数值分析 第一章

ξ 在0与x之间
R = π 3.14159 = 0.0000026 .
此外数制转换、机器数分析初始数据的误差通 此外数制转换、机器数分析初始数据的误差通 数制转换 常也归为舍入误差。 常也归为舍入误差。
1.2.2 误差与有效数字
若对于 x = 15 ± 2
x = 15
*
ε (x* ) = 2 ε( y* ) = 5
数值分析的对象、 第一节 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 数学科学与数值分析 所谓数值分析 ， 所谓 数值分析， 是指将所欲求解的数学模型 数值分析 数学问题） 简化成一系列算术运算和逻辑运算， （ 数学问题 ） 简化成一系列算术运算和逻辑运算 ， 以便在计算机上所求出问题的数值解， 并对算法 以便在计算机上所求出问题的数值解 ， 的收敛性、稳定性和误差进行分析。 的收敛性、稳定性和误差进行分析。
第二节
模型误差
数值计算的误差
误差来源、 1.2.1 误差来源、分类
在建立数学模型过程中, 在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽 象归结为数学模型, 象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化, 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别. 问题有一定的区别. 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的, 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的, 限制,这些数据一般是近似的,即有误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算, 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷
f * ε ( xk ). ε ( f *) ≈ ∑ x k =1 k
n
*
误差定性分析与 第三节 误差定性分析与避免误差危害
1 误差分析简介 概率分析法 向后误差分析法
x = g (a1 ,, an )， x fl = g (a1 + ε1 ,, an + ε n ).
区间分析法
x ∈ [α δα , α + δα ], y ∈ [ β δβ , β + δβ ], xy ∈
1.1.2、 1.1.2、计算数学与科学计算
现代科学研究的三大支柱
理 论 学 研 究 验 实 计 算 科 学 科
计算数学
21世纪信息社会的两个主要特征 21世纪信息社会的两个主要特征： 世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” 计算机无处不在” “数学无处不在” 数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： 21世纪信息社会对科技人才的要求： 世纪信息社会对科技人才的要求 --会 用数学” --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算 --会用计算机进行科学计算
* εr
反之， x *的相对误差限为 若 至少具有n位有效数字.
=
1
2( a1 + 1)
× 10 ( n 1)，则x *
证明：由(2.1)′式可得
a1 × 10 ≤ x < (a1 + 1) × 10
m *
m
当x 具有n位有效数字时
*
ε r* =
反之，由
* *
x x* x
* r
0.5 × 10m n +1 1 ≤ = × 10 n +1 a1 × 10m 2a1
观测误差
截断误差
例如，可微函数 f ( x )用泰勒多项式
f ′(0) f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x) ≈ Pn ( x) = f (0) + x+ x ++ x 1! 2! n!
截断误差： 截断误差： f ( n+1) (ξ ) n+1 Rn ( x) = x ( n + 1)! 舍入误差
1.1.4 数值问题与算法
实际问题
科学计算解题过程
建立数学模型
选取数值计算方法
程序设计
上机计算求得结果
数值分析具有的特点： 数值分析具有的特点： 第一：面向计算机； 第一：面向计算机； 第二：有可靠的理论分析； 第二：有可靠的理论分析； 第三：有较好的计算复杂性； 第三：有较好的计算复杂性； 第四：有数值试验； 第四：有数值试验；
f ( x) f ( x*) = f ′( x*)( x x*) +
f ′′(ξ ) ( x x*) 2 , 2
ξ在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ε ( f ( x*)) ≈| f ′( x*) | ε ( x*).
* * 多元函数f ( x1 ,, xn )，x1 ,, xn为准确值x1 ,, xn的近似值, * * 同理得f ( x1 ,, xn )的误差限
而如果将小数放在前面计算
0 .4987 + 0.4896 + 0.4697 + 0.4012 + 10 × 0.1234
4
= 10 × 0.1236
4
在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.
(2) 作减法时应避免相近数相减 两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失
*
相对误差限
εr =
ε
|x|
绝对误差限 往往未知 代替相对误差 代替相对误差限
E ( x* ) x* x * * Er ( x ) = = * x x*
ε =
* r
ε
|x |
*
因此
*
x = 15
*
ε (x ) = 2
*
y = 1000
ε( y* ) = 5
2 ε (x ) = = 13 .33 % 15 5 * * εr ( y ) = = 0 .5 % 1000
* * * * ε ( x1 ± x2 ) = ε ( x1 ) + ε ( x2 ), * * * * * * ε ( x1 x2 ) ≈| x1 | ε ( x2 )+ | x2 | ε ( x1 ), * * * * | x1 | ε ( x2 ) + | x2 | ε ( x1 ) * * ε ( x1 / x2 ) ≈ . * 2 | x2 | 一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式
(2.1)
其中a1 ≠ 0 . 并且 (2.2)
π * = 3.141 59 有6位有效数字
定理１ 定理１
设近似数x * 表示为 x* = ±10 m × ( a1 + a2 × 10 1 + + al × 10 (l 1) )
* εr
(2.1)′
其中a1 ≠ 0 . 若x * 具有n位有效数字，则其相对 误差限为 1 = × 10 ( n1)； 2a1
* r *
定义2 定义2
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x 近似x时具有n位
*
有效数字, 简称x 有n位有效数字.
