大学数学高数微积分第十章线性函数第三节课堂讲义
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这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数
f ( , )，将其中一个变元固定时是另一个变元的线
性函数.
二、举例
例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 例 2 设 f1()， f2() 都是线性空间 V 上的
线性函数，则
f ( , ) = f1() f2()， , V
是 V 上的一个双线性函数.
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么
X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 ,
1) f (, k11 + k22) = k1 f (, 1) + k2 f (, 2);
2) f (k11 + k22 , ) = k1 f (1, ) + k2 f (2, ), 其中 , 1 , 2 , , 1 , 2 是 V 中任意向量， k1 , k2
是 P 中任意数，则称 f ( , ) 为 V 上的一个双线 性函数.
设
x1
(1,2, ,n)xxn2 (1, ,n)X,
y1
(1,2,
,n)
y2 yn
(1,
,n)Y,
则
f(,)f n xii, n yjj
i1
j1
nn
f(i,j)xiyj . (3)
i1 j1
令
aij = f (i , j) , i , j = 1 , 2 , … , n .
a11 a12
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与
P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩
阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间
V 的两组基：
(1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C. , 是 V 中两个向量
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
则
nn
f(X,Y) aix jiyj. i1j1
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空
间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式.
(2)
事实上
取 V 的一组基 1 , 2 , … , n .
第三节 双线性函数
主要内容
双线性函数的定义 举例 度量矩阵 非退化双线性函数 对称双线性函数
一、双线性函数的定义
定义 5 V 是数域 P 上一个线性空间，f (, )
是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,
，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .
如
果 f (, ) 有下列性质：
但
对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.
对于对
称矩阵我们已有较完整的理论.
以下我们就转向这
种特殊的也是重要的情形.
五、对称双线性函数
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
nn
f(,)XTAY aijxiyj i1 j1
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
A
a21 an1
a22 an2
则 (3) 就成为 (1) 或 (2) .
a1n
a2n
ann
,
三、度量矩阵
定义 6 设 f ( , ) 是数域 P 上 n 维线性空
间 V 上的一个双线性函数.
1 , 2 , … , n 是 V 的
一组基，则矩阵
f (1,1)
A
f f
( 2 ,1)
( n ,1)
f (1, 2 ) f ( 2 , 2 )
f பைடு நூலகம் n , 2 )
f (1,n )
f ( 2 , n )
f
(
n,
n
)
(4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
n 后，每个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵，
就是这个双线性函数在基 1 , 2 , … , n 下的度量
矩阵. 度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是
不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
线性函数，如果
f ( , ) = 0，
对任意 V , 可推出 = 0 , f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是
不是非退化的.
设双线性函数 f ( , ) 在基
1 , 2 , … , n 下的度量矩阵为 A ，则对
= (1 , 2 , … , n )X ， = (1 , 2 , … , n )Y ，有 f ( , ) = XTAY .
… , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1)
= X1T(CTAC)Y1 .
又
f ( , ) = X1TBY1 .
因此
B = CTAC .
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵
是合同的.
四、非退化双线性函数
定义 7 设 f ( , ) 是线性空间 V 上一个双
如果向量 满足 f ( , ) = 0， 对任意 V ,
那么对任意 Y 都有
因此
XTAY = 0 .
XTA = 0 .
而有非零向量 XT 使上式成立的充要条件为 A 是退
化的，因此易证双线性函数 f ( , ) 是非退化的充
要条件是其度量矩阵 A 为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.
例 3 设 P n 是数域 P 上 n 维列向量构成的线
性空间. X , Y P n , 再设 A 是 P 上一个 n 级方阵. 令
f (X , Y ) =XTAY ,
(1)
则 f (X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函数.
如果设 XT = (x1,x2, …,xn) , YT = (y1, y2,…,yn) , 并设
f ( , )，将其中一个变元固定时是另一个变元的线
性函数.
二、举例
例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 例 2 设 f1()， f2() 都是线性空间 V 上的
线性函数，则
f ( , ) = f1() f2()， , V
是 V 上的一个双线性函数.
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么
X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 ,
1) f (, k11 + k22) = k1 f (, 1) + k2 f (, 2);
2) f (k11 + k22 , ) = k1 f (1, ) + k2 f (2, ), 其中 , 1 , 2 , , 1 , 2 是 V 中任意向量， k1 , k2
是 P 中任意数，则称 f ( , ) 为 V 上的一个双线 性函数.
设
x1
(1,2, ,n)xxn2 (1, ,n)X,
y1
(1,2,
,n)
y2 yn
(1,
,n)Y,
则
f(,)f n xii, n yjj
i1
j1
nn
f(i,j)xiyj . (3)
i1 j1
令
aij = f (i , j) , i , j = 1 , 2 , … , n .
a11 a12
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与
P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩
阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间
V 的两组基：
(1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C. , 是 V 中两个向量
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
则
nn
f(X,Y) aix jiyj. i1j1
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空
间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式.
(2)
事实上
取 V 的一组基 1 , 2 , … , n .
第三节 双线性函数
主要内容
双线性函数的定义 举例 度量矩阵 非退化双线性函数 对称双线性函数
一、双线性函数的定义
定义 5 V 是数域 P 上一个线性空间，f (, )
是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,
，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .
如
果 f (, ) 有下列性质：
但
对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.
对于对
称矩阵我们已有较完整的理论.
以下我们就转向这
种特殊的也是重要的情形.
五、对称双线性函数
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
nn
f(,)XTAY aijxiyj i1 j1
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
A
a21 an1
a22 an2
则 (3) 就成为 (1) 或 (2) .
a1n
a2n
ann
,
三、度量矩阵
定义 6 设 f ( , ) 是数域 P 上 n 维线性空
间 V 上的一个双线性函数.
1 , 2 , … , n 是 V 的
一组基，则矩阵
f (1,1)
A
f f
( 2 ,1)
( n ,1)
f (1, 2 ) f ( 2 , 2 )
f பைடு நூலகம் n , 2 )
f (1,n )
f ( 2 , n )
f
(
n,
n
)
(4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
n 后，每个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵，
就是这个双线性函数在基 1 , 2 , … , n 下的度量
矩阵. 度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是
不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
线性函数，如果
f ( , ) = 0，
对任意 V , 可推出 = 0 , f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是
不是非退化的.
设双线性函数 f ( , ) 在基
1 , 2 , … , n 下的度量矩阵为 A ，则对
= (1 , 2 , … , n )X ， = (1 , 2 , … , n )Y ，有 f ( , ) = XTAY .
… , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1)
= X1T(CTAC)Y1 .
又
f ( , ) = X1TBY1 .
因此
B = CTAC .
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵
是合同的.
四、非退化双线性函数
定义 7 设 f ( , ) 是线性空间 V 上一个双
如果向量 满足 f ( , ) = 0， 对任意 V ,
那么对任意 Y 都有
因此
XTAY = 0 .
XTA = 0 .
而有非零向量 XT 使上式成立的充要条件为 A 是退
化的，因此易证双线性函数 f ( , ) 是非退化的充
要条件是其度量矩阵 A 为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.
例 3 设 P n 是数域 P 上 n 维列向量构成的线
性空间. X , Y P n , 再设 A 是 P 上一个 n 级方阵. 令
f (X , Y ) =XTAY ,
(1)
则 f (X , Y ) 是 P n 上的一个双线性函数.
如果设 XT = (x1,x2, …,xn) , YT = (y1, y2,…,yn) , 并设