土质边坡最危险滑动面的随机搜索

土质边坡最危险滑动面的随机搜索
摘要：本文基于瑞典条分法，应用MATLAB，对边坡最危险滑动面的进行搜索，该方法可以同时搜索出边坡的最小安全系数和与之相应的临界滑动面的位置。

可以应用到任意边坡几何形状，不同土质分层，伴随空隙水压力以及有外载荷的情况。

关键词：MATLAB；边坡稳定；安全系数；条分法；网格法；滑动面；
Abstract: this paper, based on the Swedish slice method, the application of the MATLAB, the most dangerous of the slip plane of the slope to search for, this method can also search the minimum safety factor of the slope and the corresponding critical sliding the position. Can be applied to any slope geometric shapes, different soil layer, along with water pressure and the gap is the load.
Keywords: MATLAB; The slope stability; Safety coefficient; Slice method; The grid method; Sliding surface;
1概述
在工程建设中常会遇到土坡稳定性问题，土坡包括天然土坡和人工土坡，天然土坡是指自然形成的山坡和江河湖海的岸坡，人工土坡则是指人工开挖基坑、基槽、路堑或填筑路堤、土坝形成的边坡。

土坡塌滑是一种常见的工程现象，土坡由于丧失稳定性而滑动，通常称为“滑坡”。

本文的目的在于使用瑞典条分法的情况下，应用软件MATLAB对最小安全系数的临界滑动面进行随机搜索，改进土坡最小安全系数搜索方法,以便比较容易的得到土坡的最小安全系数。

2边坡稳定计算的力学模型
极限平衡分析法的理论基础是极限平衡理论，其基本要点是当坡体的抗剪参数降低K倍以后，坡体内存在一达到极限平衡状态的滑面，滑体处于临界失稳状态。

其中，K为坡体的安全系数，处于极限平衡状态的滑面满足摩尔—库仑准则，即：
τ=c+σntgυ(1)
图1 边坡的基本力学分析
下面以垂直条分为例进行分析，对滑体垂直条分(n块)，任取一条块i(图1) ,其上作用的已知力有：自重Wi，水平作用力Qi,作用在条块底面及两侧的孔隙水压力Ui+1，Ui，Ubi。

此外，滑面倾角αi，条分截面高γhi，γhi+1，底面的抗剪参数ci，υi及条分面上的抗剪参数csi，csi+1，υsi和υsi+1也都确定。

极限平衡状态下的未知量有：①安全系数K；②条块底面上的法向力Ni，切向力Si及合力作用点，共3n个；③条分面上的法向力Ei，切向力Ti及合力作用点，共3n-3个。

这样，整个滑体就有6n- 2个未知量。

对于每一个条块，可以建立的方程有四个，即三个静力平衡方程：
Xi=0：Ei-Ei+1+Ui-Ui+1+(Ni + Ubi)sinαi-Sicosαi +Qi=0(2)
Yi=0：Ti+1 - Ti +Sisinαi +(Ubi +Ni)cosαi - Wi =0(3)
Mi(v)=0：Mi (o)=0 (4)
和一个滑面上满足摩尔—库仑准则的破坏方程:
Si =+ фi(5)
从而，整个滑体可建立4n个方程，未知量比方程数多2n-2个。

显然，这是一个超静定问题。

欲求解此方程组，有两种方法：一是引入变形协调条件，增加方程数；二是对多余变量进行假定，以减少变量数或增加方程数。

限平衡分析采用第二种方法。

一般都认同这样的假定，即在条块宽度足够小时，可以认为底滑面合力作用点位于底面中点，这样就减少了n个未知量。

现在的问题在于如何解决剩下的n-2个多余变量的简化问题。

对变量进行简化假定的合理性问题，一直受到人们的普遍关注。

摩根斯坦-普赖斯(Morgenstern—Price)最早提出过解的合理性限制问题，即所获得的解必须满足以下两个假定：①条块之间不允许出现拉力；②条分面上的剪应力不超过按摩尔-库仑准则提供的抗剪强度。

并认为：凡是合理的解的安全系数彼此相差不大。

该原则尽管从理论上还没有严格的证明，但这并没有阻止极限平衡条分法的广泛应用。

瑞典条分法其核心的假定是条块间没有相互作用力。

原推导过程严格依赖滑面呈圆弧形的假定，而事实上，从该方法的假定看，在任何情况下应用该方法都不会违反合理假定的要求，因而它应该有最广泛的适用范围，可以应用于任何滑面。

如果注意到单一滑面的稳定性系数计算公式与瑞典法计算公式有完全相同的形式，可能会接受这个观点。

但接受这个观点的另一个关键问题，是要在一般情况下能推导出这个公式。

我们已在一般情况下推导出该计算公式。

由于条间无作用力，方程式(2)和式(3)就只有两个未知量，可以解出这两个
未知量：
Ni =Wicosαi - Qisinαi +(Ui+1 - Ui)sinαi - Ubi (6)
Si =Wisinαi -(Ui - Ui+1 )cosαi +Qicosαi(7)
式(5)两边对n个条块求和后，再将上两式代入，有：
K=(8)
此式即为瑞典条分法的计算式。

