第一章 1 概率论的基本概念

B {HHH , TTT }
A B { HHT , HTH , HTT }
B A { TTT }
A

B
互斥
A B Ø
则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的
A B 事件A和事件B不能同时发生
A
B

实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .
“骰子出现1点” 互斥
样本空间的两个特殊子集
它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次
试验中它总是发生，称为必然事件 .
它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不 发生,称之为不可能事件 .
随机试验 样本空间 子集 随机事件
三、事件间的关系与运算
研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂 的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间 的关系和运算来规定
• 由上圖可以得知，由於梅雷贏的可能性為 (1/2)+(1/4)=3/4，因此可以拿走全部賭金的 3/4，亦即代表64*(3/4)=48枚金幣，A先生 贏的可能性為1/4，所以只可以拿走全部賭 金的1/4，亦即代表可以拿走64*(1/4)=16枚 金幣。
• 費馬很認真地做了一般性的研究，他計算了這樣一個問題： 如果甲差兩局就獲勝，乙差三局獲勝，這時賭局中止了， 賭金該如何分配呢？ • 費馬首先想到，如果賭局可以繼續，最多只要再四局就結 束了。他又想到，如果乙贏兩局，甲贏兩局，甲就贏了； 如果甲贏一局，乙贏三局，乙就贏了。
k 1 2 k k 1
E2 A { 第一次出现正面 } { HHH，HHT , HTH , HTT }
B { 三次出现同一面 } {HHH , TTT }
A B { HHH , HHT , HTH , HTT , TTT }
A

B
积事件
A B { A且 B}
• 经验告知出现10 的机会比出现9的机会要多，原 因何在？伽利略利用列举法得出同时掷三颗骰子 出现点数和为9的情形有25种，而出现点数和为 10 的情形却有27种。 • 1651年7月29日，法國數學兼物理學家巴斯卡 (Pascal, 1623-1662)在旅行途中，偶然遇到一位 法国贵族德﹒梅耳為了消磨旅途的寂寞，梅耳與 巴斯卡聊起在賭場中曾經遇到一個非常有趣的賭 金分配問題。梅雷說有一次他與某賭友
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象.
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观
察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2
“用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹落点会各不相同”. 实例3 “抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
• 近代自然科学传创始人之一——伽利略 （Galieo,1564_1642）解决了如下问题： 同时投下三颗骰子点数和为9的情形 （1，2， 6），（1，3，5）（1，4，4）（2，2， 5），（2，4，4）和（3，3，4）。点数和 为10 的情形也有6种：（1，3，6），（1， 4，5），（2，2，6），（2，3，5）， （2，4，4）和（3，3，4），难么出现点 数和为9与10 的机会应相同，而
• 接下來費馬列出了這四局的所有可能，並說：「這四局一 共有十六種可能，就是……」
• 甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲
• 乙甲甲甲 甲甲乙乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 • 甲乙甲乙 乙甲甲乙 乙甲乙甲 乙乙乙甲 • 乙乙甲乙 乙甲乙乙 甲乙乙乙 乙乙乙乙
•
他接著說：「這十六種情況中，只要甲出 現超過兩次的，甲都能贏，一共有十一種； 而乙必須出現超過三次才有辦法取勝，只 有五種。所以以這個例子來說，賭金應該 以１1：５的比例分配。」
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
A

A
按差事件和对立事件的定义，显然有A B AB
A
B

A
B

运算规律
1.交换律 A B B A A B B A 2.结合律 A ( B C ) ( A B) C
事件A B是事件A与事件B的积事件 事件A B发生 事件A与事件B同时发生 积事件A B可简记为AB
称 Ak 为n个事件A1，A2， ，An的积事件；
k 1 n
称 Ak 为可列个事件A1 , A2 ,, An , 的积事件
k 1
E2 A { 第一次出现正面 } { HHH，HHT , HTH , HTT }

说明
由随机试验E的第二特征可知，E的样本空间 是事先明确的。
E1 抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况
1 { H , T }
E2 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况
2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }
E3 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数
第一节 随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验（简称试验，记作E） 1. 重复性：可以在相同的条件下重复地进行；
2. 明确性：能事先明确试验的所有可能结果，
结果不止一个；
3. 随机性：每次试验之前不能确定哪一个结果
会出现。
wk.baidu.com例
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 分析
3 {0, 1, 2, 3}
同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的样本空 间也不同.
E4 抛一颗骰子，观察出现的点数
4 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E5 记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数
5 { 0, 1, 2, 3, 4, }
E6 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面H，反面T;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
见书P1：E1— E7
第二节 样本空间、随机事件
一、样本空间
定义 随机试验E的所有可能结果构成的集合 称为E的样本空间，用（或S）表示； 中的元素（E的每一个可能结果）称为 样本点。用 表示。
例1 设
C A，B， 是随机事件，则事件
{
{
C A与 B发生， 不发生}可以表示成 ABC
第一章 概率的基本概念
第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型（古典概型） 第五节 条件概率 第六节 独立性
两类现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例: “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
察出现的点数”.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科.
通过随机试验来研究随机现象。
6 { t t 0 }
E7 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度
7 {( x, y) | T0 x y T1}
二、随机事件
在随机试验中，我们常常对满足某种条件的事件感兴趣。 例如
E6 在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命
规定灯泡的寿命超过500小时时为合格品 满足这一条件的样本点组成
B { 三次出现同一面 } {HHH , TTT }
A B { HHH }
A

