量子力学的基本理论

取比例系数为1，即
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
1926 年提出了对 波函数的统计解释
因概率密度
波函数归一化
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
引入
透射系数
透射粒子数 入射粒子数
透 入
估算表明
为势垒宽度
为原设
可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种现象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。
隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表 面探测等现代科技领域中有着重要的应用。
扫描隧道显微镜
金属中的电子由于隧道效应有可能 穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电 势垒）而逸出金属表面，在金属外表面 附近形成电子云，电子云的分布形式与 金属晶体的结构和表面性质有关。
自由粒子波函数 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
在量子力学中用复数表达式：
沿 X方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
沿 方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
应用欧拉公式
取实部 应用德布罗意公式
即 即
即
续上 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、自时由间粒二子元函的数
令
求
得
令
求极大值的 x 坐标
得到归一化波函数：
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
请在放映状态随下堂点击小你议认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为1 是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为2 是对的答案
第一节
23-1
wave function and its statistical explanation
引言
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。
概率波与经典波
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空 概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 各点波强的比例，并非取
力学量的可能值是它的本征值
力学量的平均值由下述积分求出
薛定谔方程
1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程
质量为 的粒子
在势能函数为
的势场中运动
当其运动速度远小于光速时
它的波函数 所满足的方程为
它反映微观粒子运动状态随时间变化 的力学规律，又称含时薛定谔方程。
式中， 为哈密顿算符，
所谓“定态”，就是波函数具有
形
式
所描述的状态。它的重要特点是：
其概率密度
与时间无关
定态 波函数
中的
称为 振幅函数
（有时直称 为波函数）。
的函数形式也应满足统计的条件
连续、单值、有限的标准条件； 归一化条件； 对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
若已知势能函数
，应用定态薛定谔方程
可求解出 ，并得到定态波函数
电子束
单电 概缝子 略衍通地射过用一单一级缝级衍时暗射发纹角生条所衍件对射，
应的动量变化分量 粗
缝
估其动量的不确定程度
宽
德布罗 意波长
缝宽 可用来粗 估电子通过单缝时其 位置 x 的不确定程度。
波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
质量为
速度为 的自由粒子
一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性
另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为3 是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
请在放映状小态下议点链击你接认为4 是对的答案
下列波函数中合理的是
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
结束选择
第二节
23-2
Schrodinger equation
获1933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
定态薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态 波函数
积分 中，得
续上
实验表明， 只要改变 0.1 n m(原子直径线度）， 就会引起 变化一千 倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成 极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描， 它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
态跌加原理
设
为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。
为它们的线性叠加
即
为复常数
将上式两边对时间 求偏导数并乘以
因
都满足薛定谔方程
即
这表明：
体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。 称为 态叠加原理
一维无限深势阱
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
因此，将波函数在空间
决于波强的绝对值。
各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所
分布状态。
描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
波函数的三波个函标准数条件标：准条件
该势能函数称作一维无限深势阱。 这是一个理想化的物理模型，
应用定态薛定谔方程可求出运动粒 子的波函数，有助于进一步理解在 微观系统中，有关概率密度、能量 量子化等概念。
续上求解 设质量为 的微观粒子，处在一维无限深势阱中，
阱外
该势阱的势能函数为
阱内
建立定态薛定谔方程
一维问题
阱内
阱外
因
及
要连续、有限，
在阱外 只有
薛定谔方程才成立，
故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。
求定态薛定谔方程的通解
阱内
即 令 得
此微分方程的通解为 其三角函数表达形式为
式中 和 为待定常数
续根上据标求准条解件确定常数
和 并求能量 的可能取值
在边界
和
处
的取值应与阱外 故 边界处的
连续，
得
及
又因
得
以及
时阱内
不合理 舍去
同一 的负值和正值概率密度相同。
若两块金属表面相距 很近，至使表 面的电子云发生相互重叠，此时若在两 金属间加一微弱电压 （操作电压）， 则会有微弱的电流 （隧道电流） 从 一金属流向另一金属，并可表示为
金属1
逸 出 电 势 垒 高
金属1
金属2
逸 出 电 势 垒 高
金属2
两金属的平均逸出电势垒高度
若势垒宽度 和势垒平均高度 分别以 n m 和 eV 为单位时， 约为1。
的关系
称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。
（注：不确定关系又称测不准关系，在上述
表达式中的 和
都具有统计含义，
分别代表有关位置和动量的方均根偏差。）
海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖
续上 从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系
能量量子化极不明显，可视为经典连续。
从能级相对间隔
看，
则
在微观粒子可能取
的各种能态中，随着 值增大，逐渐向经典过渡。
23-3
势垒
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
该势能函数称作一维矩形势垒。
按经典力学观点，
能量
的粒子不可能穿越势垒。
在量子力学中，
应求解定态薛定谔方程 后才能下结论。
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方波程函数
在量自子由力粒学子中用的复能数量表和达动式：量为常量，其波函数所应描用述欧的拉德公布式
罗意波是平面波。
沿速直不对X方线是于向运常处匀动量在的，外自其场由粒波作子函 用的数下波所运函描动数为述的的非德自布由罗粒意子波，应就其用取德不能实布是量部罗平和意面动公波量式。
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
设：一矩形势垒的 势能函数
隧道效应
一质量为 、能量为
的粒子
由 区向势垒运动
在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程
得
上述微分方程的解为
区
区
式中
区
入射波 入
反射波 反
区 区 区
续上
入射波 反射波
透射波
透射波 透 区无反射，
根据边界条件 和
处和
必须连续，可求方程中各系数的关系。
为描述粒子透 过势垒的概率
经典力学
薛定谔方程引言
量子力学
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念 是否存在一个
量子力学方程
根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态 波函数
量子力学中的
算符
基本算符 算符是表示对某一函数进行某种数学运算的
取
得
求归一化定态波函数
由上述结果 阱外 阱内
及 得
续求解
积分
得 归一化定态波函数
应满足归一化条件
概率密度
势阱问题小结 一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）
能量 量子化
波函数
概率密度
能量量子化是微观世界的固有现象
称 基态能 或 零点能
相邻能级的能量间隔
从能级绝对间隔
看，
如，电子 处在宽度
的 称节点位置
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的即波函数也
不相同。
即
沿速直方线微向运观匀动客的体自由的粒运子的动波状函态数为可用波函数来描述即，这是 量子力学的一个基本假设。
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数
为
，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与
的模的平方成正比。
量子力学初步
本章内容
Contents chapter 23
波函数及其统计解释 wave function and its statistical explanation
薛定谔方程 Schrodinger equation
隧道效应 tunnel effect
不确定关系 uncertainty relation
9.1×10 – 31 kg 极大的 称最概然位置 10 - 10 m ( 原子增线大度,节)点的数势增阱多中,最概然位
算得好比驻波
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× 37.7 e置V间密能隔度量变趋小量近。子经典化很均明大匀，显分概布率。
处在宽度 10 – 2 m ( 宏观尺度)的势阱中
算得
× 37.7 ×10 -15 eV 间距太小
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
据
处计
理 系 统
算 机 显 示
系
统
Atomic Resolution STM on Si (111)
Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像 亮点表示突起，暗部表示下凹
STM可用于金属、半导体、绝缘体和有 机物表面的研究。是材料科学、生命科 学和纳米科学与技术的有力武器。
23-4
不确定关系
1927年，德国物理学家海森伯提出
微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，
同一时刻 位 置 的 不 确 定 量 该方向动量的不确定量