中考数学-锐角三角函数小结与复习

中考数学

锐角三角函数小结与复习

4.特殊角的三角函数

知识结构

基础知识

1直角三角形的边角关系：在

Rt △ ABC 中,

a 2+

b 2=

c 2.

a sin A=cosB=—, c a tan A=cotB=—,

b

cosA=s inB= cosA=ta nB=

2.互余两角三角函数间的关系：如/ A+ / B=90 °，那么sinA=cosB ,

cosA=sinB .

3•同角三角函数间的关系:

sin 2

A+cos 2

A=1 , tanA • cotA=1 , tanA= 泌,cot A

cosA

cosA sin A

解直角三角形的基本类型

解直角三角形注意点

1尽量使用原始数据，使计算更加准确.

2•有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，？但可以添加合适的辅助线转化

为解直角三角形的问题.

3•—些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题.

4•解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据.

5•必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，？然后研究它们置于哪个直角三角形

中，应当选用什么关系式来进行计算.

6.要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中.

7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、

?周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来

解．

应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些

直角三角形和矩形（包括正方形）．

第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确

度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．

思想方法总结

1．转化思想

转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函

数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．

2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．

3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a 与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a 任意确定的一个度数，

sina

都有惟一确定的值与之对应；反之，对于 $"3在(01 )之间任意确定的一个值，锐角 a 都

有惟一确定的一个度数与之对应.

4.方程思想

在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角 关系列出方程，通过解方程求出所求的元素.

中考新题型 例1计算：

(1) sin 230° -cos45°・ tan60°

(2)

1

3tan 230 2 (sin 45

1)2

V2 1

分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可.

(2)原式=、2 +1-3 X( ) 2+2 ■.'( -------------------

3 \ 2

2

说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，

？这类题也是

中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多.

例2如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角

=30° ,3 =45°. ?小明乘缆车上山，从 A 到B ,再从 都走了 200米

(即AB=BD=200米)，?请根据所给的数 缆车垂直上升的距离.(计算结果保留整数，以下数据 用：sin47°~ 0.7314, cos47? °~

0.6820 , tan47 °~ 1.0724)

分析：缆车垂直上升的距离分成两段： BC 与DF .分别在 Rt △ ABC 和Rt A DBF?中求

出BC 与DF ，两者之和即为所求.

解：(1) sin30

-cos45°・ tan60

1-丄—3 =丄-上 4 2 4

2

解：在Rt△ ABC 中，AB=200 米，/ BAC= a =30 ° ,

••• BC=AB • sin a =200sin30 ° =100 （米）.

在Rt△ BDF 中，BD=200 米，/ DBF= 3 47°,

•DF=BD • sin 3 =200 • sin47°~ 200X 0.7314=146.28 （米）.

•BC+DF=100+146.28=246.28 （米）.

答：缆车垂直上升了246.28 米.

说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点.要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；?二是要熟记特殊角的三角函数值；

三是要有很好的运算能力和分析问题的能力.

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