贝叶斯公式的应用

贝叶斯公式的应用

张利娟

摘要：贝叶斯公式是概率论中重要的公式，在实际中有广泛的应用。本文结合全概率公式，就公共生活中有关传染病防治和测谎仪是否真的能测谎两个问题，说明了它们的用法。并给出相关的意见。

关键词：全概率公式；贝叶斯公式；应用

引言

一个随试验的样本空间都可以找到有限个或可列个基本事件构成一个分割，任一复合事件都可以由这几类基本事件组合而成。例如：有一个袋子，装有白球、黑球和红球，取出两个球，则“取出两球颜色相同”这一事件，可由“取出两个白球”，“取出两个黑球”，“取出两个红球”复合而成。对这类问题从概率上表达时发生可能性之间关系的公式就是全概率公式，与其互逆的即为贝叶斯公式。1.全概率与贝叶斯公式

若事件B1，B2，…，Bn是样本空间Ω的一个划分，P（Bi）> （i= 1、2、3、…n），A是任一事件且P（A）> 0，则有

其中, P(A) 可由全概公式得到。即

我们主要应用公式的简单情形, 即对任意两个事件A 和B, 根据贝叶斯公式有其中

事件B的概率通常是根据以往的数据分析得到的，对我们而言，所求的P(A|B)通常更有用。

2 . 贝叶斯公式的应用

资料显示, 某项艾滋病血液检测的灵敏度(即真有病的人检查为阳性)

为95%, 而对没有得病的人这种检测的准确率( 即没有病的人检查为阴性) 为99%. 美国是一个艾滋病比较流行的国家, 估计大约有千分之一的人患有这种病。为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播, 几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查。该计划提出后, 征询专家意见, 遭到专家的强烈反对, 计划没有被通过。

现在我们用贝叶斯公式分析专家为何反对通过这项计划。

设A = { 检查为阳性} , B = { 一个人患有艾滋病} . 根据文中叙述可知,

由全概率公式

P(A)=0.001×0.95+0.999×0.01= 0.01094.

由贝叶斯公式

也就是说, 被检测患有艾滋病而此人确实患有该病的概率大约为0.087。这个结果使人难以接受, 好像与实际不符。从资料显示来看, 这种检测的精确性似乎很高。因此，一般人可能猜测，如果一个人检测为阳性, 他患有艾滋病的可能性很大。如果通过这项计划, 势必给申请登记的新婚夫妇带来不必要的恐慌。因为约有91. 3%的人并没有患艾滋病。为什么会出现与直觉如此相悖的结果呢? 这是因为人们忽略了一些基础信息, 就是患有艾滋病的概率很低, 仅为千分之一。因此，在检测出呈阳性的人中大部分是没有患艾滋病的。

但是, 我们也应该注意到, 这项检测还是为我们提供了一些新的信息. 计

算结果表明, 一个检测结果呈阳性的人患有艾滋病的概率从最初的0. 001 增加到了0. 087, 这是原来患有艾滋病概率的87倍.进一步的计算, 我们得到一个检查呈阴性而患有艾滋病的概率为

因此, 通过这项检测, 检查呈阴性的人大可放宽心, 他患有艾滋病的概率

已从千分之一降低到十万分之六。