离散数学第6章 图论

所有边都是无向边的图称为无向图, 所有边都是有向边的图称
为有向图.
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(c) 我们讨论的图不但与节点位置无关, 而且与边的形状和长 短也无关.
有n个节点的图称为n阶图, 有n个节点m条边的图称为(n, m)图.
在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图, 记为, 若 V 但 E = 的图称为零图, n 阶零图可记为Nn, 仅一个节点的零图称为平凡图.
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E
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E
Biblioteka BaiduB C
D
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E
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A F
E
B C
D
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图论最早处理的问题是哥尼斯堡城Pregel河上的
七桥问题：河中有两个岛屿,人们架设了七座桥把河
岸和两个小岛连接起来,有人打算在每座桥上通过一
次然后返回出发点,但没有获得成功.
显然,图的任意一条边都关联两个节点. 关联相同两个节点的边称为吊环,可简称环(loop) .
关联的起点与终点都相同的边称为多重边或平行 边,其边数称为边的重数.
u
u
vu
v
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4. 简单图
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程序调用的图论模型:
e4
v4
e9
e5 e6
e7
v3 e8
v5 e3
e1
v1
v2
e2
e8: v3可调用v2; e1: v2可调用v1; e4: v5可调用v5自身.
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1. 图的定义
定义 图G主要由2部分组成:
(1)节点集合V, 其中的元素称为节点 (2)边集合E, 其中的元素称为边 通常将图G记为G = (V, E).
C
后来有人请教当时的大数学家欧
拉,欧拉用图论的方法证明这个问题
A
D 无解,同时他提出并解决了更为一般 的问题,从而奠定了图论的基础,欧
拉也被誉为“图论之父”.
B
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后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题.
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解：以每门课程为一个顶点，共同被选修的 课程之间用边相连，得图，按题意，相邻顶 点对应课程不能连续考试，不相邻顶点对应 课程允许连续考试，因此，作图的补图，问 题是在图中寻找一条哈密顿道路，如C—E— A—F—D—B，就是一个符合要求的考试课 程表。
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A F
E
B C
D
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A F
E
B C
D
Chapter 6 图论
图论是一个古老的数学分支,它以图为研究对象。 图论中的图是由若 干给定的点及连接两点的线所 构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之 间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点 的线表示相应两个事物间具有这种关系.
图论近年来发展十分迅速,应用相当广泛,渗透到许 多学科,诸如运筹学、信息论、控制论、网络理论、 博弈论、化学、生物学、物理学、社会科学、语 言学,特别是计算机科学等,图论得到广泛的应用, 同时图论本身也得到了充分的发展.
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假定第三次就座方案是 （1，4，7，3，6，2，5，1），那么第 四次就座方案就不允许这些顶点之间继 续相邻，只能从图中删去这些边，只留 下7点孤立点，所以该问题只有三个就座 方案。
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例：一个班级的学生共计选修A、B、C、 D、E、F六门课程，其中一部分人同时选 修D、C、A，一部分人同时选修B、C、F， 一部分人同时选修B、E，还有一部分人同 时选修A、B，期终考试要求每天考一门课， 六天内考完，为了减轻学生负担，要求每 人都不会连续参加考试，试设计一个考试 日程表。
“四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
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6.1 图的基本概念
哥尼斯堡(Köningsberg)七桥问题:
C C
A
D A
D
B B
问题是: 是否可从某一个地方出发，经过七座桥， 每座桥只经过一次，然后又回到原出发点.
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假定第二次就座方案是 （1，3，5，7，2，4，6，1），那么第 三次就座方案就不允许这些顶点之间继 续相邻，只能从图中删去这些边。
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几点说明:
(a)节点又可以称为点、顶点或结点, 常用一个实心点或空心 点表示, 为了方便可以在这些符号的旁边或内部写上表意名 称.
(b) 边及其表示.
无向边? A
b3
B
b3 = AB = BA ={A, B}(可重). A和B称为端点
有向边(弧)?
v2
e8
v
3
e8 (v2 , v3 ) v2 , v3 .
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2. 邻接
定义 设G = (V, E)是图, 对于任意u, v V, 若从节 点 u 到节点 v 有边, 则称 u 邻接到 v 或称 u 和 v 是 邻接的.
无向图?
u
e v
有向图?
e
u
v
先驱元素
后继元素
u ev
无向图的两条边邻接是指它们有公共端点.
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3. 关联
定义 设G = (V, E)是图, e E, e的两个端点分别为 u和v, 则称边e与节点u以及边e与节点v是关联的.
1
例：有7个人围桌而坐，如果要求每次相 邻的人都与以前完全不同，试问不同的就 座方案共有多少种？
用顶点表示人，用边表示两者相邻， 因为最初任何两个人都允许相邻，所以任 何两点都可以有边相连。
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假定第一次就座方案是 （1，2，3，4，5，6，7，1），那么第 二次就座方案就不允许这些顶点之间继 续相邻，只能从图中删去这些边。