曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分,图文并茂,自学必备)

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对弧长的曲线积分
例
计算 ∫L ( x + y )ds . 其中 是圆周 x 2 + y 2 = R 2 . 其中L是圆周
3
解 对称性,得 对称性,
y
O
x2 + y2 = R2
∫Lห้องสมุดไป่ตู้
( x + y 3 )ds = ∫ xds + ∫ y 3ds = 0
L L
L
x
对 ∫ xds , 因积分曲线 关于 x=0对称 对称, 对称 积分曲线L关于
2
1 = πka 2 a 2 + k 2 2
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对弧长的曲线积分
例3 计算 L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即
∫
2
⌒ 解 由曲线 L(半圆周 ABC如图)的 方程x 2 + y 2 = R 2 , 得
ds = 1 + y ′ 2 d x =
AB
x + y = R ( x ≥ 0).
2 2
′2( y)dy ds = 1 +
12
d
对弧长的曲线积分
x = (t ) L的参数方程为 (α ≤ t ≤ β ), 的参数方程为 y = ψ (t )
β
∫L f ( x, y)ds = ∫ f [ (t ), ψ(t )] α 特殊情形 (3) L : ρ = ρ (θ ), α ≤ θ ≤ β
对弧长的曲线积分 3. 推广
∫L f ( x , y )ds 存在.
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 Γ上 对弧长的曲线积分为
∫Γ f ( x, y, z)ds =lim∑ f (ξ ,η ,ζ ) s λ
→0 i =1 i i i
n
i
6
对弧长的曲线积分
注意
(1) 若 L (或 Γ )是分段光滑的 , ( L = L1 + L2 )
f ( x, y)ds = ∫ f [ (t ), ψ (t )] ′2 (t ) +ψ ′2 (t )dt ∫L
α
β
对弧长的曲线积分要求 ds ≥ 0 (1)化为定积分的下限 α 一定要小于上限 β 化为定积分的下限 (2) 积分值与曲线方向无关 积分值与曲线方向无关.
注意
(α < β )
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对弧长的曲线积分
∫L f ( x , y )ds
当 f ( x, y)是L上关于 (或y)的奇函数 0, 上关于x 或 = 2 f ( x , y )ds , 当 f ( x, y) 是L上关于 (或y)的偶函数 上关于x 上关于 或
∫L
1
L1是曲线 落在 (或x) 轴一侧的部分 是曲线L落在 或 落在y 轴一侧的部分.
L关于 轴对称 , | y | 为y的偶函数 , 关于x
故
A
L
B x
∫L | y | ds = 2∫⌒ yds
AB
O
C
= 2∫
R
0
R y dx y
= 2R 2
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对弧长的曲线积分
例4 求 I = ∫ x 2d s ,
Γ
x2 + y2 + z2 = a2 , 其中Γ为圆周 x + y + z = 0. 解 由于 Γ 的方程中的 y, z的地位完全对称 有 的方程中的x, 的地位完全对称 的地位完全对称,
被积函数x是 上 关于x的奇函数 被积函数 是L上 关于 的奇函数
∫Lxds = 0
对 ∫ y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称 对称, 对称 积分曲线 关于 L
被积函数 y3 L上 关于 的奇函数 ∫ y 3ds = 0 是 上 关于y的奇函数 L
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对弧长的曲线积分
三、对弧长曲线积分的计算
柱面在点 ( x , y )处的高时 ,
s
L
S柱面面积 = ∫ f ( x, y)ds
L
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对弧长的曲线积分
设平面曲线 L为下半圆周 y = 1 x 2 , 则
曲线积分 ∫ ( x 2 + y 2 )ds = (
L
π ).
