第三章 杆件横截面上的应力应变分析

第三章杆件横截面上的应力应变分析
利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。

如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。

这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。

本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。

第一节应力、应变及其相互关系
一、正应力、剪应力
观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：
（3-1）
亦称为面积上的平均应力。

一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。

当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。

(3-2)
式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。

p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。

称为正应力，称为切应力。

在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。

由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。

二、正应变、切应变
杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。

若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。

把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。

变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。

变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。

相对变形
(3-3)
表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。

当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为
(3-4)
式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。

用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。

弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN 和ML正交，变形后变为∠LˊMˊNˊ，变形前后角度的变化是（π/2-∠LˊMˊNˊ）。

当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。

=(π/2-∠LˊMˊNˊ) (3-5)
ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两个基本量。

构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。

三、虎克定律
由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变ε相对应的应力是正应力σ，与切应变相对应的是切应力τ。

试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（应力小于某一极限值），若所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：
σ=Eε(3-6)
τ=G(3-7)
其中，E和G为与材料有关的常数，分别称为弹性模量或杨氏模量和切变模量，其常用单位为吉帕（Gpa）,1Gpa= 109pa。

上两式均称为虎克定律。

第二节直杆轴向拉压变形时横截面上的正应力
一、横截面上的正应力公式推导
由于应力是不可见的，而应变却是可见的，而且两者之间存在着关系，如式（3-6），（3-7）。

因此为了推导杆件横截面上的应力，必须分析杆件的变形。

变形前，在等直杆的侧面上画一些垂直于杆轴的直线（图3-3a）。

拉伸变形后，发现这些直线仍然垂直于轴线，只是分别平移了一段距离（图3-3b）。

根据这一现象，可以提出平截面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。

根据平截面假设，拉杆所有纵向纤维的伸长是相同的。

由均匀性假设可知，材料是均匀的，所以纵向纤维的受力是相等的。

从而推得，横截面上各点的正应力也是相等的，即正应力均匀分布于横截面上，所以
(3-8)
式中为轴向拉压杆横截面上的正应力，一般规定拉应力为正，压应力为负；FN为横截面上的内力；A为横截面的面积。

另外根据平截面假设可知横截面上不存在切应力。

虽然上述公式也可应用于FN为压力时的压应力计算，但要注意对于细长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题，这一内容将在后面专门研究，因此这里所指的是受压杆未被压弯的情况。

公式同样适用于杆件横截面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆，这时式（3-8）为
(3-9)
式中σ(x)、F N(x) 、A(x) 都是横截面位置x的函数。

在用公式（3-8）计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅取决于物体所受外力合力的大小，而很少考虑外力的分布方式。

事实上，不同的外力作用方式对外力作用点附近区域内的应力分布有着很大的影响，至于该影响到底有多大，可由圣维南原理加以说明。

圣维南原理：将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处（距离约等于截面尺寸），该影响就非常微小。

根据这一原理，杆件上复杂的外力系就可以用简单的力系取代。

在离外力作用截面略远处，
仍然可用公式（3-8）计算应力。

二、应力集中的概念
由圣维南原理可知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处足够远的横截面上的正应力是均匀分布的。

