，特别是，这些学生能否被认 为已经掌握了相应的数学知识？
更多的问题
• 某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带， 问共有多少种不同的搭配方法？ • 有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士 兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？ • 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四 条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方 法？ • 有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士 兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？
“老师，我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没 学）粽子，5天吃几个粽子？” • “两个半。” • “怎么算出来的？” • “两天一个，5天两个半。”……
• • • •
结论之一
• 学会数学思维的首要涵义：学会数 学抽象（模式化）。 • 数学：模式的科学。这就是指，数 学所反映的不只是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。
我的推荐：一个值得关注的领域 我的推荐：一个值得关注的领域— —数学教育哲学 数学教育哲学
（1）数学教育哲学的兴起 • 必要的思考：这是否仅仅是一种时髦， 还是有其一定的必然性，合理性？
（2）数学教育哲学的主要内容
• 数学观 • 数学教育观 • 数学学习观与数学教学观
（3）回到主题
• 什么是数学教育的价值？特别是，数 学教育对于提升学生的素养究竟又能 起到怎样的作用？ • 基本立场：我们既应充分体现数学教 育的特殊性，同时也应高度重视教育 的整体性质。
另一段对话
• “这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解 读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处 的实例来解读理论的人，比只会给出抽象 理论的人更伟大，因为这不但表明消化理 论的能力，也代表了思考的透彻与思想的 成熟。您让我们看到了浓缩的理论后面丰 富的实践风景，同时也引发了新的思维风 暴。”
启示（1）：教学研究的一条可能途径 • 用恰到好处的实例来解读理论。
走进数学思维
郑毓信 2008，12于广东
引入：从一篇文章谈开去
• “关于数学教育若干重要问题的探讨— —对话特级教师王凌的读书笔记” （王凌、余慧娟，《人民教育》， 2008第七期），第39-45页） • 主要内容：对于若干“语录”的解读。
背景（按）
• 前一段时间，我在网上神游，忽然发现许 多数学教育网站、数学教师的博客上都流 传首“王凌的35条精彩语录”，而且点击 率很高。如今能成为“语录”的东西该是 稀罕物了。打开仔细一看，真是“精彩”！ 浓缩了不少数学教育的思想精华。能写如 此“精彩语录”的人，不用管“语录”从 何而来，都代表了一种学养，一种品位。 我决定见识见识这位隐藏着的智者，就其 中的某些“语录”向王老师发问。经过两 轮挑战和对话，形成了如下的文字，
[例二 这能否算一堂真正的数学课？ 例二] 例二
• 这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要 求一群三年级的学生求解以下的问题： “某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和 三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配 方法？” • 教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题： 学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种 可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生 都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正 确的解答。