【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
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3．在等差数列 中，若 ，则 （）
A． B． C． D．
4．已知 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
5． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状一定是（）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形或直角三角形
6．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 （）
1．D
【分析】
由向量的模长公式求模长即可.
【详解】
因为 ，所以 .故选D.
【点睛】
本题考查向量的模长.向量 的模长 .
2．A
【分析】
由余弦定理可求出 ，再求 .
【详解】
由余弦定理可得 ，
又 ，所以 .故选A.
【点睛】
本题考查余弦定理. ， ， ，对于余弦定理，一定要记清公式的形式.
3．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，则答案易求.
【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学校【最新】高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量 ，则 （）
A． B． C． D．
2． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【详解】
设 ，由题意，可得 ，在 中，可得 ，
过点 作 于点 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ， ，
因此 .
故选：A.
10．D
【分析】
方法一：由前 项和公式 代入各命题判断是否正确.
方法二：由等差数列前 项和的性质判断各命题是否正确.
【详解】
方法一：若 ，则 ，可得 ，
，①正确；
，则 是 中的最大项，②正确；
12．已知数列 与 前 项和分别为 ， ，且 , ，对任意的 恒成立，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， ， ，若 ，则 _______．
14．已知等比数列 满足 ，则 ________．
15．已知数列 中， ，前 项和为 ．若 ，则数列 的前 项和为_______．
6．A
【分析】
易得 ，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.
【详解】
设公比为 .由 ， ， 成等差数列，可得 ，
所以 ，则 ，解 (舍去)或 .
所以 .故选A.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.
7．C
【解析】
16．已知 是单位圆 上的两点， ，点 是平面内异于 的动点， 是圆 的直径．若 ，则 的取值范围是________．
三、解答题
17．在等差数列 中，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．已知 , , 是 的三个内角，向量 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
19．在 中， ，且 .
【分析】
也成等比数列，则 易求.
【详解】
在等比数列中，可得 也成等比数列，
所以 ，则 ，解得 .故选C.
【点睛】
本题考查等比数列前 项和的性质,也可以由 进行基本量计算来求解.若等比数列的前 项和是 ，则 ( )也成等比数列.
8．B
【解析】
【分析】
由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求 .
（1）求 边长；
（2）求 边上中线 的长.
20．已知数列 满足 ，设 ．
（1）证明数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
21．数列 前 项和为 ，已知
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 ．
22．设数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若数列 为递增数列，求实数 的取值范围．
参考答案
【详解】
在等差数列 中，因为 ，所以 .
所以 .故选B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用.在等差数列 中，若 ，则 .特别地，若 ，则 .
4．B
【分析】
由 ，结合向量的数量积运算即可得解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
则 ．
由 是单位向量，可得 ，
所以 ．所以 ．
所以 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.
【详解】
由 ，可得 .
又 ， ，所以 ，
同理可得 .
于是可得数列 是周期数列且周期是 .
因为 ，所以 .故选B.
【点睛】
本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列.由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列.
9．A
【分析】
设 ，过点 作 于点 ，根据题中条件，得到 ， ，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.
A． B． C． D．
7．在等比数列 中， 为数列 的前 项和， ， ，则 （）
A． B． C． D．
8．在数列 中，已知 ， ，且满足 ，则 （）
A． B． C． D．
9．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ， ， 为 的中点，则 （）
5．D
【分析】
由已知等式结合正弦定理，可得 ，再结合三角形中角的范围分析角 的关系，进而判断三角形的形状.
【解】
由 结合正弦定理，
可得 ，则 .
所以 或 .所以 或 .
所以 是等腰三角形或直角三角形.故选D.
【点睛】
本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化.解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.
A． B． C． D．
10．在等差数列 中，首项 ，公差 ，前 项和为 ．有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 是 中的最大项；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确命题的个数是（）
A． B． C． D．
11．已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
，③正确.
若 ，则 ，又 ，故 ，
所以 ，即 ，④正确.
故选D.