*
即
x* = ±10m × (a1 + a2 ×101 + + an ×10( n1) ) 1 x x * ≤ ×10mn+1 2 π * = 3.142 有4位有效数字
b = 0.1 × 10
1.3.1 算法的数值稳定性
例5. 计算定积分
解:
1 1 n x I n = ∫ x e dx n = 0,1,2, ,7 0 e 1 1 1 n 1 n 1 x 1 n x n x I n = ∫0 x de = x e ∫0 x e dx e e e 0
= 1 nI n 1
如果先计算I 0 , 然后再计算 I 1 , I 2 , , I 7
y = 1000 y = 1000 ± 5 哪个更精确呢? 哪个更精确呢 x * = 15吗？ 定义1 定义1 设 x为准确值 , x *为 x的一个近似值 , 称 E ( x* ) x* x relative Er ( x* ) = = x x error * 为近似值 x 的相对误差 , 可简记为 E r . x* x Er ( x * ) = ≤ εr (x* ) = ε r x 为近似值 x *的相对误差限
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
数值分析
Numerical Analysis
计算的目的不在于数据，而在于洞察事物 计算的目的不在于数据，而在于洞察事物。 －－理查德 哈明 －－理查德哈明 理查德
The purpose of computing is insight，not numbers.
－－Richard Wesley Hamming
1 cos 0.01 = 4.999958 × 10 5
由于
x 1 cos x = 2 sin 2 2 0 .01 = 4.999958333 × 10 5 2 sin 2
2
在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变 计算公式,如使用三角变换、有理化等等
例6. 解:
解方程
x ( 10 + 1) x + 10 = 0
误差的传播与积累
纽约的一只蝴蝶翅膀一拍， 例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北 京就刮起台风来了？！ 京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
10 × 0.1234 + 0.4987 + 0.4896 + 0.4697 + 0.4012
4
= 10 × 0.1234
4
大数 10 4 × 0.1234 将小数 0.4987 ,0.4896 ,0.4697 " 吃了"
1.1.3 计算方法与计算机 数值分析也常称为计算方法 数值分析也常称为计算方法，或者叫 也常称为计算方法， 数值计算方法。 数值计算方法。是研究用计算机解决数学 问题的数值方法及其理论， 问题的数值方法及其理论，是把理论与计 算机紧密结合起来，着重研究数学问题的 算机紧密结合起来， 数值方法及其理论。 数值方法及其理论。
2 9 9
由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为
x1 = 10 9
x2 = 1
而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式
x1 , 2
b ± sqrt(b 2 4ac ) = 2a
机器吃了
b = 10 9 + 1 = 0.1 × 10 10 + 0 .00000000
因此在计算机上
01 × 10 10
m
1 x x = x ε < (a1 + 1) × 10 × × 10 n +1 m n +1 = 0.5 ×10 2(a1 + 1)
故x*至少具有n位有效数字。证毕。
定理1说明，有效位数越多， 定理 说明，有效位数越多，相对误差越小 说明
1.2.3、 1.2.3、数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1 , x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
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研究数值计算的主要任务: 研究数值计算的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 因为可能采用了近似等价运算 即数值问题的性态及数值方法的稳定性
* 3 * 3
误差放大 千倍! 5千倍!
公式I n = 1 nI n 1
公式I n 1 1 In = n
误差会放大 误差不会放大
因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则 1. 四则运算中的稳定性问题 (1) 防止大数吃小数 这一类问题主要由计算机的位数引起 假如作一个有效数字为4位的连加运算
第一章 第二章 第三章 第四章
数值分析与科学计算引论 插值法 函数逼近与快速傅里叶变换 数值积分与数值微分
第五章 解线性方程的直接解法 第六章 解线性方程组的迭代法 第七章 非线性方程与方程组的数值解法 第八章 矩阵特征值计算 第九章 常微分方程初值问题数值解法
第一章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点 数值分析的对象、 §1.2 数值计算的误差 §1.3 误差定性分析与避免误差危害 §1.4 数值分析中算法设计的技术 § 数学软件 1.5
假设计算出I 0的近似值为I 0* , 误差为E ( I 0* ) = δ 则I 1的近似值I 1*的误差为E ( I 1* ) = δ
* * I 2的近似值I 2的误差为E ( I 2 ) = 2δ
I 3的近似值I 的误差为E ( I ) = 3!δ I 7的近似值I 7*的误差为E( I 7* ) = 7!δ = 5040δ 1 In 但如果利用递推公式 I n 1 = n 先计算I 7 , I 0的误差只有I 7 误差的5千分之一!