高三数学第一轮复习抛物线的定义性质及标准

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

【知识掌握】

【知识点精析】

1. 抛物线定义：

平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：

其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与

的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，

，，。

说明：

1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

【解题方法指导】

例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为或

设交点（y1>0）

则，∴，代入得

∴点在上，在上

∴或，∴

故所求抛物线方程为或。

例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由，消去得

设，则

∵∥轴，且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明经过原点，只需证明，即证

注意到知上式成立，故直线经过原点。

证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是

，知三点共线，从而直线经过原点。

证法三：如图，

设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足

则∥∥，连结交于点，则

又根据抛物线的几何性质，

∴

因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。

评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几

何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】

【考点指要】

抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要

考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。

考查通常分为四个层次：

层次一：考查抛物线定义的应用；

层次二：考查抛物线标准方程的求法；

层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

【典型例题分析】

例3. （2006江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（）

A. B.

C. D.

答案：Ｂ

解析：解法一：设点坐标为，则

，

解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。

解法二：由题意设，则，

即，，求得，∴点的坐标为。

评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。

例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）

A. －2

B. 2

C. －4 Ｄ. 4

答案：D

解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。

评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。

【达标测试】

一. 选择题：

1. 抛物线的准线方程为，则实数的值是（）

A. B. C. D.

2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（）

A. 4

B. 4或－4

C. －2

D. －2或2

3. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（）

A. B. 或

C. D. 或

4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（）

A. B.

C. D.

5. 正方体的棱长为１，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线

的距离与点到点的距离的平方差为１，则点的轨迹是（）

A. 抛物线

B. 双曲线

C. 直线

D. 以上都不对

6. 已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则

的最小值是（）

A. 5

B. 4

C.

D.

7. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（）

A. B. 4 C. D. 5

8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值是（）

A. 12

B. －12

C. 3

D. －3

二. 填空题：

9. 已知圆和抛物线的准线相切，则的值是＿＿＿＿＿。

10. 已知分别是抛物线上两点，为坐标原点，若的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程为＿＿＿＿＿。

11. 过点（0，1）的直线与交于两点，若的中点的横坐标为，则＿＿＿。

12. 已知直线与抛物线交于两点，那么线段的中点坐标是＿＿＿＿＿。

三. 解答题：

13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程。

14. 过点（4，1）作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线方程。

15. 设点F（1，0），M点在轴上，点在轴上，且。

⑴当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；