解 设下半圆周的参数方程 x = cosθ , y = sinθ 则
∫L
∫L +L
1
2
f ( x, y)ds =∫ f ( x, y)ds +∫ f ( x, y)ds
L 1 L2
(对路径具有可加性 (对路径具有可加性) 对路径具有可加性)
( 2) 函数 f ( x , y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分
记作
∫L f ( x , y )ds
7
对弧长的曲线积分
4. 性质 (1)
π
( x 2 + y 2 )ds
= ∫ (cos 2 θ + sin 2θ ) ( sin θ )2 + (cosθ )2 dθ
=π
2π
通过几何直观,还有更简单的方法吗 通过几何直观 还有更简单的方法吗? 还有更简单的方法吗
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x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 + 2 = 1, ( x ≥ 0, y ≥ 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z = 介于 平面与空间曲面 c
i =1 n
1.定义 1.定义
y
(ξi ,ηi ) M i
A
M1 M 2
L
B
M n 1
M i 1
si
④ 如果当各小弧段的长度的最大值 λ → 0时, 时
O
x
4
对弧长的曲线积分 n
注意: 被积表达式都定义在曲线上, si ∑ f (ξ i ,ηi ) 即满足曲线的方程. i =1 这和的极限存在, 这和的极限存在 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 第一类曲线积分. 被积函数
化为参变量的定积分 定积分计算 解法 化为参变量的定积分计算
定理 设 f ( x , y )在曲线弧 L上 有定义且连续 有定义且连续, x = (t ) L的参数方程为 (α ≤ t ≤ β ),其中 的参数方程为 y = ψ (t )
( t ),ψ ( t )在[α , β ]上 具有一阶连续导数 且 具有一阶连续导数,
y
( 0 ≤ y ≤ 2)
O
y2 = 2x
(2,2)
I=∫
2
0
1 y 1 + y dy = (5 5 1) 3
2
x
例2 求I = ∫Γ xyzds , 其中 Γ : x = a cosθ , y = a sin θ ,
z = kθ 的一段 . (0 ≤ θ ≤ 2π )
解 I=
∫
2π
0
a cosθ sin θ kθ a2 + k2dθ
O
A
B
y
L
(ξi ,ηi ) M i
M i 1
M1 M 2
M n 1
si
取近似 取 (ξ i ,η i ) ∈ si , M i ≈ (ξ i ,η i ) si 求和
x
M ≈ ∑ (ξ i ,ηi ) si
i =1 n
n
近似值 精确值
3
取极限 M =lim∑ (ξ i ,η i ) si
=∫
′2 (t ) +ψ ′2 (t )dt
(α < β )
∫β f ( x, y)ds L
α
′2(θ )dθ f [ρ(θ )cosθ , ρ(θ )sinθ ] ρ (θ ) + ρ
2
推广 Γ : x = ( t ), y = ψ ( t ), z = ω ( t ) (α ≤ t ≤ β )
y
A
L
B x
O
C
R x2 + y2 dx dx = 2 | y| y
BC
∫L | y | ds = ∫ ⌒ | y | ds + ∫⌒ | y | ds
=∫
R 0
R R R dx = 2R 2 | y | dx + ∫ | y | 0 | y| | y|
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对弧长的曲线积分
计算 ∫ | y | ds , 其中 L是右半圆周 ,即 L x 2 + y 2 = R 2 ( x ≥ 0). 解此题时也可用 对称性质 y
⌒ L (BA)
f ( x , y )ds
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对弧长的曲线积分
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质
在一条光滑(或分段光滑 或分段光滑)的 , y ) 在一条光滑 或分段光滑 的 设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 计算时 应同时考虑被积函数 f ( x, y) 与积 曲线L上连续 L关于 曲线 上连续, 关于x=0 (或y=0) 对称, 则 对称 上连续 关于 或 分曲线L的对称性 的对称性. 分曲线 的对称性
∫L
x = (t ) L的参数方程为 (α ≤ t ≤ β ), 的参数方程为 y = ψ (t ) β f ( x, y)ds = f [ (t ), ψ (t )] ′2 (t ) +ψ ′2 (t )dt
