高阶导数的应用
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◆ ◆ ◆ ◆
高阶导数的应用
◆ 徐 秋 仓
（ 安阳职业技术学院 ）
【 摘要】一般情况下 ， 求函数的极值 与曲线的拐点 时， 对于二阶导数 为零的点 不能确定是 否存 在极值及是 否存在拐 点。给 出 了利 用函数
的 三 阶或 三 阶 以上 的导 数 求 函数 极值 与 曲 线拐 点 的 方 法 。
一
／ ｛ ’ （ ． ｒ ） ｅ ’ 十 ＋ ２ ｃ ｏ ｓ ｘ ， （ ｏ 】 ＝ ４ 幽定甥 １ ， 当 为偶数时／ ） ’ ｏ， 敞 ＝ ｒ ） 在ｒ ｏ 处有极傻， 又／ （ ｏ ） ＝
４ ＞Ｏ ，所 以 ｒ ； ｏ 为极 小值 点 ，极小 值 Ａｏ １ ： ４
瓶／ ∽＝ ～ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ＿ ｒ ｜ ” （ ０ ） ｏ ｒ
寻找。但对于二阶导 数都等于零 的点来说 ， 不 能确 定其是否是 函数的极值 点或 是否是 曲线 拐点 的横坐 标 ， 对于 该类特殊 的 函数与 曲线 ， 本文 给出 了
利 用 函 数 的三 阶或 三 阶 以上 的导 数 求 函 数 极 值 与 曲 线 拐 点 的定 理 与 方 法 。
６ ０ ｘ ， （ ０ ） ＝ｏ ； ” １ ２ ０ ｒ ｔ ∥ （ ｏ ） ０：
二、 利 用 高 阶导 数 求 曲线 的 拐点 在 描 绘 函数 图 形 或 讨论 曲线 的 性态 时 ， 我 们 需 要 找 出 曲 线 的 拐 点 。 一
当ｆ － （ ｘ 。 ）＞ ｏ时 ， 函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ） 在ｘ 。处取 得极小值 ； （ ３） 当 ｒ（ ｘ 。 ）＝ ｏ时 ， 不
内 ‘ 点 处具
（ ） ｏ ， ／ （ ） ≠ ｏ ≥ ３ ） 。
１ （ ＿ ｒ ） 在 的浆 领域内连续 划： Ｉ ） 强 ２ ｋ 为偶 数时 ， 点 涎，＝ 的 极值 点 。蓉 （ ） ＞Ｏ则 ／ 《 ） 匙 ／ １ ） ＝ ２ ｋ ＋ Ｉ 为奇 数时，点 ， ／ （ ＂ 为 曲线 的拐点； ∥＝／ 《 的极小值；葑／ （ ） ＜Ｏ则 ） 是 ： ／ １ 的极大值。 ２ ） 当 ２ ， ｆ 为偶数时，点（ ｘ ｏ ， ／ ＿ Ｉ ） ） 不为曲线的攒点 ２ ） ＝ ２ ｋ ＋ ｌ 为奇数时， 点 憋 ／ （ ． ｒ ） 的板纽点， 而） 不为瀚 数Ｊ 一／ ∽
的极值 。
Ｉ 明：设 怒点 的浆邻域 点，把Ｊ （ Ｄ的增 ＿ ／ 【 ｜ ｒ ） 一 ％） 按 一 ％ ）
的 丽阁 皮 暇落 余 项 的臻 勒 公式 腱 开 ，并注 意 定 理 中的 条 件 ，得 ：
明：没， ＝ ｌ ｒ ） 在点（ 而， ／ ） ） 处的切线方程魁： ／ Ｉ ＝ ／ ） ＋ ｆ（ ｘ ｏ Ｘ － ｒ 一 ） ，｝ ｊ ｊ 搦点的定义 翔，嚣： ，一 １ ＇ （ － ０一 ＿ ／ （ ） 一 ｆ ｎ一 ％） ．当 通 过 ％时变 学。则 点 （ ． ｔ ｏ ， ” 魁曲线 ＝ ｒ 】 的拐点；当 通过 时不变号，则点（ ％。 ／ （ ＂不怒曲线 ／ （ ， ｒ ） 的
【 关 键 词 】连 续
导数
极值
拐 点
／ ） ＝ ＋ ～ ２ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ０ ，搿 Ｉ ｒHale Waihona Puke Baidu ０
在讨论 函数 的特性 、 描绘 函数的 图像及讨论 曲线 的形态 时 ， 往往 需要
求 出 函 数 的极 值 ， 找 出 曲线 的拐 点 。 一 般 情 况 下是 利 用 函 数 的 二 阶 导 数 来
（ 一） 定 理 与 证 明