但是，如果杆截面尺寸有突然变化，如杆上有孔洞、沟槽或制成阶梯形时，截面突变处局部区域的应力将急剧的增大（图3-4）。

这种现象称为应力集中。

应力集中处的最大应力,与削弱以后横截面上的平均应力的比值，称为理论应力集中系数，用表示，即
理论应力集中系数与杆件的材料无关，它反映了应力集中的程度。

实验及理论分析表明，截面尺寸改变愈急剧、孔愈小、圆角愈小，应力集中的程度就愈严重，因此在工程实际中要尽可能的避免这些情况。

例3-1 等截面直杆，已知F1=10kN，F2=40kN，F3=50kN，F4=20kN，截面直径d=16mm（图3-5 。

试求杆内的最大应力
解（1）求各段的轴力。

用截面法，可以求出杆三段的轴力，其大小及方向见图3-5 。

（2）求最大应力。

由轴力图可知，最大轴力发生在BC段，其数值为= 30kN，是压力。

从而杆内的最大应力即发生在BC段，其大小为：
例3-2 试求图3-6a所示等截面的直钻井杆，在自重作用下杆横截面上的应力。

已知杆件的密度为，横截面面积A ，杆长为l。

解分析可知，杆的内力是由其自重引起的，故杆的不同截面上的内力不同，是截面位置的函数F N=F N(x) 。

在距离杆下端为任意位置x处，运用截面法将杆件沿x截开，取下面一部分为研究对象，脱离体的受力图见3-6b。

由平衡条件得：
第三节圆轴扭转时横截面上的切应力
一、实验现象和平面假设
为了确定圆轴扭转时横截面上的应力，同样必须要研究圆轴的变形，也就是说要对圆轴进行扭转变形试验，把观察到的变形现象进行分析，提出一些假设，从而进一步寻找变形的几何关系，再综合考虑物理和静力学方面，最后才能导出应力公式。

为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画上几条纵向线和圆周线（图3-7a）。

然后施加外力偶矩，使圆轴发生微小的弹性变形（图3-7b）。

这时可以看到以下变形现象：
1．所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一角度，变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成菱形。

2．所有圆周线都相对地绕轴线转过了不同角度，且圆周线的大小、形状及其相互之间的距离均保持不变。

根据观察到的现象，作如下假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截面之间的距离不变。

这就是圆轴扭转的平面假设。

按照这一假设，可设想圆轴的横截面就像刚性平面一样绕轴线转过了一定的角度。

以平面假设为基础导出的圆轴扭转的应力和变形计算公式，符合实验结果，且与弹性力学公式一致，从而说明该平面假设是正确的。

根据平面假设，既然圆轴横截面的形状、大小及其相互之间的距离在变形后保持不变，说明圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可认为扭转圆轴横截面上无正应力，只可能存在切应力。

同时由于圆轴的相对转动引起纵向线的倾斜，倾斜的角度就是圆轴表面处的切应变。

二、横截面上的切应力计算公式推导
1．几何方面
从图3-7b所示受扭圆轴中取dx 微段并放大于图3-8a中,再从所取微段中任取半径为的圆柱（图3-8b）。

横截面nn相对于mm转过的角度，称为相对扭转角。

以为半径的圆柱表面处的切应变用表示。

因为变形很小，故由图3-8b可知：
(a)
式中/dx表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，在同一截面上它为一常数。

所以切应变与成正比。

2．物理关系
设圆轴服从虎克定律。

则由剪切虎克定律（3-7）可知，半径处的切应力为：
(b)
上式表明，横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正比。

由于与半径垂直，所以切应力也与半径垂直。

3．静力学关系
由于式（b）中/dx未知，故必须利用静力学关系式求取。

考察微面积d(A)上的微切力，如图3-9所示。

它对圆心O的微内力矩为，其合力矩即为该截面上的内力
M X（由平衡条件可知：M（x）=T）。

所以
(c)
将式（b）代入上式，则有
（d）
式中，称为圆截面对圆心的极惯性矩，是与圆截面的大小及形状有关的几何量，
它描述截面的一种几何性质，其常用单位为mm4或m4。

由（b）、（d）两式可得圆轴横截面上任一点的切应力为
(3-10)
式中Mx为所求横截面上的扭矩，Ip为截面极惯性矩，为所求点到圆心的距离。

公式表明，距圆心为的一点处的切应力，与该点到圆心的距离成正比，与横截面上的扭矩成正比，与该截面对的极惯性矩成反比。

对某一横截面而言，其上的扭矩Mx是常数，Ip也是确定的，故该横截面上的切应力仅仅是的线性函数。

显然，在圆心处，=0 ，在圆轴表面处，=，且
max
（e）
其中，和均为几何量，令
称为圆截面的抗扭截面模量，单位为mm3或m3。

于是式（e）可以写成
(3-11)
由上述分析可知，受扭圆轴横截面上切应力分布规律如图3-10a所示。

要运用以上公式计算横截面上的切应力大小，必须先计算截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp。

对于直径为D的实心圆截面（图3-11），取代入可得
（3-12）
从而（3-13）
若圆轴为空心圆截面（图3-12），该截面的内径为d，外径为D，则
（3-14）
（3-15）
其中，=d/D为截面内、外径之比。

