常微分方程的解法及应用(常见解法及举实例)
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华北水利水电大学
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
． 由于
是特征方程的重根，所以应设
为
． 把它代入所给方程，得
． 比较等式两端同次幂的系数，得
解得
．因此求得一个特解为
． 从而所求的通解为
．
结束语：经过对常微分方程的解法及应用的学习，我们大体对 常微分方程的定义，定理，解法及应用 做了大致的了解。我 们可以根据具体问题的性质和所给的条件，建立一个含有未知 函数及其导数和微分的关系式，再通过积分等方法，从微分方 程中确定出所求的未知函数。对微分方程具体有常数变易法、 降阶法。对微分方程的应用可以具体解决许多生活中的实际问 题，得到各种变化率，以联系具体问题！！
（Common solution and examples）
Abstract: Ordinary differential equation is an important part of
calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
． 其中、为系数待定的的次多项式，由下列情形决定：
（1）当是对应齐次方程特征根时，取； （2）当不是对应齐次方程特征根时，取．
2.6二阶微分方程的应用举例
例1 求微分方程
的通解． 解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且
呈
型（其中
）． 与所给方程对应的齐次方程为
， 它的特征方程
有一对重根
．于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性
英文题目：
The solution of ordinary differential equations and its application
参考文献 [1] 上海交通大学&集美大学. 高等数学[M].北京：科学出版社 2011-264-305
分工情况 前3节由刘**完成 后3节由孙**完成 摘要、引言、排版、最终核定由张**完成
注：仅供大家参考交流之用。 谢谢支持！！！
源自文库
2 、研究问题及成果 2.1 一阶微分方程
2.1.1 变量可分离的微分方程
形如的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如 果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到， 为任意常数．由该式所确定的函数关系式就是常微分方程的解．
例1：求解的通解。
解：→→→通解：
2.1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想）
一阶微分方程可以化成的形式。
求解：， （可分离变量）通解 例2：解方程
2.1.3 一阶线性微分方程
若 ，称为一阶齐次线性微分方程。 若（），称为一阶非齐次线性微分方程。 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的 齐次方程的通解 与 非齐次方程的一个特解 之和。 解的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 （齐次方程通解）采用积分因子法求的一个特解如下 （ ）的通解为：
当均为常数，即或其中p,q均为常数。 求解： 三种情况：1）两个不等实根：
2）两个相等实根 ： 3）一对共轭复根：
2.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
若方程（1）中，其中是的次多项式，则方程（1）的一特解具有如 下形式 其中是系数待定的的次多项式，由下列情形决定：
（1）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的单根时，取； （2）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的重根时，取； （3）当不是方程（1）对应的齐次方程的特征根时，取． （2）或 定理3 若方程（1）中的或（是的次多项式），则方程（1）的一个特解 具有如下形式
就是（方程一）的通解，其中是任意常数 例3： 解： 可验证：和是的两个解，线性无关
2.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构
定理3 设是方程(5.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则 就是二阶非齐
次线性微分方程（方程二）的通解.
2.5二阶常系数线性微分方程
2.5.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法
分析：
输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg)
+新陈代谢1200 cal ／天
2.3高阶微分方程的降阶法
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，求高阶微分方 程通解的方法成为降阶法
2.3.1 y(n) = f (x) 型：
解法：
2.3.2 y" = f (x,y') 型
解法： 2.3.3 y" = f (y,y') 型
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
Key words: Differential equations、Reduced-order method、 Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear
1、 引言
微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问 题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是 根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分 的关系式。这样的关系式，我们称其为微分方程。再通过积分 等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数，即求解微分方 程。这就是本文要讨论的问题。
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
． 由于
是特征方程的重根，所以应设
为
． 把它代入所给方程，得
． 比较等式两端同次幂的系数，得
解得
．因此求得一个特解为
． 从而所求的通解为
．
结束语：经过对常微分方程的解法及应用的学习，我们大体对 常微分方程的定义，定理，解法及应用 做了大致的了解。我 们可以根据具体问题的性质和所给的条件，建立一个含有未知 函数及其导数和微分的关系式，再通过积分等方法，从微分方 程中确定出所求的未知函数。对微分方程具体有常数变易法、 降阶法。对微分方程的应用可以具体解决许多生活中的实际问 题，得到各种变化率，以联系具体问题！！
（Common solution and examples）
Abstract: Ordinary differential equation is an important part of
calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
． 其中、为系数待定的的次多项式，由下列情形决定：
（1）当是对应齐次方程特征根时，取； （2）当不是对应齐次方程特征根时，取．
2.6二阶微分方程的应用举例
例1 求微分方程
的通解． 解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且
呈
型（其中
）． 与所给方程对应的齐次方程为
， 它的特征方程
有一对重根
．于是与所给方程对应的齐次方程的通解为
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性
英文题目：
The solution of ordinary differential equations and its application
参考文献 [1] 上海交通大学&集美大学. 高等数学[M].北京：科学出版社 2011-264-305
分工情况 前3节由刘**完成 后3节由孙**完成 摘要、引言、排版、最终核定由张**完成
注：仅供大家参考交流之用。 谢谢支持！！！
源自文库
2 、研究问题及成果 2.1 一阶微分方程
2.1.1 变量可分离的微分方程
形如的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如 果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到， 为任意常数．由该式所确定的函数关系式就是常微分方程的解．
例1：求解的通解。
解：→→→通解：
2.1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想）
一阶微分方程可以化成的形式。
求解：， （可分离变量）通解 例2：解方程
2.1.3 一阶线性微分方程
若 ，称为一阶齐次线性微分方程。 若（），称为一阶非齐次线性微分方程。 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的 齐次方程的通解 与 非齐次方程的一个特解 之和。 解的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 （齐次方程通解）采用积分因子法求的一个特解如下 （ ）的通解为：
当均为常数，即或其中p,q均为常数。 求解： 三种情况：1）两个不等实根：
2）两个相等实根 ： 3）一对共轭复根：
2.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
若方程（1）中，其中是的次多项式，则方程（1）的一特解具有如 下形式 其中是系数待定的的次多项式，由下列情形决定：
（1）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的单根时，取； （2）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的重根时，取； （3）当不是方程（1）对应的齐次方程的特征根时，取． （2）或 定理3 若方程（1）中的或（是的次多项式），则方程（1）的一个特解 具有如下形式
就是（方程一）的通解，其中是任意常数 例3： 解： 可验证：和是的两个解，线性无关
2.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构
定理3 设是方程(5.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则 就是二阶非齐
次线性微分方程（方程二）的通解.
2.5二阶常系数线性微分方程
2.5.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法
分析：
输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg)
+新陈代谢1200 cal ／天
2.3高阶微分方程的降阶法
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，求高阶微分方 程通解的方法成为降阶法
2.3.1 y(n) = f (x) 型：
解法：
2.3.2 y" = f (x,y') 型
解法： 2.3.3 y" = f (y,y') 型
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
Key words: Differential equations、Reduced-order method、 Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear
1、 引言
微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问 题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是 根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分 的关系式。这样的关系式，我们称其为微分方程。再通过积分 等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数，即求解微分方 程。这就是本文要讨论的问题。