不能确定是否是极值 点的 ， 还需 要用第一 充分 条件来 判定。事 实上 ， 对于
该种 情 况 ， 我们 可 以用 以下 定 理 来 求 函 数 的 极 值 。
（ 一 ）定理 与证 明
定理 １ ： 设 黼数
ｒ ） 强 点 的繁邻 域 肉 有 到 阶 的 数 ， 强 厂【 ） ＝ ｏ
能确 定 。 由 第 二充 分 条件 可 知 ， 对 于 驻 点 处 函 数 的 二 阶 导 数 等 于 零 的 点 是
般情况下是利用拐点的定义来寻 找 ， 即先求出 函数二阶导 数等于零或二 阶 导数不存在 的点 ， 把定义域分成 若干个小 区 间， 再利用二 阶导数 在每个 小 区间内的正 负性来判断曲线的凹凸性， 从 而利用拐点 的定 义求出拐点 的坐 标。其 实， 在某些时候我们可以利用高阶导数直接求 出曲线的拐点。
．
＝ ５ ． ｒ ４ ０，得 ０ ｛ Ｊ ， ＝２ ０ ｘ ＝０ ，得 ＝ ０ ；
：
二 充 分 条件 来 判定 ， 该定理是 ： 设 函数 ｙ ＝ｆ （ ｘ ） 在点 ｘ 。处 具 有 二 阶导 数 且 ｆ （ ｘ ０ ）＝ ｏ， 那么 （ １ ） 当ｆ － （ ｘ 。 ） ＜ｏ时 ， 函数 ｙ ＝ｆ （ ｘ ） 在点 ｘ 。 处取得极大值 ； （ ２ ）
厂（ ） ０ ，． Ｆ（ ｘ ｏ ） － ｏ ｔ …ｔ． ， ” ） ＝ ｏ，
域 内连 续 。则 ：
） ≠ｏ ｎ ３ ） ／ ） 在 的浆领
定理 ２ ：设黼数 一 ｒ ） 在闭 问 卅ｌ ： 连续，谯甜 ： 脚
有墩到 阶 的 数 ，Ｉ ¨ Ｌ ＿ ／ ） ０ ，ｌ 厂 ） ０ ， …，
例 ２ ． 讨 论 函数 ， 《 ） 怒 甭有极 德 。 解 ：函数 的 定 义域 为 （ 一 ＋ ） ；
．
、
利 用 高 阶 导数 求 函数 的 极 值
我 们 在 讨 论 函 数 的特 性 时要 求 函数 的极 值 ， 极 值 点 可 能 是 函 数 驻 点 或
一
阶 导 数 不 存 在 的 点 。对 于 驻 点 处 的情 况 我 们 一 般 是 利 用 极 值 存 在 的 第
高阶导数的应用
◆ 徐 秋 仓
（ 安阳职业技术学院 ）
【 摘要】一般情况下 ， 求函数的极值 与曲线的拐点 时， 对于二阶导数 为零的点 不能确定是 否存 在极值及是 否存在拐 点。给 出 了利 用函数
的 三 阶或 三 阶 以上 的导 数 求 函数 极值 与 曲 线拐 点 的 方 法 。
一
／ ｛ ’ （ ． ｒ ） ｅ ’ 十 ＋ ２ ｃ ｏ ｓ ｘ ， （ ｏ 】 ＝ ４ 幽定甥 １ ， 当 为偶数时／ ） ’ ｏ， 敞 ＝ ｒ ） 在ｒ ｏ 处有极傻， 又／ （ ｏ ） ＝
４ ＞Ｏ ，所 以 ｒ ； ｏ 为极 小值 点 ，极小 值 Ａｏ １ ： ４
瓶／ ∽＝ ～ ＋ ２ ｓ ｉ ｎ ＿ ｒ ｜ ” （ ０ ） ｏ ｒ
寻找。但对于二阶导 数都等于零 的点来说 ， 不 能确 定其是否是 函数的极值 点或 是否是 曲线 拐点 的横坐 标 ， 对于 该类特殊 的 函数与 曲线 ， 本文 给出 了
利 用 函 数 的三 阶或 三 阶 以上 的导 数 求 函 数 极 值 与 曲 线 拐 点 的定 理 与 方 法 。
６ ０ ｘ ， （ ０ ） ＝ｏ ； ” １ ２ ０ ｒ ｔ ∥ （ ｏ ） ０：
二、 利 用 高 阶导 数 求 曲线 的 拐点 在 描 绘 函数 图 形 或 讨论 曲线 的 性态 时 ， 我 们 需 要 找 出 曲 线 的 拐 点 。 一
当ｆ － （ ｘ 。 ）＞ ｏ时 ， 函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ） 在ｘ 。处取 得极小值 ； （ ３） 当 ｒ（ ｘ 。 ）＝ ｏ时 ， 不
内 ‘ 点 处具
（ ） ｏ ， ／ （ ） ≠ ｏ ≥ ３ ） 。