受扭空心圆截面上切应力分布规律如图3-10b所示。

公式（3-10）可适用于任何实心或空心圆截面的受扭圆轴。

若对于空心圆截面，当内、外径非常接近，特别是当时，空心圆轴可视为薄壁圆筒（图3-13）。

因为薄壁圆筒的壁很薄，故可认为横截面上的切应力均匀分布，此时
横截面上的切应力为
(3-16)
式中R0为薄壁圆截面的平均半径，为壁厚，该公式可适用于任何受扭的闭合薄壁杆。

三、切应力互等定理(纯剪切)
在图3-14a所示受扭圆轴中，A为圆轴表面处的任意一点。

用四个平面和一个圆柱面围绕A点切出一瓦片状微块体（图3-14b）。

因微块体尺寸很小，故可视为边长为dx、dy、dz 的正六面体（图3-14c），即单元体。

图3-14
因为单元体的左右两侧面是圆轴的部分横截面，所以这两个侧面上有切应力，且左侧面切应力方向向上，右侧面的方向向下。

这一对在单元体左右两侧面上的合力组成一力偶，大小为。

为使单元体保持平衡，必有另一等值反向的力偶作用在单元体上。

因此，单元体的上下侧面上必存在切应力，它们的合力组成力偶，并与力偶
平衡，即
()dy =
从而
=
由此可见，在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线。

这一规律称为切应力互等定理。

该定理具有普遍意义，即任何两个相互垂直的平面，只要一个面上有垂直于两平面交线的切应力，而不管该平面上是否同时存在正应力，另一个面上也必有切应力存在，其大小和方向均符合切应力互等定理的规定；反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力，另一面上也没有相应的切应力。

图3-14c所示单元体，四个侧面上均只有切应力而无正应力。

单元体的这种应力情况称为纯剪切应力状态，简称纯剪切。

由于单元体的前后面上均没有应力，因此为方便起见，A点的纯剪切应力状态通常画成图3-14d所示的平面形式。

圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态。

例3-3一直径为D=50㎜的圆轴，受到扭矩Mx=2.15kNm的作用。

试求在距离轴心10㎜处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。

解首先求截面的极惯性矩
根据公式（3-10）有
而＝87.7MPa
例3-4 如将上题中轴的实心圆截面改为内、外径之比为1：2的空心圆截面，要使两种情况产生相同的最大切应力，求此时空心截面的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。

解由上题求得实心圆截面。

设空心圆截面的内、外径分别为d和D,
=d/D=1/2，此时横截面上最大切应力为
= Pa ，
根据题意必须有，从而可求得D=51.1mm。

在两轴长度相等、材料相同的条件下，两轴重量之比等于横截面面积之比：
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只有实心轴的80%，说明空心截面比实心节省材料。