B
差事件
A B { A且 B}
事件A B称为事件A与事件B的差事件 事件A B发生 事件A发生而事件B不发生
E2 A { HHH ，HHT , HTH , HTT }
概率论起源
• 法国数学家拉普拉斯(Laplace):“生活中最重 要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率 的问题.” • 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概 率论大加赞美：“概率论是生活真正的领 路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们 就寸步难行,无所作为.
• 意大利数学家帕乔利﹝Pacioli﹞在1494年出版的 《算术》中有如下问题：两个人进行赌博，规定谁 先胜6场谁为胜者。一次当甲已获胜5场，乙也获 胜2场时，比赛因故中断。那么赌注该如何分配呢？ 所给答案为将赌注分成7份，按5：2分给甲乙二 人。
A B

B
A
和事件
A B { A或 B }
事件A B是事件A和事件B的和事件
事件A B发生 事件A发生或事件B发生 事件A与B至少有一个发生
称 称
A 为 n 个事件 A，A ， ，A 的和事件；
k
n
1
2
n
k 1

A 为 可列 个事件A , A ,, A ,的和事件
• 当吉罗拉莫· 卡尔丹诺（Girolamo Cardano， 1501——1576）看到时，认为分法不妥。
• 他考虑到接下去比赛的几种可能结果，认 为赌注应该按10：1分配（现在看来，其分 法也是错误的）卡尔丹诺著有《论赌博》 一书，其中提出一些 概率计算问题。入掷 两颗骰子出现的点数和各种可能性等。此 外，卡尔丹诺与塔塔利亚还考虑了人口统 计，保险业等问题。
• 梅雷提出這個分賭注的問題，引起巴斯卡 的興趣，在百思不得其解之後，於1654年 時，巴斯卡寫信去問費馬(Fermat, 16011665)這個問題，因此展開雙方有名的書信 往來過程，開啟日後機率論的起源。 • 針對這個問題，因為梅雷已贏得2局，而A 先生只贏1局，直覺來說應該將賭金平分成 3份，而梅雷得其中2份，A先生得其中1份， 但由下圖可以得知，事實並非如此。
“骰子出现2点”
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A A
事件 A发生 事件A不发生
A A A A
故在每次试验中事件A ， 中必有一个且仅有一个发生 A
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
随机试验E的样本空间
其他事件 A,B,C,Ak (k 1, 2,3,)
子事件
和事件 积事件 差事件 互斥（互不相容）
对立事件（逆事件）
运算规律
子事件
A B
E6
事件A是事件B的子事件
含义：事件A发生必然导致事件B发生
A { 灯泡寿命不超过800小时 }
B { 灯泡的寿命不超过1000小时 }
• (以下代稱A先生)擲骰子時，各押32個金幣 為賭注，雙方約定如果誰先贏得3局，就可 以把賭金全部拿走，但因為梅雷臨時有事， 所以賭局不得不中途中斷。此時梅雷已經 贏得2局，而A先生只贏1局，兩個人為了如 何公平分配賭金有所爭執。 A先生認為只要 他再贏2局或梅雷再贏1局即可把賭金拿走， 因此他
• 有權拿走全部賭金的1/3，而梅雷可拿走全 部賭金的2/3。但梅雷卻認為，即使下一局 A先生贏了，也只是處於平手狀況，因此他 有權拿走全部賭金的1/2，而在下下一局雙 方皆有一半贏的機會，因此梅雷又可以再 拿走剩下賭金的1/2，所以最後A先生可以 拿走全部賭金的1/4，而梅雷可拿走全部賭 金的3/4，那麼誰說的是對的呢?
A ( B C ) ( A B) C
3.分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
4.对偶律 A B A B
A B A B
注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去
6 的一个子集
A { t t 500 }
称 A 为随机试验E6 的一个随机事件
定义 简称事件，用A，B，C，…表示。 见书P3例1
基本事件： 由一个样本点组成的单点集
随机试验 E1 有两个基本事件{H }和 {T }
{ { 随机试验 E3 有四个基本事件{0}、1}、2}和{3}
复合事件：由多个样本点构成的集合。 在一次试验中，称事件A发生，当且仅当A中所 包含的某一个样本点出现。