特殊情形 (1) L : y = ψ ( x ), a ≤ x ≤ b
∫ α
(α < β )
x 2 d s = ∫ y 2d s = ∫ z 2 d s ∫Γ Γ Γ 1 ( x 2 + y 2 + z 2 )ds I = ∫Γ 3 a2 2πa 3 = ∫ ds = 3 Γ 3
( 2πa = ∫ ds , 球面大圆周长 )
Γ
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对弧长的曲线积分
例5 曲线
Γ 是中心在 ( R, 0), 半径为R
λ→0
i =1
对弧长的曲线积分
二、对弧长的曲线积分的概念
面内一条光滑曲线弧, 设L为 xOy面内一条光滑曲线弧 为 面内一条光滑曲线弧 ① 上有界. 上任意插入一点列 上有界 函数 f ( x , y ) 在L上有界 在L上任意插入一点列 分成n个小段 设第 个小段的 分成 个小段 M 1 , M 2 , , M n 1 把L分成 个小段. 设第i个小段的 长度为 si ,又(ξ i ,η i )为 第i个小段上任意取定的 个小段上任意取定的 一点, 作乘积 f (ξ i ,η i ) si , 一点② ③ 并作和 ∑ f (ξ i ,η i ) si ,
第九章 曲线积分与曲面积分
curvillnear integral and surface integral
1
第一节 第一类曲线积分
问题的提出 对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算 几何意义与物理意义 小结 思考题 作业
2
第十章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 匀质之质量 M = s 分割 M 1 , M 2 ,, M n1
∫L[ f ( x, y) ± g( x, y)]ds = ∫ f ( x, y)ds ± ∫ g( x, y)ds L L
(2)
∫Lkf ( x, y)ds = k∫L f ( x, y)ds (k为常数)
∫L ⌒ f ( x , y )ds = ∫
(AB)
(3) 与积分路径的方向无关 即 与积分路径的方向无关,
此时需把它化为参数方程 此时需把它化为参数方程 (选择 x , y , z中某一个 为参数), 再按上述方法计算. 为参数 再按上述方法计算
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对弧长的曲线积分
例1
求I =
2
∫L
yd s , 其中 L 为 y 2 = 2 x 上自原点到
积分? 对x积分 积分
2
( 2 , 2 )的一段 .
y 解 y = 2x x = 2
∫L
f ( x, y)ds = ∫a f [ x,ψ (x)] 1+ψ′2( x)dx (a < b)
b
′2( x)dx ds = 1 +ψ (2) L : x = ( y ), c ≤ y ≤ d
f ( x, y)ds =∫ f [( y), y] 1 +′2( y)dy (c < d ) ∫L c
的上半圆周.求 的上半圆周 求 提示:用极坐标 提示 用极坐标
∫ (x
Γ
2
+ y )ds
2
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对弧长的曲线积分
四、几何意义与物理意义 几何意义与物理意 意义
几何意义 (1) 当 f ( x, y) ≡ 1时, L弧长 =
∫L ds
(2) 当 f ( x, y )表示位于L上的
z = f ( x, y)
∫L f ( x, y)ds, 即
n
∫L f ( x, y )ds = lim ∑ f (ξ i ,ηi ) si λ →0 i =1
积分弧段 弧元素
L
积分和式
曲线形构件的质量 M = ∫ ( x, y)ds
5
对弧长的曲线积分
2. 存在条件
当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上 连续, 连续,
之间部分的面积. 之间部分的面积 提示: 提示
xy A=∫ ds L c
x2 y 2 L : 2 + 2 =1 a b
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对弧长的曲线积分
物理意义
(1) 当 ( x , y )表示 L的线密度时
M = ∫ ( x, y)ds
L
( 2) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量
∫Γ f ( x, y, z)ds
= ∫ f [(t ),ψ (t ),ω(t )] ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt α (α < β ) 13
β
对弧长的曲线积分
如果积分路径 L是两个曲面的交线
1 ( x , y , z ) = 0 z = f ( x, y) 或 z = g( x , y ) 2 ( x , y , z ) = 0