如果将空心截面改为薄壁截面，可以发现节省材料更为明显。

第四节矩形截面杆扭转时横截面上的切应力
一、非圆截面杆扭转的概念
上一节讨论了圆形截面杆的扭转，但有些受扭杆件的横截面并非圆形。

例如曲轴的曲柄承受扭转，而其横截面是矩形的。

试验表明，非圆截面杆受扭转时横截面将成为曲面，产生所谓翘曲现象，如图3-15所示矩形截面杆的扭转。

所以对于非圆截面杆，平面假设不再成立，
根据平面假设所建立的扭转应力公式显然不再适用。

非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法去研究。

非圆截面杆的扭转分为自由扭转（纯扭转）和约束扭转两种。

等直杆受力偶作用发生扭转时，若各横截面可以自由翘曲，因而翘曲程度相同，此时杆的横截面上只有切应力而无正应力，这种扭转称为自由扭转。

若横截面的翘曲受到某些限制，引起横截面的翘曲程度不同，这种情况将在横截面引起正应力，即横截面上既有切应力，又有正应力，这一种扭转称为约束扭转。

对实心的矩形等截面直杆，约束扭转引起的正应力通常很小，可忽略不计。

但对于工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转引起的正应力往往很大，需要考虑其影响。

可以证明，杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。

因为边缘各点的切应力如不与边界相切，总可分解为边界切线方向的分量和法线方向的分量（图3-16）。

根据切应力互等定理，应与杆件自由表面上的切应力相等。

但在自由表面上不可能有切应力。

因此在边缘各点就只可能有沿边界切线方向的切应力。

在横截面的凸角处，根据以上类似的分析可知，切应力为零
二、矩形截面杆扭转切应力计算简介
对于矩形截面杆扭转的切应力，这里不加推导地引用一些弹性力学的研究结果。

1．切应力的方向。

周边处的切应力与周边平行；对称轴处的切应力与对称轴垂直（图3-17）2．切应力大小。

在矩形截面的四个角点A、B、C、D和矩形中心O处的切应力均为零，切
应力的最大值在矩形长边的中点，且按下列公式计算：
(3-17)
在横截面短边中点处，切应力为：
(3-18)
上两式中,、是一个与比值h/b有关的系数，其数值见表3-1。

当时，截面成为狭长矩形，这时。

表中的值是计算矩形截面杆的相对扭转角时用的，这将在后面的章节中讨论。

例3-5某矩形截面轴，截面高h=100mm ，宽b=45mm ，传递的扭转力偶矩T=2kNm。

试求矩形截面轴的最大切应力。

解因为h/b=100/45=2.2,从表中查得h/b=2.0时，=0.246；h/b=2.5时，=0.258，用线性插入法求得
该截面的扭矩，于是，求得矩性截面轴的最大切应力为
第五节梁平面弯曲时横截面上的正应力
一、纯弯曲
上一章详细讨论了梁横截面上的剪力和弯矩。

一般情况下，这两种内力同时存在。

很显然，弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；
剪力是相切于横截面的内力系的合力。

所以，弯矩M只与横截面上的正应力有关，而剪力只与横截面上的切应力有关。

本节研究相应于弯矩和剪力的正应力和切应力的分布规律。

首先考察图3-18a所示的矩形截面简支梁。

梁上有两个外力F对称地作用于梁的纵向对称面内。

其计算简图、剪力图和弯矩图分别表示于图3-18b、c、和d中。

由图可见，在梁的AC 和DB两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而同时存在正应力和切应力。

这种情况称为横力弯曲。

在CD段内，梁横截面上剪力为零，弯矩为常数，从而梁的横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。

由于梁横截面上应力分布各点不同，所以应力计算公式推导过程与圆轴扭转时应力公式的推导一样，需综合考虑几何、物理和静力学三个方面的关系。

为此，先来观察一下纯弯曲时梁的变形情况，并根据变形情况作出分析和假设。

1．实验观察
考虑具有纵向对称面的等直梁，在梁侧面画上几条纵向线和横向线（图3-19a），然后在梁的两端施加力偶矩M，使梁产生微小弯曲变形（图3-19b），可观察到下列变形现象：
纵向线都弯成弧线，且梁上部纵向线缩短，下部伸长。

横向线仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍与纵向线正交。

2．假设和结论
根据上述变形现象，经过分析和推理，作如下平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍与变形后的轴线正交。

设想梁由无数平行于轴线的“纵向纤维”组成。

发生弯曲变形后，假定轴线发生如图3-20所示凸向下的弯曲，则必然要引起靠近底面的纤维伸长，靠近顶面的纤维缩短。

又因为横截面保持为平面，所以沿截面高度，纤维应由底面的伸长连续地变为顶面的缩短，中间必然有一层纤维的长度不变。

这一层称为中性层。

中性层与横截面的交线称为中性轴，显然横截面绕中性轴转动。

除了平面假设以外，我们还假定梁的纵向纤维间无挤压，也即纵向纤维间无正应力。

在纯弯曲情况下，由于横截面保持为平面，且处处与纵向线正交，说明横截面各点处无切应变，也就不存在切应力，横截面上只可能有正应力。

根据以上假设得到的理论结果，在长期工程实践中，符合实际情况，与弹性力学的结果也一致。

二、纯弯曲时的正应力计算公式推导
1．几何关系
设从纯弯曲梁中沿轴线取dx的微段，放大画于图3-21。

设为中性层曲率半径，对某一截面而言，为常量；为左右两横截面的相对转角。

又设横截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴（图3-22）。

距离中性轴为y的任一纤维，变形前长为=dx=，变形后长为=(+y)，所以的线应变为
（a）
上式表明，距中性层为y的任一纵向纤维的线应变，与y成正比，与成反比。

2．物理关系
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。

当应力小于比例极限时，由虎克定律知
将式（a）代入上式，得
（b）
这表明，任一纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。

