第十章 常微分方程(组)的求解-2014120120190541.

线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们 的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方 程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这 一思路求得显式解。 高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得 相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法 求特解。

一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给 一个 n 阶方程
y ' ay b
f ' f g , g ' g f , f ' (0) 1, g ' (0) 1
（2） y' ' sin(2 x) y, y(0) 0, y' (0) 1
方程（1）求解的MATLAB代码为： >>clear; >>s=dsolve('Dy=a*y+b') 结果为 s =-b/a+exp(a*t)*C1

四、解微分方程的MATLAB命令
MATLAB中主要用dsolve求符号解析解， ode45,ode23,ode15s求数值解。

s=dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…,’初始条 件1’，’初始条件2’ …,’自变量’)
用字符串方程表示，自变量缺省值为t。导数用D表示，2阶导数 用D2表示，以此类推。S返回解析解。在方程组情形，s为一个符 号结构。
联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为 微分方程的阶。 若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线 性常微分方程，一般表示为

y ( n) a1 (t ) y ( n1) an1 (t ) y'an (t ) y b(t )
这样导出计算公式（称为Euler格式）
yk 1 yk hf (t k , yk ), k 0,1,2,
他能求解各种形式的微分方程。Euler法也称折线法。
Euler方法只有一阶精度，改进方法有二阶 Runge-Kutta法、四阶Runge-Kutta法、五 阶Runge-Kutta-Felhberg法和先行多步法 等，这些方法可用于解高阶常微分方程（组） 初值问题。边值问题采用不同方法，如差分法、 有限元法等。数值算法的主要缺点是它缺乏物 理理解。
[tout,yout]=ode45(‘yprime’,[t0,tf],y0)
采用变步长四阶Runge-Kutta法和五阶Runge-Kutta-Felhberg法 求数值解，yprime是用以表示f(t,y)的M文件名，t0表示自变量的 初始值，tf表示自变量的终值，y0表示初始向量值。输出向量 tout表示节点(t0,t1, …,tn)T,输出矩阵yout表示数值解，每一 列对应y的一个分量。若无输出参数，则自动作出图形。
ode45是最常用的求解微分方程数值解的命 令，对于刚性方程组不宜采用。ode23与 ode45类似，只是精度低一些。ode12s用来 求解刚性方程组，是用格式同ode45。可以用 help dsolve, help ode45查阅有关这些命令 的详细信息.


例1 求下列微分方程的解析解
（1） （3）
数学实验
第十章 常微分方程（组） 的求解
一、微分方程的概念
未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变 量都由一已知方程联系在一起的方程称为微 分方程。 如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。 常微分方程的一般形式为

F (t, y, y' , y",, y ) 0
(ห้องสมุดไป่ตู้n)
如果未知函数是多元函数，成为偏微分方 程。

方程（2）求解的MATLAB代码为： >>clear; >>s=dsolve('D2y=sin(2*x)y','y(0)=0','Dy(0)=1','x') >>simplify(s) %以最简形式显示s。

结果为 s =(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x) ans =-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)。
t 0 t1 t n t f 上的近似值 y k , k 0,1,, n ，称
hk t k 1 t k 为步长，通常取为常量
h
， 最简单的
数值解法是Euler法。
Euler法的思路极其简单：在节点出用差商 近似代替导数

y (t k 1 ) y (t k ) y ' (t k ) h

y ( n) f (t, y' , y",, y ( n1) )
设
y1 y, y2 y' ,, yn y (n1)，可将上式化为
y1 ' y 2 y ' y 2 3 y' y n n 1 y n ' f (t , y1 , y 2 , , y n )

y' (t ) f (t , y(t )),t 0 t t f y(t 0 ) y0
其中 y ( y1 , y2 ,, ym )', f ( f1 , f 2 ,, f m )', y0 ( y10 , y20 ,, ym0 )'.

所谓数值解法，就是寻求 y(t ) 在一系列离散节点
若上式中的系数 无关，称之为常系数。
ai (t ),i 1,2,, n
均与
t
二、常微分方程的解析解

有些微分方程可直接通过积分求解.例如，一
dy dy dt ， y 1 可化为 阶常系数常微分方程 y 1 dt
两边积分可得通解为
y cet 1
。其中 为任意常数。
c
有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法, 积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分 的方程而求得解析解.
一阶方程组
反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也 可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶 常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的， 一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求 解。

三、常微分方程的数值解法
除常系数线性微分方程可用特征根法求解， 少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分 微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。 考虑一阶常微分方程初值问题