为了解决二次静不定问题，瑞典条分法假定不考虑土条间的作用力，一般来说，这样得到的稳定安全系数K是偏小的，所以在工程实践中，要把计算得来的稳定安全系数K加上一个校正值，才能得到比较精确的稳定安全系数K校正。

3滑动面的随机搜索
3.1圆心的确定
圆弧危险滑动面的确定取决于滑动圆弧的圆心和半径，圆弧滑动面的条分法计算原理简单关键在于确定有最小安全系数的潜在滑动面，这就需要大量的反复计算。

圆弧滑动面的自动搜索目前多用枚举法。

本文圆心的确定采用如下方法：搜索圆弧滑动面的圆心，根据经验在土坡的左上方确定一个较大的圆心范围，这个范围的确定与边坡的形状、边坡体的物理力学性质、边坡体受外力情况有关。

然后将这个范围划分为网格，网格上的每一个结点都是有待试算的圆心。

再对每个不同半径的滑动圆弧进行稳定计算，求出稳定系数K值最小的圆心及半径。

为使求解更为精确，可以再以所求圆心位置为中心在其更小的范围内划分更细的网格重复上述工作，如此反复进行逼近真值，从而使所求的潜在滑动面得以确定。

除此之外，圆心还有满足以下几个条件:
（1）Yo≥Yb;
（2）Yo≥Xo*tan(β);
（3）2XbXo+2YbYo≥Xb2+Yb2
图2 圆心所在区域的示意图
3.2半径的确定
半径的确定取决于搜索的精度。

若精度高，则循环的步长变小，循环的次数增加。

半径最小值应大于圆心到B点的距离，最大值则由具体情况决定，例如均质土坡最大值就没有限制。

3.3边坡最小安全系数搜索
最小安全系数搜索使用MATLAB来完成。

过程大致为：第一步，建立各种参数，包括土坡的高度、土坡角和土的力学参数；第二步，根据上述参数确定圆心的搜索范围；第三步，输入圆心；第四步，收集数据，程序会计算出不同圆心的最小安全系数；第五步，分析数据，比较不同圆心的最小安全系数。

第六步，将所求的最小点周围进一步网格，如此反复进行逼近真值，从而使所求的潜在滑动面得以确定。

4程序设计
4.1程序介绍
MATLAB是一种不同于其他语言的高级语言，在科学研究和工程计算中，其具有如下特点:编程效率高、扩充性好、使用方便等，而且在工程和科学绘图上具有有强大的功能，能轻松的绘出各种复杂的函数图形。

因此，MATLAB也就成为理工界最常用的编程语言。

4.2程序设计
由于本文采用瑞典条分法，程序设计主要围绕怎样计数出下式中的K
K=
式中，Wi＝si*γi,si为土条的面积，要计算出K，只需将式中Wi、COSαi、SINαi、Li、tgυi分别求出即可。

如图3所示，某边坡高度H＝10米，边坡角β＝45o，土质的力学参数如下粘聚力Ci＝10Kpa，内摩擦角υi＝22kN/m3,容重γi＝20kN/m3。

搜索范围为顶点分别是（-10 32），（-10 12），（10 12），（10 32）的正方形。

搜索得的边坡最终临界滑动面如表1所示。

当圆心坐标为（2.25，13.00）时，求得最小安全系数K ＝0.8490。

图3 最终临界滑动面所对应的边坡安全系数
表1不同滑弧圆心坐标和半径时边坡的安全系数坐标参数
本文中的算例边坡是均质土坡，本文使用的算法也可以应用到任意边坡几何形状，不同岩土分层，伴随空隙水压力以及有外载荷的情况。

5结语
所有的边坡稳定验算问题都可归结为安全系数最小的滑动面的求解问题。

不仅要求解出每个滑动面的几何参数,而更重要的是找出所有的这样的滑动面,无一遗漏,才能保证边坡的绝对安全。

计算机技术的发展,尤其是近十几年来,计算机的普及给边坡稳定分析带来了迅速的发展,使那些原本只能以成熟的理论形态存在的“先进”的方法通过使用计算机而真正在实际工程问题的分析中得到应用。

而文中提出的方法与程序较好地解决了圆弧滑动法中的全面搜索问题,从而可以保证边坡的安全。

就程序而言，也只需输入参数和圆心，就能算出该圆心时边坡的最小安全系数，使得计算变得容易。

参考文献
[1] 何满潮,边坡岩体水力学作用的研究[J].岩石力学与工程学报,1998.06
[2] 王在泉,边坡动态稳定预测预报及工程应用研究[J].岩石力学与工程学报,1998.02。