也就是说沿截面高度，正应力按直线规律变化。

3．静力学关系
图3-22中，微面积dA上的微内力组成一与梁轴线平行的空间平行力系。

因横截面上只有弯矩M，故
N=（c）
（d）
（e）
将式（b）代入式（c），得
式中E/为常量，不等于零，故必须有，即横截面对z轴的静矩等于零，从而可知,z轴（中性轴）通过截面形心（见附录I）。

这样就完全确定了中性轴的位置。

将式（b）代入式（d）得
式中积分是横截面对y轴和z轴的惯性积。

由于y轴是横截面的对称轴，必
然有I yz=0 。

所以（d）式是自然满足的。

将式（b）代入式（e），得
式中积分是横截面对z轴（中性轴）的惯性矩,关于各种截面I Z的计算详见附录Ι于是上式可以写成
（f）
其中1/为梁轴线变形后的曲率，反映梁弯曲变形的程度，而且EI Z越大，则曲率1/越小，故EI Z称为梁的抗弯刚度。

由式（f）和式（b）消去1/，得
(3-19)
这就是梁纯弯曲时横截面上的正应力计算公式。

对某一截面而言，M和I Z都是确定的，当横截面上的弯矩为正时，(y)沿截面高度的线性分布规律如图3-23所示。

在用公式计算任一点的正应力时，可以不考虑M以及离中性轴的距离y的正负，一律以绝对值代入。

正应力的正负由梁的变形判定：梁的纵向纤维受压时，正应力为负（压应力）；纤维受拉时，正应力为正（拉应力）。

也可以由弯矩的正负来判定正应力的正负：为正，说明梁的下边纤维受拉，故中性轴以下部分均为正的正应力，而中性轴以上部分均为负的正应力；M为负时，应力正负号则相反。

公式是在矩形截面梁的情况下进行推导的，但推导过程并未使用任何关于矩形的几何性质，所以只要梁有一纵向面，且载荷作用在这个平面内，公式就可适用。

由正应力计算公式可知，某一横截面上的最大应力发生在距离中性轴的最远处，即
(3-20)
其中，称为截面系数或抗弯截面模量。

对实心矩形截面（图3-24 ）
对于实心圆截面（图3-24 ）
有关型钢的相关数据可查附录Ⅱ。

例3-6 把直径为d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的最大应力。

设E=200GPa 。

解取钢丝作为研究对象，由纯弯曲正应力的推导过程可知，钢丝中的最大正应力发生在钢丝横截面的最外侧。

此时，钢丝横截面的中性轴曲率半径为，故
第六节梁横力弯曲时截面上的应力
一、横力弯曲时横截面上的正应力
梁在横力弯曲时，横截面上不仅有弯矩而且有剪力。

弯矩为横截面上法向分布内力系对中性轴的合力矩，而剪力为与横截面相切的分布内力系的合力。

因此，在横力弯曲情况下，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。

纯弯曲梁横截面上的正应力是在平面假设的前提条件下推导出来的。

在横力弯曲下，此时横截面将不再保持为平面，而且往往也不能保证纵向纤维之间没有挤压。

虽然说横力弯曲和纯弯曲之间存在这些差异，但进一步分析表明，用纯弯曲梁的正应力计算公式计算细长梁横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差，其计算结果能够满足工程问题的精度要求。

横力弯曲时，梁横截面上的弯矩随截面位置的不同而变化。

一般情况下，等截面梁的最大正应力发生在弯矩最大的横截面上，且离中性轴最远处，即发生在危险截面的危险点处，于是
(3-21)
对于变截面梁，最大弯曲正应力不一定在弯矩最大的横截面上，其大小应为：。