抽样误差

F分布的特征
F分布为一簇单峰正偏态分布曲线，与两个自由度 有关。 若F服从自由度为(1,2)的F分布，则其倒数1/F服 从自由度为(2,1)的F分布。 自由度为(1,2)的F分布，其均数为2/(2-2)，与 第一自由度无关。 第一自由度1＝1时，F分布实际上是t分布之平方； 第二自由度2＝∞时，F分布实际上等于2分布。 每一对自由度下的F分布曲线下的面积分布规律。
3.1 样本均数的抽样分布规律
中心极限定理
从均数为μ，标准差为σ的正态总体中随机抽样，样 本均数服从均数为μ，标准差为 的正态分布。 n 从均数为μ，标准差为σ的任意总体中随机抽样， 当样本含量足够大时，样本均数近似服从均数为μ， 标准差为 的正态分布。

n
3.2 t分布的演化
根据中心极限定理的内容，当样本含量足够 大时，对从均数为μ，标准差为σ的任意总体 中随机抽样所得的样本均数进行标准化变换， 有
1.0 1.0
0.8
ν 1＝5 ν 2＝10
0.8
0.6
ν 1＝1 ν 2＝10
0.4
0.6
ν 1＝10 ν 2＝∞
0.4
0.2
0.2
ν 1＝10 ν 2＝1
0.0 0 1 2 3 4 5
0.0 0 1 2 3 4 5
F分布的应用
方差齐性检验 方差分析
n2 1 2 n1 1 s F 2 2 2 s2 2 s n1 1 n2 1 s2 2 n2 1 2
X 118.21cm s =4.45cm
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 120.18cm s =4.90cm
X 117.78cm s =3.98cm
X 120.81cm s =4.33cm
X 119.87m s =5.15cm
抽样误差的定义
五次抽样得到了不同的结果，原因何在？

样本均数的标准误表示样本均数的变异度。

2 X
X X X
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
k
2 x
n
k
2.2 标准误的计算
计算公式为
X

n
其中，σ为总体标准差，n为抽样的样本例数 在研究工作时，由于总体标准差常常未知， 可以利用样本标准差近似估计
s sX n
5 F分布
设从两个方差相等的正态分布N(1,2)和 N(2,2)总体中随机抽取含量分别为n1和n2 X1 的样本，样本均数和标准差分别为 、s1 和 X 2 、 s2。设： 2 s1 F 2 s2 则F值服从自由度为(n1-1，n2-1)的F分布 (F-distribution)。
t界值表
单侧： P(t <=-tα,ν)= α或 P(t >=tα,ν)= α 双侧： -t P(t <=-tα,ν)+ P(t >=tα,ν)= α 即:P(-tα,ν<t <tα,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 t 0.05,10=2.228 (双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧）
抽样误差
抽样误差的重要性 抽样误差的定义 抽样误差的规律性
t分布
t分布的演化 t分布的图形 t分布的性质
标准误
标准误的定义 标准误的计算 标准误的意义 标准误的作用
F分布 χ2分布
1.1 抽样误差的重要性
既然有误差，为什么还要抽样？
无限总体的客观存在 试验研究的成本效益问题（cost effect)
i
样本均数和 样本均数间 的差别 X i X j
抽样误差
定义。 只要有个体变异和随机抽样研究， 抽样误差就是不可避免的。 抽样误差有自己的客观规律，统 计学就是拨开抽样误差之雾来洞 察客观规律的利器。
1.3 抽样误差的规律性
既然抽样误差是有规律的， 那么到底它的分布规律到底 是怎样的？
2=u12+ u22+……+ uv2
0.5
=1
0.4
f(2)
0.3
=2 =3
0.2
=4
=5
=6
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12
2
χ2分布的作用
方差的抽样分布研究 样本分布与理论分布的拟合优度检验 率或构成比的比较
( Ai Ti ) Ti
2
2
卫生统计学
抽样误差和抽样分布
Sampling Error and Sampling Distribution
Department of Epidemiology and Biostatistics
School of Public Health, Nanjing Medical University
主要内容
2.1 标准误的定义
样本统计量（如均数）也服从一 定的分布； 与描述观测值离散趋势的指标类 似，我们使用样本统计量的标准 差来反映抽样误差的大小。又称 标准误(standard error)。
标准误(standard error)

样本统计量的标准差称为标准误。 样本均数的标准差称为均数的标准误。
=5 =1
0.3
由Gosset提出
0.2
0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3.4 t分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线。 t分布以0为中心，左右对称。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。即相同的尾 部面积对应的界值，比 u 分布大。例如：P=0.05， u=1.64，而自由度为10的 t分布界值，t = 1.812。 t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越 低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t 分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时， t分布就是标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t 界值表 。
抽样误差的重要性
总体
同质个体、个体变异 随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知
统计 推断
样本统计量已
知
风 险
1.2 抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估 计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要 求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了五次。
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
抽样误差的定义
【定义】由于个体变异的存在，在抽样研究中 产生样本统计量和总体参数之间的差异，称 为抽样误差（sampling error）。
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为研究对象
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 总体均数间 的差别 X
标准误的计算
【例】根据7岁男童的身高资料， 在已知总体标准差时，标准误为 4.38/10=0.438cm 而若以第一次抽样的样本标准差来代替总体标 准差，则标准误为 4.45/10=0.445cm
2.3 标准误的意义
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布 的离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样 本率）的离散程度越大，即用样本统计量来直 接估计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当 总体一定时，样本例数越多，标准误越小。说 明我们可以通过增加样本含量来减少抽样误差 的大小。
0
t
4 χ2分布
设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的 样本，样本均数和标准差分别为X 和s，设：

2
(n 1) s
2

2
则2值服从自由度为n-1的2分布(2distribution)，是小写希腊字母，读作chi。 可见，2分布是方差的抽样分布。
χ2分布的特征
2分布为一簇单峰正偏态分布曲线， 自由度为的2分布，其均数为，方差 为2。 ＝1时2分布实际上是标准正态分布变 量之平方。自由度为的2分布实际上是 个标准正态分布变量之平方和。可表示 为： 每一自由度下的2分布曲线都有其自身 分布规律
Xi

ni
~ N (0,1)
t分布的演化
由于总体标准差往往是未知的，此时往往用 样本标准差代替总体标准差，
X t ~ t s n
这里，ν为自由度（degree of freedom,df)，取值为n-1
由W.S. Gosset提出
3.3 t分布的图形
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布 =∞(标准正态曲线) f(t)
2 1 2 2
s
2 1 2
n1 1 s
2 1

2 1
小结
抽样误差的定义和表现 抽样误差的规律：中心极限定理 标准误的定义及其意义 t分布的演化、图形、特征及意义
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中心极限定理（central limit theorem)的表现
从正态总体中随机抽样，其样本均数服从正 态分布； 从任意总体中随机抽样，当样本含量足够大 时，其样本均数的分布逐渐逼近正态分布； 样本均数之均数的位置始终在总体均数的附 近； 随着样本含量的增加，样本均数的离散程度 越来越小，表现为样本均数的分布范围越来 越窄，其高峰越来越尖。
2.4 标准误的作用
标准误的用途
衡量样本统计量代表总体参数的可靠性； 估计总体参数的可信区间； 进行假设检验。
2.5 标准差和标准误的联系与区别
标准差
对象 计算方法 性质 用途 个体变异 定义
标准误
抽样误差 定义
n越大，标准差
越稳定 参考值范围 衡量离散程度
n越大，标准误越小
可信区间，假设检验