１ （ ＿ ｒ ） 在 的浆 领域内连续 划： Ｉ ） 强 ２ ｋ 为偶 数时 ， 点 涎，＝ 的 极值 点 。蓉 （ ） ＞Ｏ则 ／ 《 ） 匙 ／ １ ） ＝ ２ ｋ ＋ Ｉ 为奇 数时，点 ， ／ （ ＂ 为 曲线 的拐点； ∥＝／ 《 的极小值；葑／ （ ） ＜Ｏ则 ） 是 ： ／ １ 的极大值。 ２ ） 当 ２ ， ｆ 为偶数时，点（ ｘ ｏ ， ／ ＿ Ｉ ） ） 不为曲线的攒点 ２ ） ＝ ２ ｋ ＋ ｌ 为奇数时， 点 憋 ／ （ ． ｒ ） 的板纽点， 而） 不为瀚 数Ｊ 一／ ∽
的极值 。
Ｉ 明：设 怒点 的浆邻域 点，把Ｊ （ Ｄ的增 ＿ ／ 【 ｜ ｒ ） 一 ％） 按 一 ％ ）
的 丽阁 皮 暇落 余 项 的臻 勒 公式 腱 开 ，并注 意 定 理 中的 条 件 ，得 ：
明：没， ＝ ｌ ｒ ） 在点（ 而， ／ ） ） 处的切线方程魁： ／ Ｉ ＝ ／ ） ＋ ｆ（ ｘ ｏ Ｘ － ｒ 一 ） ，｝ ｊ ｊ 搦点的定义 翔，嚣： ，一 １ ＇ （ － ０一 ＿ ／ （ ） 一 ｆ ｎ一 ％） ．当 通 过 ％时变 学。则 点 （ ． ｔ ｏ ， ” 魁曲线 ＝ ｒ 】 的拐点；当 通过 时不变号，则点（ ％。 ／ （ ＂不怒曲线 ／ （ ， ｒ ） 的
【 关 键 词 】连 续
导数
极值
拐 点
／ ） ＝ ＋ ～ ２ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ０ ，搿 Ｉ ｒHale Waihona Puke Baidu ０
在讨论 函数 的特性 、 描绘 函数的 图像及讨论 曲线 的形态 时 ， 往往 需要
求 出 函 数 的极 值 ， 找 出 曲线 的拐 点 。 一 般 情 况 下是 利 用 函 数 的 二 阶 导 数 来
（ 一） 定 理 与 证 明
不能确定是否是极值 点的 ， 还需 要用第一 充分 条件来 判定。事 实上 ， 对于
该种 情 况 ， 我们 可 以用 以下 定 理 来 求 函 数 的 极 值 。
（ 一 ）定理 与证 明
定理 １ ： 设 黼数
ｒ ） 强 点 的繁邻 域 肉 有 到 阶 的 数 ， 强 厂【 ） ＝ ｏ
能确 定 。 由 第 二充 分 条件 可 知 ， 对 于 驻 点 处 函 数 的 二 阶 导 数 等 于 零 的 点 是
般情况下是利用拐点的定义来寻 找 ， 即先求出 函数二阶导 数等于零或二 阶 导数不存在 的点 ， 把定义域分成 若干个小 区 间， 再利用二 阶导数 在每个 小 区间内的正 负性来判断曲线的凹凸性， 从 而利用拐点 的定 义求出拐点 的坐 标。其 实， 在某些时候我们可以利用高阶导数直接求 出曲线的拐点。
．
＝ ５ ． ｒ ４ ０，得 ０ ｛ Ｊ ， ＝２ ０ ｘ ＝０ ，得 ＝ ０ ；
：
二 充 分 条件 来 判定 ， 该定理是 ： 设 函数 ｙ ＝ｆ （ ｘ ） 在点 ｘ 。处 具 有 二 阶导 数 且 ｆ （ ｘ ０ ）＝ ｏ， 那么 （ １ ） 当ｆ － （ ｘ 。 ） ＜ｏ时 ， 函数 ｙ ＝ｆ （ ｘ ） 在点 ｘ 。 处取得极大值 ； （ ２ ）
厂（ ） ０ ，． Ｆ（ ｘ ｏ ） － ｏ ｔ …ｔ． ， ” ） ＝ ｏ，
域 内连 续 。则 ：
） ≠ｏ ｎ ３ ） ／ ） 在 的浆领
定理 ２ ：设黼数 一 ｒ ） 在闭 问 卅ｌ ： 连续，谯甜 ： 脚
有墩到 阶 的 数 ，Ｉ ¨ Ｌ ＿ ／ ） ０ ，ｌ 厂 ） ０ ， …，
例 ２ ． 讨 论 函数 ， 《 ） 怒 甭有极 德 。 解 ：函数 的 定 义域 为 （ 一 ＋ ） ；
．
、
利 用 高 阶 导数 求 函数 的 极 值
我 们 在 讨 论 函 数 的特 性 时要 求 函数 的极 值 ， 极 值 点 可 能 是 函 数 驻 点 或
一
阶 导 数 不 存 在 的 点 。对 于 驻 点 处 的情 况 我 们 一 般 是 利 用 极 值 存 在 的 第