中科院课件---《现代信号处理的理论与方法》课程回顾祥解

aa
时频分布 : P t,
R t, , e j
WVD :Wx t,
R t, , e j
AF : Ax , v R t, , e jvt
n
EMD : x t ck rn k 1
时频分析
❖ 线性时频分析方法（STFT,Gabor变换,WT） 使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱 随时间的变化情况；
《现代信号处理的理论与方法》课程回顾
❖ 信号分析基础 ❖ 时频分析方法 ❖ 高阶统计和高阶谱方法 ❖ 多抽样率信号处理技术 ❖ 盲信号处理技术
解析信号
❖ 对于实信号s(t)，它的Hilbert变换为：
sˆt
st ht
st 1
t
1
s
d
t
由此可得解析信号为：
zt st jsˆt ate jt
幅值和相位分别为：
at s2 t sˆ2 t
t
arctan
sˆt st
瞬时频率
❖ 瞬时频率：表征了信号在局部时间点上的瞬态频 率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频 率的时变规律。
fi
t
1
2
d dt
arg
zt
1
0 E
'(t) | x(t) |2 dt
➢ 信号的中心频率是其瞬时频率在整个时间轴上的加 权平均。
amn Gabor展开系数； g(t) 母函数；
gmn (t) m, n阶Gabor基函数，它是由g(t)做移位和调制生成的。
❖ Gabor变换与STFT的区别与联系：
➢ STFT的窗函数必须是窄窗，而Gabor变换的窗函数 无此限制，可以将Gabor变换看成是一种加窗的傅 立叶变换，它的适用范围比STFT适用范围更广泛；
小波变换的特点
➢ 小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的 分析窗是可调的，但分析窗的面积保持不变。
➢ 采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和带宽都 不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率／ 带宽”为常数。
1. 容许条件
c (t) 0
| (Ω) |2 dΩ
❖ 非线性时频分析方法（时频分布）使用时间 和频率的联合函数描述信号的能量密度随时 间变化的情况。
短时傅里叶变换
STFTz (t, f )
z(u
)
g
*
(u
t
)
e-j2
fu
du
z u g*(u t), ej2 fu z u , gt, f (u)
不断地移动t，即不断地移动窗函数g u的中心位置，
def
c j,k = WTx j, k
x(t
)
* j,k
(t
)dt
j=0,1,2,…; k∈Z
称cj,k为离散小波变换系数，简称为小波系数。
在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，b0=1，此时a取
值为 20,21,…,2j。此时，连续小波变换中的基函数ψab(t)记为
ψjk(t),
jk
(t
Ω
✓ 作为小波函数所应具有的大致特征：即 (t) 是一带通函数， 它的时域波形应是振荡的。此外，从时－频定位的角度，希 望 (t) 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域 有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet） 的原因。
➢ 由此，可以得到离散化小波变换 WTx (a0j , ka0jb0),简记为WTx j, k
Gabor展开： x(t)
amn gmn (t)
m n
amn g (t mT )e j2 nFt
m n
Gabor变换: amn x t , mn t x t * t mT , e j2nFt
其中， mn t t mT e j2nFt
T 时间采样间隔；F -频率采样间隔；
取出信号在分析时间点t附近的傅立叶变换（称之为 “局部频谱”）。
zt gt Z f *G f
❖ 由于受不定原理的制约，窗函数的有效时宽和带 宽不可能同时任意小，窗宽应该与信号的局域平稳 长度相适应。 ❖ 对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一 个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。
Gabor变换
信号的分解与变换
内积：f
x, g x
def
f x g* x dx
信号综合（变换）：n x, gn ；信号分解（反变换）：x n ,n
FT : X ( f ) x t , e j2 ft ; x(t) X f , e j2 ft
时频分析：X t, f x t , t, f
信号的时宽和带宽
❖ 信号的“时间中心”及“时间宽度”，频率的“频率中心” 及“频带宽度”分别说明了信号在时域和频域的中心位置及 在两个域内的扩展情况。
t0
1 E
t
|
x(t)
|2dt; 0
1
2 E
| X () |2 d
t2
1 E
(t
t0 )2
|
x(t) |2
dt;
2
1
2 E
(
0)2
|
➢ STFT(t,f)是信号的时频二维表示，Gabor变换系数 相当于信号的时间移位-频率调制二维表示。
小波变换
WTs (a,b)
1 a
s(t)
*
t
b a
dt
s(t),
ab
(t)
a,b (t)

1 (t b)
aa
a0
其中，a>0 被称为尺度因子，b反映小波函数在变换中的位移， ψ(t)称为基小波或“母小波函数”， ab (t是) 母小波经移位和伸 缩所产生的一组函数，称为小波基函数，或简称小波基。
X ()
|2
d
➢定义 2t , 2 分别是信号的时宽和带宽，定义 t 为信号的时宽－带宽积。
不确定原理
❖ 对于能量有限信号，其时宽和带宽的乘积总能满 足下面的不等式，即
t f
1 4π
式中， Δt表示信号有效持续时间，Δf表示信号的有效带宽。
✓频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小，即不可能存在既 是带限又是时限的信号波形。
STFT : STFTx (t, f ) x u g*(u t), ej2 fu x u , gt, f (u)
Gabor变换：amn x t , mn t x t * t mT , e j2nFt
WT :WTx (a,b) x(t), ab (t)
a,b (t)
1 (t b)
)
2
j
2
(2
j
t
k
)
相应地，离散小波变换可表示为
WTx ( j, k)
x(t
)
* jk
(t
)dt
时频分布的定义
相关函数：R
z
t
z
*
t
dt
功率谱：P R e j d