方法二：若 ，则 ，
而 ，则 ，③正确；
，①正确；
若 ，由 可得 单调递增，不合题意，故 ，
A． B． C． D．
4．已知 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
5． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状一定是（）
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形或直角三角形
6．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 （）
1．D
【分析】
由向量的模长公式求模长即可.
【详解】
因为 ，所以 .故选D.
【点睛】
本题考查向量的模长.向量 的模长 .
2．A
【分析】
由余弦定理可求出 ，再求 .
【详解】
由余弦定理可得 ，
又 ，所以 .故选A.
【点睛】
本题考查余弦定理. ， ， ，对于余弦定理，一定要记清公式的形式.
3．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，则答案易求.
【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学校【最新】高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量 ，则 （）
A． B． C． D．
2． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【详解】
设 ，由题意，可得 ，在 中，可得 ，
过点 作 于点 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ， ，
因此 .
故选：A.
10．D
【分析】
方法一：由前 项和公式 代入各命题判断是否正确.
方法二：由等差数列前 项和的性质判断各命题是否正确.
【详解】
方法一：若 ，则 ，可得 ，
，①正确；
，则 是 中的最大项，②正确；
12．已知数列 与 前 项和分别为 ， ，且 , ，对任意的 恒成立，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， ， ，若 ，则 _______．
14．已知等比数列 满足 ，则 ________．
15．已知数列 中， ，前 项和为 ．若 ，则数列 的前 项和为_______．
6．A
【分析】
易得 ，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.
【详解】
设公比为 .由 ， ， 成等差数列，可得 ，
所以 ，则 ，解 (舍去)或 .
所以 .故选A.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.
7．C
【解析】
16．已知 是单位圆 上的两点， ，点 是平面内异于 的动点， 是圆 的直径．若 ，则 的取值范围是________．
三、解答题
17．在等差数列 中，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．已知 , , 是 的三个内角，向量 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
19．在 中， ，且 .
【分析】
也成等比数列，则 易求.
【详解】
在等比数列中，可得 也成等比数列，
所以 ，则 ，解得 .故选C.
【点睛】
本题考查等比数列前 项和的性质,也可以由 进行基本量计算来求解.若等比数列的前 项和是 ，则 ( )也成等比数列.
8．B
【解析】
【分析】
由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求 .
（1）求 边长；
（2）求 边上中线 的长.
20．已知数列 满足 ，设 ．
（1）证明数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
21．数列 前 项和为 ，已知
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 ．
22．设数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若数列 为递增数列，求实数 的取值范围．
参考答案
【详解】
在等差数列 中，因为 ，所以 .
所以 .故选B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用.在等差数列 中，若 ，则 .特别地，若 ，则 .
4．B
【分析】
由 ，结合向量的数量积运算即可得解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
则 ．
由 是单位向量，可得 ，
所以 ．所以 ．
所以 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.
【详解】
由 ，可得 .
又 ， ，所以 ，
同理可得 .
于是可得数列 是周期数列且周期是 .
因为 ，所以 .故选B.
【点睛】
本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列.由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列.
9．A
【分析】
设 ，过点 作 于点 ，根据题中条件，得到 ， ，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.
A． B． C． D．
7．在等比数列 中， 为数列 的前 项和， ， ，则 （）
A． B． C． D．
8．在数列 中，已知 ， ，且满足 ，则 （）
A． B． C． D．
9．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ， ， 为 的中点，则 （）
5．D
【分析】
由已知等式结合正弦定理，可得 ，再结合三角形中角的范围分析角 的关系，进而判断三角形的形状.
【解】
由 结合正弦定理，
可得 ，则 .
所以 或 .所以 或 .
所以 是等腰三角形或直角三角形.故选D.
【点睛】
本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化.解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.
A． B． C． D．
10．在等差数列 中，首项 ，公差 ，前 项和为 ．有下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 是 中的最大项；③若 ，则 ；④若 ，则 ．其中正确命题的个数是（）
A． B． C． D．
11．已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
，③正确.
若 ，则 ，又 ，故 ，
所以 ，即 ，④正确.
故选D.
方法二：若 ，则 ，
而 ，则 ，③正确；
，①正确；
若 ，由 可得 单调递增，不合题意，故 ，